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高中数学常用公式及结论
1元素与集合的关系:
.
2集合的子集个数共有个;真子集有个;非空子集有个;非空的
真子集有个.
3二次函数的解析式的三种形式:
1一般式;
2顶点式;(当已知抛物线的顶点坐标时,设为此式)3零点式;(当已知抛物线与轴的交点坐标为时,设为此式)(4)切线式:
。
(当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时,
设为此式)
4真值表:
同真且真,同假或假
5常见结论的否定形式;
原结论反设词原结论反设词
是不是至少有一个一个也没有
都是不都是至多有一个至少有两个
大于不大于至少有个至多有()个
小于不小于至多有个至少有()个
对所有,成立存在某,不成立或且
对任何,不成立存在某,成立且或
6四种命题的相互关系下图:
(原命题与逆否命题同真同假;逆命
题与否命题同真同假.)
原命题互逆逆命题
若p则q若q则p
互互
互为为互
否否
逆逆
否否
否命题逆否命题
若非p则非q互逆若非q则非p
充要条件:
1、,则P是q的充分条件,反之,q是p的必要条件;
(2)、,且q?
p,则P是q的充分不必要条件;
3、p?
p,且,则P是q的必要不充分条件;
4、p?
p,且q?
p,则P是q的既不充分又不必要
条件。
7函数单调性:
增函数:
1、文字描述是:
y随x的增大而增大。
(2)、数学符号表述是:
设f(x)在xD上有定义,若对任意的,
都有
成立,则就叫f(x)在xD上是增函数。
D则就是f(x)的递增
区间。
减函数:
1、文字描述是:
y随x的增大而减小。
(2)、数学符号表述是:
设f(x)在xD上有定义,若对任意的,都有
成立,则就叫f(x)在xD上是减函数。
D则就是f(x)的递减区间。
单调性性质:
1、增函数+增函数增函数;
(2)、减函数+减函数减函数;
3、增函数-减函数增函数;4、减函数-增函数减函数;
注:
上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性:
函数单调单调性
内层函数?
?
?
?
外层函数?
?
?
?
复合函数?
?
?
?
等价关系:
1设那么
上是增函数;
上是减函数.
2设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数8函数的奇偶性:
(注:
是奇偶函数的前提条件是:
定义域必须关于
原点对称)
奇函数:
定义:
在前提条件下,若有,
则f(x)就是奇函数。
性质:
(1)、奇函数的图象关于原点对称;
(2)、奇函数在x0和x0上具有相同的单调区间;
(3)、定义在R上的奇函数,有f(0)0
偶函数:
定义:
在前提条件下,若有,则f(x)就是偶函数。
性质:
(1)、偶函数的图象关于y轴对称;
(2)、偶函数在x0和x0上具有相反的单调区间;
奇偶函数间的关系:
1、奇函数?
偶函数奇函数;
(2)、奇函数?
奇函数偶函数;
3、偶奇函数?
偶函数偶函数;4、奇函数?
奇函数奇函数(也有例外得偶函数的)
5、偶函数?
偶函数偶函数;6、奇函数?
偶函数非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
9函数的周期性:
定义:
对函数f(x),若存在T0,使得f(x+T)f(x),则就叫f(x)是周期函数,其中,T是f(x)的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式:
1、f(x+T)-f(x),此时周期为2T;
(2)、f(x+m)f(x+n),此时周期为2;
3、,此时周期为2m。
10常见函数的图像:
11对于函数,恒成立,则函数的对称轴是;两个函数与的图象关
于直线对称12分数指数幂与根式的性质:
1(,且).
(2)(,且).
(3).
(4)当为奇数时,;当为偶数时,.
