学年高中数学第一章立体几何初步111构成空间几何体的基本元素学案新人教B版.docx
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学年高中数学第一章立体几何初步111构成空间几何体的基本元素学案新人教B版
1.1.1 构成空间几何体的基本元素
学习目标
1.了解空间中点、线、面、体之间的关系.2.了解轨迹和图形的关系.3.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系.
知识点一 构成几何体的基本元素
思考1 平面几何研究的主要对象是什么?
构成平面图形的基本元素是什么?
答案 平面图形;点与直线.
思考2 构成几何体的基本元素是什么?
答案 点、线、面.
梳理 几何体的定义
(1)定义:
只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小,而不考虑其他因素,则这个空间部分叫做一个几何体.
(2)构成空间几何体的基本元素:
点、线、面.
知识点二 长方体
思考 长方体的基本元素有哪些?
如何定义?
答案 6个面,12条棱,8个顶点,长方体是由六个矩形(包括它的内部)围成的.
梳理 长方体的概念
(1)基本元素:
长方体有12条棱,8个顶点,6个面.
(2)面:
围成长方体的各个矩形.
(3)棱:
相邻两个面的公共边.
(4)顶点:
棱和棱的公共点.
知识点三 平面
思考 平的镜面是一个平面吗?
答案 不是,数学中的平面是个抽象的概念,它是无限延展的.
梳理 平面的概念
(1)特征:
平面是处处平直的面,是无限延展的.
(2)画法:
通常画一个平行四边形表示一个平面.
(3)命名:
用希腊字母α,β,γ,…来命名,还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名.
知识点四 空间中直线、平面的位置关系
思考 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些?
答案 直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.
平面与平面的位置关系有平面与平面平行、平面与平面相交两种.
梳理 特殊位置关系的几个定义比较
位置关系
定义
图形及符号表示
平行
线面
若直线和平面没有公共点,则说直线和平面平行
AB∥平面α
面面
若两个平面没有公共点,则说这两个平面平行
平面α∥平面β
垂直
线面
若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则说直线与平面垂直
l⊥平面α
面面
若两个平面相交,并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线,则说这两个平面互相垂直
平面α⊥平面β
距离
点面
点到平面的垂线段的长度,称作点到平面的距离
两平面
夹在两平行平面间垂线段的长度称作两平面间的距离
1.8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.( × )
2.空间不同三点确定一个平面.( × )
3.一条直线和一个点确定一个平面.( × )
类型一 几何体的基本元素
例1 试指出下图中各几何体的基本元素.
解
(1)中几何体有6个顶点,12条棱和8个面.
(2)中几何体有12个顶点,18条棱和8个面.
(3)中几何体有6个顶点,10条棱和6个面.
(4)中几何体有2条曲线,3个面(2个平面和1个曲面).
反思与感悟 点是最基本的元素,只有位置,没有大小;直线没有粗细,向两方无限延伸;平面没有厚度,向周围无限延展.要熟记这三种基本元素的特点.在现实生活中要多观察几何体,以便加深对构成空间几何体的基本元素的认识.
跟踪训练1 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的有________.(填序号)
①长方体的顶点一共有8个;
②线段AA1所在的直线是长方体的一条棱;
③矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面;
④长方体由六个平面围成.
答案 ①
类型二 空间中点、线、面的位置关系的判定
例2 如图所示,在长方体ABCD—A′B′C′D′中,如果把它的12条棱延伸为直线,6个面延展为平面,那么在这12条直线与6个平面中:
(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个?
(2)与直线B′C′垂直的平面有哪几个?
(3)与平面BC′平行的平面有哪几个?
(4)与平面BC′垂直的平面有哪几个?
(5)平面AC与平面A′C′间的距离可以用哪些线段来表示?
解
(1)有平面ADD′A′与平面ABCD.
(2)有平面ABB′A′、平面CDD′C′.
(3)有平面ADD′A′.
(4)有平面ABB′A′、平面CDD′C′、平面A′B′C′D′与平面ABCD.
(5)可用线段AA′,BB′,CC′,DD′来表示.
反思与感悟
(1)解决此类问题的关键在于识图,根据图形识别直线与平面平行、垂直,平面与平面平行、垂直.
(2)长方体和正方体是立体几何中的重要几何体,对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的基本关系.
