高中数学函数性质专题训练.docx

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高中数学函数性质专题训练

二、函数的单调性和奇偶性

2.1.76　函数f（x）＝x|x|－2x是（　）．

（A）偶函数，且在（－1，1）上是增函数　

（B）奇函数，且在（－1，1）上是减函数

（C）偶函数，且在（－1，1）上是减函数　

（D）奇函数，且在（－1，1）上是增函数

解析　f（－x）＝－x|－x|－2（－x）＝－（x|x|－2x）＝－f（x），所以，函数f（x）是奇函数．

若x≥0，则f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1，在（0，1）上函数f（x）单调递减，又由f（x）是奇函数可得它在（－1，1）上单调递减，答案为B．

2.1.77　已知二次函数f（x）＝a1x2＋b1x＋c1和g（x）＝a2x2＋b2x＋c2使得f（x）＋g（x）在（－∞，＋∞）上是单调函数，则它们的系数应满足的关系是　．

解析　只有当函数f（x）＋g（x）＝（a1＋a2）x2＋（b1＋b2）x＋c1＋c2为一次函数时，才能使得f（x）＋g（x）在（－∞，＋∞）上是单调函数，所以，函数f（x）和g（x）的系数应满足a1＋a2＝0且b1＋b2≠0．

2.1.78　若函数f（x）＝在（－2，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是　．

解析　f（x）＝，即f（x）＝a＋在（－2，＋∞）上单调递增，则1－2a<0，所以，a的取值范围是a>．

2.1.79　函数f（x）＝的单调递增区间是　．

解析　函数f（x）的定义域是（0，＋∞），而在（0，＋∞）上函数f1（x）＝和f2（x）＝－都单调递增，所以，函数f（x）＝的单调递增区间是（0，＋∞）．

2.1.80　指出下列函数的奇偶性并证明结论：

（1）f（x）＝＋1：

　；

（2）G（x）＝[f（x）－f（－x）]（－a0）：

　；

（3）f（x）＝：

　；

（4）f（x）＝：

　．

解析　

（1）f（－x）＝＋1＝＋1＝f（x），所以，函数f（x）＝＋1是偶函数．

（2）G（－x）＝[f（－x）－f（x）]＝－[f（x）－f（－x）]＝－G（x），所以，函数G（x）＝[f（x）－f（－x）]（－a0）是奇函数．

（3）f（－x）＝＝－f（x），所以，函数f（x）＝是奇函数．　

（4）函数f（x）＝的定义域是{x|x≠1，x∈R}，而f（－1）＝1，

所以，函数f（x）＝既不是奇函数，也不是偶函数．

2.1.81　若函数f（x）＝ax＋b的定义域和值域都是[1，2]，求a和b的值．

解析　若a>0，则函数f（x）＝ax＋b在（－∞，＋∞）上单调递增，解得

若a<0，则函数f（x）＝ax＋b在（－∞，＋∞）上单调递减，解得

2.1.82　设函数f（x）＝x＋（a>0）．

（1）求证：

函数f（x）在（，＋∞）上单调递增；

（2）若函数f（x）在（a－2，＋∞）上单调递增，求a的取值范围．

解析　

（1）设

（2）由问题

（1）的结论可得a－2≥，即（＋1）（－2）≥0，所以，a的取值范围是a≥4．

2.1.83　“a＝1”是“函数f（x）＝|x－a|在区间[1，＋∞）上为增函数”的（　）．

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

解析　函数f（x）＝|x－a|在（－∞，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，所以，“a＝1”是“函数f（x）＝|x－a|在区间[1，＋∞）上为增函数”的充分不必要条件，答案为A．

2.1.84　已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的减函数，则函数F（x）＝f（x）－f（－x）是（　）．

（A）奇函数，且在（－∞，＋∞）上单调递增

（B）偶函数，且在（－∞，＋∞）上单调递增

（C）奇函数，且在（－∞，＋∞）上单调递减

（D）偶函数，且在（－∞，＋∞）上单调递减

解析　F（－x）＝f（－x）－f[－（－x）]，即F（－x）＝－[f（x）－f（－x）]，于是，F（－x）＝－F（x），所以，F（x）是奇函数．

设x1f（x2），－x1>－x2，f（－x1）－f（－x2），则f（x1）－f（－x1）>f（x2）－f（－x2），即F（x1）>F（x2），所以，F（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，答案为C．

2.1.85　设f（x）是连续的偶函数，且当x>0时f（x）是单调函数，则满足f（x）＝f的所有x之和为（　）．

（A）－3（B）3（C）－8（D）8

解析　由已知可得x＝或－x＝，即x2＋3x－3＝0或x2＋5x＋3＝0，于是，由韦达定理可得所有符合要求的x的和为－3＋（－5）＝－8，答案为C．

2.1.86　已知函数f（x）的定义域是一个无限集，那么，在定义域中存在无穷多个实数x使得f（－x）＝f（x）成立是f（x）为偶函数的（　）．　　　　　

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

解析　由偶函数的概念可知答案为B．

2.1.87　已知y＝f（x）是定义在R上的单调函数，实数x1

（A）λ<0（B）λ＝0　

（C）0<λ<1（D）λ≥1

解析　由|f（x1）－f（x2）|<|f（α）－f（β）|及y＝f（x）在（－∞，＋∞）上单调函数可得区间（x1，x2）应是区间（α，β）的子集，即|x1－x2|<|α－β|，于是，|x1－x2|<，即|1＋λ|<|1－λ|，所以，λ的取值范围是λ<0，答案为A．