13指数式与对数式的互化式:
指数性质:
11、;
(2)、();3、
4、;5、;指数函数:
1、在定义域内是单调递增函数;
(2)、在定义域内是单调递减函数。
注:
指数函数图象都恒
过点(0,1)
对数性质:
1、;
(2)、;3、;4、;5、
6、;7、
对数函数:
1、在定义域内是单调递增函数;
(2)、在定义域内是单调递减函数;注:
对数函数图象都恒过
点(1,0)
3、4、或
14对数的换底公式:
且,,且,.
对数恒等式:
且,.
推论,且,.
15对数的四则运算法则:
若a>0,a?
1,M>0,N>0,则
1;2;
3;4。
16平均增长率的问题(负增长时):
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为,则对于时间的总产值,
有.
17等差数列:
通项公式:
(1),其中为首项,d为公差,n为项数,为末项。
(2)推广:
(3)(注:
该公式对任意数列都适用)前n项和:
(1);其中为首项,n为项数,为末项。
(2)
(3)(注:
该公式对任意数列都适用)
(4)(注:
该公式对任意数列都适用)
常用性质:
(1)、若m+np+q,则有;
注:
若的等差中项,则有2n、m、p成等差。
(2)、若、为等差数列,则为等差数列。
(3)、为等差数列,为其前n项和,则也成等差数列。
(4)、;(5)1+2+3+„+n
等比数列:
通项公式:
(1),其中为首项,n为项数,q为公比。
(2)推广:
(3)(注:
该公式对任意数列都适用)
前n项和:
(1)(注:
该公式对任意数列都适用)
(2)(注:
该公式对任意数列都适用)(3)常用性
质:
(1)、若m+np+q,则有;
注:
若的等比中项,则有n、m、p成等比。
(2)、若、为等比数列,则为等比数列。
18分期付款按揭贷款:
每次还款元贷款元,次还清,每期利率为.19三角不等式:
(1)若,则.
2若,则.
320同角三角函数的基本关系式:
,21正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)22和角与差角公式;;
.
辅助角所在象限由点的象限决定,.
23二倍角公式及降幂公式.
.
24三角函数的周期公式
函数,x?
R及函数,x?
RA,ω,为常数,且A?
0的周期;函数,A,ω,
为常数,且A?
0的周期.
三角函数的图像:
25正弦定理?
:
(R为外接圆的半径).
26余弦定理:
;;.
27面积定理:
(1)(分别表示a、b、c边上的高).
(2).
3.
28三角形内角和定理:
在?
ABC中,有
.
29实数与向量的积的运算律:
设λ、μ为实数,那么:
1结合律:
λμλμ;
2第一分配律:
λ+μλ+μ;
3第二分配律:
λ+λ+λ.
30与的数量积或内积:
?
||||。
31平面向量的坐标运算:
1设,,则+.
2设,,则-3设A,B,则.
4设,则.
5设,,则?
.
32两向量的夹角公式:
.
33平面两点间的距离公式:
A,B.
34向量的平行与垂直:
设,,且,则:
||λ.(交叉相乘差为零)
?
0.(对应相乘和为零)
35线段的定比分公式:
设,,是线段的分点,是实数,且,则
().36三角形的重心坐标公式:
?
ABC三个顶点的坐标分别为、、,
则?
ABC的重心的坐标是.
37三角形五“心”向量形式的充要条件:
设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则
(1)为的外心.
(2)为的重心.
(3)为的垂心.
(4)为的内心
(5)为的的旁心.
38常用不等式:
(1)当且仅当a=b时取“”号.
(2)当且仅当a=b时取“”号.
(3)
(4).
(5)当且仅当a=b时取“”号。
39极值定理:
已知都是正数,则有
(1)若积是定值,则当时和有最小值;
(2)若和是定值,则当时积有最大值.
(3)已知,若则有
。
(4)已知,若则有
40一元二次不等式,如果与同号,则其解集在两根之外;如果与
异号,则其解集在两根之间.简言之:
同号两根之外,异号两根之间.
即:
;
.
41含有绝对值的不等式:
当a0时,有
.
或.