跟踪训练2 下列关于长方体ABCD-A1B1C1D1中点、线、面位置关系的说法正确的是________.(填序号)
①直线AA1与直线BB1平行;
②直线AA1与平面C1D1DC相交;
③直线AA1与平面ABCD垂直;
④点A1与点B1到平面ABCD的距离相等.
答案 ①③④
解析 ①正确,由于AA1与BB1是矩形ABB1A1的一组对边,所以AA1∥BB1;
②不正确,由于直线AA1与平面C1D1DC没有交点,所以AA1∥平面C1D1DC;
③正确,由于直线AA1与平面ABCD内的两条相交直线AB,AD垂直,所以AA1⊥平面ABCD;
④正确,点A1到平面ABCD的距离为AA1,点B1到平面ABCD的距离为BB1,又AA1=BB1,因此距离相等.
类型三 几何体的表面展开图
例3 把如图所示的几何体沿线段AA′及与上、下底相关的棱剪开,然后放在平面上展开,试画出这些图形.
解 画出的相应图形如图所示.
反思与感悟 多面体表面展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图:
绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.
(2)已知展开图:
若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个
几何体的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.
跟踪训练3 一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图,A、B、C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC=________.
答案 60°
解析 将平面图形翻折,折成空间图形,如图.由图可知AB=BC=AC,所以△ABC为等边三角形.所以∠ABC=60°.
1.有以下结论:
①平面是处处平的面;
②平面是无限延展的;
③平面的形状是平行四边形;
④一个平面的厚度可以是0.001cm.
其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
考点 平面的概念、面法及表示
题点 平面概念的应用
答案 B
解析 平面是无限延展的,但是没有大小、形状、厚薄,①②两种说法是正确的;③④两种说法是错误的.故选B.
2.下列结论正确的个数有( )
①曲面上可以存在直线;
②平面上可存在曲线;
③曲线运动的轨迹可形成平面;
④直线运动的轨迹可形成曲面;
⑤曲面上不能画出直线.
A.3B.4C.5D.2
答案 B
解析 由空间中构成几何体的基本元素可判断①②③④均正确,而曲面上可以画出直线,所以⑤错误,故选B.
3.下列说法正确的是( )
A.在空间中,一个点运动成直线
B.在空间中,直线平行移动形成平面
C.在空间中,直线绕该直线上的定点转动形成平面或锥面
D.在空间中,矩形上各点沿同一方向移动形成长方体
答案 C
解析 一个点运动也可以成曲线,故A错;在空间中,直线平行移动可以形成平面或曲面,故B错;在空间中,矩形上各点沿铅垂线向上(或向下)移动相同距离所形成的几何体是长方体,故D错.
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中(如图所示),和棱A1B1不相交的棱有________条.
答案 7
解析 在长方体中一共有12条棱,除去与A1B1相交的与其本身,还剩7条.
5.如图,一个封闭的长方体,它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F这六个字母之一,现放置成如图三种不同的位置,则字母A,B,C对面的字母分别为________.
答案 E,D,F
解析 第一个正方体已知A,C,D,第二个正方体已知B,C,E,第三个正方体已知A,B,C,且不同的面上写的字母各不相同,则可知,A对面标的是E,B对面标的是D,C对面标的是F.
1.点、线、面是构成几何体的基本元素.
2.平面是无限延展的,通常画一个平行四边形表示一个平面.
3.平面的记法
(1)平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名;
(2)平面图形顶点法.
4.认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系,我们可以动手制作一些模型或画出图形,来帮助我们理解和提高空间想象能力.
一、选择题
1.下列不属于构成空间几何体的基本元素的是( )
A.点B.线段
C.曲面D.多边形(不包括内部的点)
答案 D
解析 空间中的几何体是由点、线、面构成的,而线有直线和曲线之分,面有平面和曲面之分,只有多边形(不包括内部的点)不属于构成几何体的基本元素.
2.下列说法正确的是( )
A.水平放置的平面是大小确定的平行四边形
B.平面ABCD即平行四边形ABCD的四条边围起来的部分
C.一条直线和一个平面一定会有公共点
D.平面是光滑的,可向四周无限延展
答案 D
解析 平面可以用平行四边形来表示,但平行四边形只是平面的一部分,不能理解为平面,A错;平面是一个抽象的概念,是无限延展的,没有大小、厚薄之分,B错;直线和平面可以没有公共点,此时直线和平面平行,C错.故选D.
