电磁场与电磁波课后习题及答案.docx

电磁场与电磁波课后习题及答案.docx

《电磁场与电磁波课后习题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场与电磁波课后习题及答案.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

电磁场与电磁波课后习题及答案

电磁场与电磁波课后习题解答

1.1给定三个矢量

、

和

如下：

求：

（1）

；

（2）

；（3）

；（4）

；（5）

在

上的分量；（6）

；

（7）

和

；（8）

和

。

解

（1）

（2）

（3）

－11

（4）由

，得

（5）

在

上的分量

（6）

（7）由于

所以

（8）

1.2三角形的三个顶点为

、

和

。

（1）判断

是否为一直角三角形；

（2）求三角形的面积。

解

（1）三个顶点

、

和

的位置矢量分别为

，

，

则

，

，

由此可见

故

为一直角三角形。

（2）三角形的面积

1.3求

点到

点的距离矢量

及

的方向。

解

，

，

则

且

与

、

、

轴的夹角分别为

1.4给定两矢量

和

，求它们之间的夹角和

在

上的分量。

解

与

之间的夹角为

在

上的分量为

1.5给定两矢量

和

，求

在

上的分量。

解

所以

在

上的分量为

1.6证明：

如果

和

，则

；

解由

，则有

，即

由于

，于是得到

故

1.7如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。

设

为一已知矢量，

而

，

和

已知，试求

。

解由

，有

故得

1.8在圆柱坐标中，一点的位置由

定出，求该点在：

（1）直角坐标中的坐标；

（2）球坐标中的坐标。

解

（1）在直角坐标系中

、

、

故该点的直角坐标为

。

（2）在球坐标系中

、

、

故该点的球坐标为

1.9用球坐标表示的场

，

（1）求在直角坐标中点

处的

和

；

（2）求在直角坐标中点

处

与矢量

构成的夹角。

解

（1）在直角坐标中点

处，

，故

（2）在直角坐标中点

处，

，所以

故

与

构成的夹角为

1.10球坐标中两个点

和

定出两个位置矢量

和

。

证明

和

间夹角的余弦为

解由

得到

1.11一球面

的半径为

，球心在原点上，计算：

的值。

解

1.12在由

、

和

围成的圆柱形区域，对矢量

验证散度定理。

解在圆柱坐标系中

所以

又

故有

1.13求

（1）矢量

的散度；

（2）求

对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求

对此立方体表面的积分，验证散度定理。

解

（1）

（2）

对中心在原点的一个单位立方体的积分为

（3）

对此立方体表面的积分

故有

1.14计算矢量

对一个球心在原点、半径为

的球表面的积分，并求

对球体积的积分。

解

又在球坐标系中，

，所以

1.15求矢量

沿

平面上的一个边长为

的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与

轴和

轴相重合。

再求

对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

解

又

所以

故有

1.16求矢量

沿圆周

的线积分，再计算

对此圆面积的积分。

解

1.17证明：

（1）

；

（2）

；（3）

。

其中

，

为一常矢量。

解

（1）

（2）

（3）设

，则

，故

1.18一径向矢量场

表示，如果

，那么函数

会有什么特点呢？

解在圆柱坐标系中，由

可得到

为任意常数。

在球坐标系中，由

可得到

1.19给定矢量函数

，试求从点

到点

的线积分

：

（1）沿抛物线

；

（2）沿连接该两点的直线。

这个

是保守场吗？

解

（1）

（2）连接点

到点

直线方程为

即

故

由此可见积分与路径无关，故是保守场。

1.20求标量函数

的梯度及

在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量

定出；求

点的方向导数值。

解

故沿方向

的方向导数为

点

处沿

的方向导数值为

1.21试采用与推导直角坐标中

相似的方法推导圆柱坐标下的公式

。

解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。

矢量场

沿

方向穿出该六面体的表面的通量为

同理

因此，矢量场

穿出该六面体的表面的通量为

故得到圆柱坐标下的散度表达式

1.22方程

给出一椭球族。

求椭球表面上任意点的单位法向矢量。

解由于

故椭球表面上任意点的单位法向矢量为

1.23现有三个矢量

、

、

为

（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？

哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？

（2）求出这些矢量的源分布。

解

（1）在球坐标系中

故矢量

既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；

在圆柱坐标系中

故矢量

可以由一个标量函数的梯度表示；

直角在坐标系中

故矢量

可以由一个矢量函数的旋度表示。

（2）这些矢量的源分布为

，

；

，

；

，

1.24利用直角坐标，证明

解在直角坐标中

1.25证明

解根据

算子的微分运算性质，有

式中

表示只对矢量

作微分运算，

表示只对矢量

作微分运算。

由

，可得

同理

故有

1.26利用直角坐标，证明

解在直角坐标中

2、你知道哪些昆虫？

9、在17世纪，人们发现把两个凸透镜组合起来明显提高了放大能力，这就是早期的显微镜。

所以

13、以太阳为中心，包括围绕它转动的八大行星（包括围绕行星转动的卫星）、矮行星、小天体（包括小行星、流星、彗星等）组成的天体系统叫做太阳系。

3、月球是距离地球最近的星球直径大约是地球的1/4，质量大约是地球的1/80，月球体积大约是地球的1/49，月球引力大约是地球的1/6。

6、你还知道哪些环境问题？

它们都对地球造成了哪些影响？

1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明

及

，试证明之。

4、科学家研究表明昆虫头上的触角就是它们的“鼻子”，能分辨出各种气味，比人的鼻子灵敏得多。

解

（1）对于任意闭合曲线

为边界的任意曲面

，由斯托克斯定理有

4、日常生活中我们应该如何减少垃圾的数量？

二、问答题：

由于曲面

是任意的，故有

21、血液中的细胞好像运输兵，负责运输吸入的氧气和产生的二氧化碳。

（2）对于任意闭合曲面

为边界的体积

，由散度定理有

6、月球是一个不发光、不透明的球体，我们看到的月光是它反射太阳的光。

其中

和

如题1.27图所示。

由斯托克斯定理，有

，

由题1.27图可知

和

是方向相反的同一回路，则有

所以得到

由于体积

是任意的，故有