42斜率公式:
(、).
43直线的五种方程:
(1)点斜式直线过点,且斜率为.
(2)斜截式b为直线在y轴上的截距.
(3)两点式、.
两点式的推广:
(无任何限制条件!
)
4截距式分别为直线的横、纵截距,
(5)一般式其中A、B不同时为0.
直线的法向量:
方向向量:
44夹角公式:
1.,,
2.,,.
直线时,直线l1与l2的夹角是.45到的角公式:
1.,,
2.,,.
直线时,直线l1到l2的角是.46点到直线的距离:
点,直线:
.
47圆的四种方程:
(1)圆的标准方程
(2)圆的一般方程>0.
(3)圆的参数方程(4)圆的直径式方程圆的直径的端点
是、.
48点与圆的位置关系:
点与圆的位置关系有三种:
若,则点在圆外;
点在圆上;点在圆内.
49直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有三种:
;;.
50两圆位置关系的判定方法:
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分
别为r1,r2,,则:
;
;
;
;
.
51椭圆的参数方程是.离心率,
准线到中心的距离为,焦点到对应准线的距离焦准距。
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为:
.52椭圆焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:
;。
53椭圆的的内外部:
(1)点在椭圆的内部.
(2)点在椭圆的外部.
54椭圆的切线方程:
1椭圆上一点处的切线方程是
(2)过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是(3)椭圆与直线相切的条件是.
55双曲线的离心率,准线到中心的距离为,焦点到对应准线的距离焦准距。
过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为:
.
焦半径公式,,
两焦半径与焦距构成三角形的面积。
56双曲线的方程与渐近线方程的关系:
1)若双曲线方程为渐近线方程:
2若渐近线方程为双曲线可设为.
3若双曲线与有公共渐近线,可设为
(,焦点在x轴上,,焦点在y轴上).
4焦点到渐近线的距离总是。
57双曲线的切线方程:
1双曲线上一点处的切线方程是2过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是(3)双曲线与直线相切的条件是.
58抛物线的焦半径公式:
抛物线焦半径.
过焦点弦长.
59二次函数的图象是抛物线:
(1)顶点坐标为;
(2)焦点的坐标为;
(3)准线方程是.
60直线与圆锥曲线相交的弦长公式
或
(弦端点A,由方程消去y得到
为直线的倾斜角,为直线的斜率,61证明直线与平面的平行的思
考途径:
(1)转化为直线与平面无公共点;
(2)转化为线线平行;
(3)转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。
63证明平面与平面的垂直的思考途径:
(1)转化为判断二面角是直二面角;
(2)转化为线面垂直;
3转化为两平面的法向量平行。
64向量的直角坐标运算:
设=,=则:
1+=;
2-=;
3λ=λ?
R;
4?
=;
65夹角公式:
设=,=,则.
66异面直线间的距离:
是两异面直线,其公垂向量为,是上任一点,为间的距离.
67点到平面的距离:
(为平面的法向量,,是的一条斜线段).
68球的半径是R,则其体积,其表面积.
69球的组合体:
1球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长2球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长3球与正四面体的组合体:
棱长为的正四面体的内切球的半径为
正四面体高的,外接球的半径为正四面体高的.
70分类计数原理(加法原理):
.
分步计数原理(乘法原理):
.
71排列数公式:
.,?
N*,且.规定.
72组合数公式:
?
N*,,且.
组合数的两个性质:
1;2+.规定.
73二项式定理;
二项展开式的通项公式.
的展开式的系数关系:
;;。
74互斥事件A,B分别发生的概率的和:
PA+BPA+PB.
个互斥事件分别发生的概率的和:
PA1+A2+„+AnPA1+PA2+„
+PAn.
75独立事件A,B同时发生的概率:
PA?
BPA?
PB.
n个独立事件同时发生的概率:
PA1?
A2?
„?
AnPA1?
PA2?
„?
PAn.