3.下列关于长方体的叙述中不正确的是( )
A.将一个矩形沿竖直方向平移一段距离一定能形成一个长方体
B.长方体中相对的面互相平行
C.长方体某一底面上的高就是这一面与其所对面的距离
D.两相对面之间的棱互相平行且等长
答案 A
解析 A选项中,若矩形斜放,则不会形成长方体,故选A.
4.下列四个长方体中,由图中的纸板折成的是( )
答案 A
解析 根据题图中纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断B,C,D不正确,故选A.
5.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图),则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )
答案 A
解析 两个
不能并列相邻,B、D错误;两个
不能并列相邻,C错误,故选A.也可通过实物制作检验来判定.
6.两个平面可以将空间分成( )
A.3部分B.4部分
C.2或4部分D.3或4部分
答案 D
解析 当两平面平行时,将空间分成3部分;当两平面相交时,将空间分成4部分,故选D.
二、填空题
7.下列说法:
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面;
②一个几何体可以没有顶点;
③一个几何体可以没有棱;
④一个几何体可以没有面.
其中正确的是________.(填序号)
答案 ②③
解析 球只有一个曲面围成,故①错,②③对,由于几何体是空间图形,故一定有面,④错.
8.在如图所示的长方体ABCD-A′B′C′D′中,互相平行的平面共有________对,与A′A垂直的平面是________________.
答案 3 平面ABCD,平面A′B′C′D′
解析 平面ABCD与平面A′B′C′D′平行,平面ABB′A′与平面CDD′C′平行,平面ADD′A′与平面BCC′B′平行,共3对.与AA′垂直的是平面ABCD,平面
A′B′C′D′.
9.线段AB的长为5cm,在水平面上向右移动4cm后记为CD,将CD沿铅垂线方向向下移动3cm后记为C′D′,再将C′D′沿水平方向向左移动4cm后记为A′B′,依次连接构成长方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)该长方体的高为________cm.
(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________cm.
(3)点A到平面BCC′B′的距离为________cm.
答案
(1)3
(2)4 (3)5
解析 如图,
(1)该长方体的高为3cm.
(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为4cm.
(3)A到平面BCC′B′的距离为5cm.
10.一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点,这个几何图形是________.(填序号)
答案 ③
解析 正方体共有8个顶点,去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点.
11.如图是一个正方体的表面展开图,A,B,C均为所在棱的中点,D为正方体的顶点.若正方体的棱长为2,则封闭折线ABCDA的长为________.
答案
+2
+
解析 如图,AB+BC+CD+DA=
+
+
+
=
+2
+
,即折线ABCDA的长为
+2
+
.
AB+BC+CD+DA=
+
+
+
=
+2
+
.
三、解答题
12.如图所示,指出几何体的点、线、面.
解 其中的点有A,B,C,D,M,N.
其中的线有AB,BC,CD,DA,MA,MB,MC,MD,NA,NB,NC,ND.
其中的平面有平面MAD,平面MAB,平面MBC,平面MDC,平面NAB,平面NAD,平面NDC,平面NBC.
13.如图所示是一个正方体表面的展开图,图中四条线段AB,CD,EF和GH在原正方体中的位置关系是什么?
解 选择一个面为底面,将图形向上折成正方体,如图,点G与点C重合,点F与点B重合,则线段AB与EF相交,线段HG与CD相交,线段EF与CD平行.
四、探究与拓展
14.如图,模块①-⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①-⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体,则下列选择方案中,能够完成任务的为( )
A.模块①,②,⑤B.模块①,③,⑤
C.模块②,④,⑤D.模块③,④,⑤
答案 A
解析 先将⑤放入⑥中的空缺部分,然后在上层放入①②,可得正方体,而可验证其余不合题意.故选A.
15.如图是边长为1m的正方体,有一蜘蛛潜伏在A处,B处有一小虫被蜘蛛网粘住,请制作出模型,将正方体剪开,描述蜘蛛爬行的最短路线.
解 通过正方体的展开图(如图所示),可以发现,AB间的最短距离为A,B两点间的线
段的长,为
=
(m).由展开图可以发现,C点为其中一条棱的中点.
爬行的最短路线如图
(1)~(6)所示.