76n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率:
77数学期望:
数学期望的性质
(1)
(2)若~,则.
3若服从几何分布,且,则.
78方差:
标准差:
.
方差的性质:
1;
2)若~,则.
3若服从几何分布,且,则.
方差与期望的关系:
.
79正态分布密度函数:
式中的实数μ,(0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差.
对于,取值小于x的概率:
.
80在处的导数(或变化率):
.
瞬时速度:
.
瞬时加速度:
.
81函数在点处的导数的几何意义:
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程
是.
82几种常见函数的导数:
1(C为常数).2.34.5;.
6;83导数的运算法则:
(1).
(2).(3).84判别是极大(小)值的方法:
当函数在点处连续时,
(1)如果在附近的左侧,右侧,则是极大值;
(2)如果在附近的左侧,右侧,则是极小值.85复数的相等:
.()
86复数的模(或绝对值).
87复平面上的两点间的距离公式:
(,).
88实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程,
?
若,则;
?
若,则;
?
若,它在实数集内没有实数根;在复数集内有且仅有两个共轭复数根.
高中数学公式提升
一、集合、简易逻辑、函数
研究集合必须注意集合元素的特征即三性确定,互异,无序;已知集合Ax,xy,lgxy,集合B0,|x|,y,且AB,则x+y
研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。
已知集合My|yx2,x?
R,Ny|yx2+1,x?
R,求M?
N;与集合M(x,y)|yx2,x?
R,Nx,y|yx2+1,x?
R求M?
N的区别。
集合A、B,时,你是否注意到“极端”情况:
或;求集合的子集时是否忘记.例如:
对一切恒成立,求a的取植范围,你讨论了a=2的情况了吗?
对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为如满足条件的集合M共有多少个
解集合问题的基本工具是韦恩图;某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人,表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法?
两集合之间的关系。
CUA?
CUBCUA?
BCUA?
CUBCUA?
B;;8、可以判断真假的语句叫做命题.
逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.
p、q形式的复合命题的真值表:
(真且真,同假或假)pqP且qP或q
真真真真
真假假真
假真假真
假假假假
命题的四种形式及其相互关系:
互逆
互互
互为互
否逆逆否
否否
否否
否互逆
原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.10、你对映射的概念了解了吗?
映射f:
A?
B中,A中元素的任意
性和B中与它对应元素的唯一性,哪几种对应能够成映射?
11、函数的几个重要性质:
?
如果函数对于一切,都有或f(2a-x)f(x),那么函数的图象关于直线对称?
函数与函数的图象关于直线对称;函数与函数的图象关于直线对称;函数与函数的图象关于坐标原点对称?
若奇函数在区间上是递增函数,则在区间上也是递增函数.?
若偶函数在区间上是递增函数,则在区间上是递减函数.?
函数的图象是把函数的图象沿x轴向左平移a个单位得到的;函数的图象是把函数的图象沿x轴向右平移个单位得到的;
函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向下平移个单位得到的.
12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时,你标注了该函数的定义域了吗?
13、求函数的定义域的常见类型记住了吗?
函数y的定义域是;
复合函数的定义域弄清了吗?
函数的定义域是[0,1],求的定义域.函数的定义域是[],求函数的定义域
14、一个函数的奇偶性时,你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗?
在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;
15、据定义证明函数的单调性时,规范格式是什么?
取值,作差,判正负.可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。
16、函数的单调区间吗?
(该函数在和上单调递增;在和上单调递减)这可是一个应用广泛的函数!
17、函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗?
(真数大于零,底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论呀.
18、换底公式及它的变形,你掌握了吗?
()
你还记得对数恒等式吗?
()
“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”,你是否注意到必须;当a0时,“方程有解”不能转化为.若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形?
二、三角、不等式
三角公式记住了吗?
两角和与差的公式________________;二倍角公式:
________________;解题时本着“三看”的基本原则来进行:
“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:
巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次,
在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?
正切函数在整个定义域内是否为单调函数?
你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?
在三角中,你知道1等于什么吗?
(
这些统称为1的代换常数“1”的种种代换有着广泛的应用.(还有同角关系公式:
商的关系,倒数关系,平方关系;
诱导公试:
奇变偶不变,符号看象限)
在三角的恒等变形中,要特别注意角的各种变换.(如等)
你还记得三角化简题的要求是什么吗?
项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子,一定要算出值来)
你还记得三角化简的通性通法吗?
(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角,异名化同名,高次化低次);你还记得降幂公式吗?
cos2x1+cos2x/2;sin2x1-cos2x/2
你还记得某些特殊角的三角函数值吗?
()
你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?
辅助角公式:
其中角所在的象限由a,b的符号确定,角的值由确定在求最值、化简时起着重要作用.
三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?
能写出他们的单调区、对称轴,取最值时的x值的集合吗?
(别忘了kZ)
三角函数性质要记牢。
函数yk的图象及性质:
振幅|A|,周期T,若xx0为此函数的对称轴,则x0是使y取到最值的点,反之亦然,使y取到最值的x的集合为,当时函数的增区间为,减区间为;当时要利用诱导公式将变为大于零后再用上面的结论。
五点作图法:
令依次为求出x与y,依点作图三角函数图像变换还记得吗?
平移公
(1)如果点P(x,y)按向量平移至P′(x′,y′),则
(2)曲线f(x,y)0沿向量平移后的方程为f(x-h,y-k)0
有关斜三角形的几个结论:
1正弦定理:
2余弦定理:
3面积公式
在用三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时,
你是否注意到它们各自的取值范围及意义?
?
异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是?
直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是.
不等式的解集的规范书写格式是什么?
(一般要写成集合的表达式)
分式不等式的一般解题思路是什么?
(移项通分,分子分母分解因式,x的系数变为正值,奇穿偶回)
含有两个绝对值的不等式如何去绝对值?
一般是根据定义分类讨论
利用重要不等式以及变式等求函数的最值时,你是否注意到a,b(或a,b非负),且“等号成立”时的条件,积ab或和a+b其中之一应是定值?
一正二定三相等
当且仅当时,取等号);a、b、cR,(当且仅当时,取等号);
在解含有参数的不等式时,怎样进行讨论?
(特别是指数和对数的底或)讨论完之后,要写出:
综上所述,原不等式的解集是„„.
解含参数的不等式的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.”
对于不等式恒成立问题,常用的处理方式?
(转化为最值问题)
三、数列
等差数列中的重要性质:
(1)若,则;
(2);
(3)若三数成等差数列,则可设为a-d、a、a+d;若为四数则可设为a-、a-、a+、a+;
(4)在等差数列中,求Sn的最大小值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正负值或0,而它后面各项皆取负正值,则从第一项起到该项的各项的和为最大小.即:
当a10,d0,解不等式组an?
0an+1?
0可得Sn达最大值时的n的值;当a10,d0,解不等式组an?
0an+1?
0可得Sn达最小值时的n的值;(5).若an,bn是等差数列,Sn,Tn分别为an,bn的前n项和,则。
.(6).若是等差数列,则是等比数列,若是等比数列且,则是等差数列.
等比数列中的重要性质:
(1)若,则;
(2),,成等比数列
你是否注意到在应用等比数列求前n项和时,需要分类讨论.(时,;时,)
等比数列的一个求和公式:
设等比数列的前n项和为,公比为,则
.
等差数列的一个性质:
设是数列的前n项和,为等差数列的充要条件是
(a,b为常数)其公差是2a.
你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗?
(若,其中是等差数列,是等比数列,求的前n项的和)
用求数列的通项公式时,你注意到了吗?
你还记得裂项求和吗?
(如.)
四、排列组合、二项式定理
解排列组合问题的依据是:
分类相加,分