2.1.88　对于a，b∈R，定义min{a，b}＝若函数f（x）－min{|x＋t|，|x－2|}是偶函数，则t＝　．

题2.1.88

解析　考察函数y＝|x－2|和y＝|x＋t|的图象可知t＝2．

2.1.89　函数f（x）＝|x＋2|＋|x－1|＋|x|的单调递增区间是　．

解析　函数f（x）＝所以，函数f（x）的单调递增区间是（0，＋∞）．

2.1.90　求证：

函数f（x）＝是奇函数．

解析　f（x）＝

＝，

此函数的定义域是{x|x≠0，x∈R}，并且f（－x）＝－f（x），所以，它是奇函数．

2.1.91　指出f（x）＝的单调性．

解析　函数f（x）＝的自变量x应满足

即此函数的定义域是[2，6）∪（6，10]．

若2>0，于是，0

所以，函数f（x）＝在[2，6），（6，10]上单调递增．

2.1.92　已知函数f（x）＝．

（1）指出函数f（x）的单调性，并予以证明；

（2）画出函数f（x）的大致图象．

题2.1.92

解析　

（1）设x1y2．

所以，函数y＝在（－∞，－2），（－2，2），（2，＋∞）上单调递减．

（2）函数y＝的图象如图所示．（注：

关于函数y＝的图象，应当以虚线的形式作直线x＝2和x＝－2表示该函数的定义域，函数图象应体现出不断趋近于这两条直线，应当表现函数的图象过点．

2.1.93　已知奇函数y＝f（x）是定义在（－2，2）上的减函数，若f（m－1）＋f（2m－1）>0，求实数m的取值范围．

解析　由已知可得f（m－1）>－f（2m－1）＝f（1－2m），再由函数f（x）的定义域是（－2，2）及在定义域上为减函数得所以，m的取值范围是－

2.1.94　若函数f（x）＝（a－x）|x－1|在（－∞，＋∞）上是减函数，求a的值．

解析　f（x）＝

若a＝1，则f（x）＝函数f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数．

当a>1和a<1时函数f（x）的图象如图所示，它们都不是（－∞，＋∞）上的减函数，所以，a＝1．

题2.1.94

（1）　　　　　　　　　　　　　　题2.1.94

（2）

2.1.95　已知f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，若F（x）＝af（x）＋bg（x）＋2在（0，＋∞）上有最大值为5，求F（x）在（－∞，0）上的最小值．

解析　由已知得当x>0时有af（x）＋bg（x）＋2≤5，则af（x）＋bg（x）≤3．

若x<0，则－x>0，F（x）＝af（x）＋bg（x）＋2＝－af（－x）－bg（－x）＋2＝－[af（－x）＋bg（－x）]＋）2≥－3＋2，

所以，F（x）在（－∞，0）上的最小值为－1．

2.1.96　对于判断函数y＝在（－1，1）上的单调性问题，某同学给出了如下的解法：

令x＝cosθ（0<θ<π），则y＝cotθ，由于y＝cotθ在（0，π）上单调递减，所以，此函数在（－1，1）上为减函数．

上述结论是否正确，试说明理由．

解析　结论错误，设x1θ2，而y＝cotθ在（0，π）上单调递减，于是cotθ1

2.1.97　写出函数f（x）＝为奇函数的充要条件并证明你的结论．

解析　若a＝0，则f（x）＝，不存在实数x能使得f（x）有意义，于是a≠0；

若a>0，则函数自变量x必须满足－a≤x≤a，此时f（x）＝，必有x＋2a>0，即该函数的定义域是[－a，a]，于是有f（0）＝≠0，该函数一定不是奇函数；

若a<0，则函数自变量x必须满足a≤x≤－a，此时f（x）＝，该函数的定义域是[－a，0）∪（0，a]，并有f（－x）＝－f（x），即此函数是奇函数，所以，函数f（x）＝为奇函数的充要条件是a<0．

2.1.98　下列函数中，在（1，＋∞）上为增函数的是（　）．　　　　　

（A）y＝（x－2）2（B）y＝　

（C）y＝（D）y＝

解析　函数y＝（x－2）2在（－∞，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增；函数y＝即为y＝－，它在（－∞，1），（1，＋∞）上单调递增；函数y＝在（－∞，－1），（－1，＋∞）上单调递减；函数y＝即为y＝，它的定义域是（－∞，－2]∪[4，＋∞），它在（－∞，－2]上单调递减，在[4，＋∞）上单调递增，所以，答案为B．

2.1.99　函数f（x）＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是（　）．

（A）ab＝0（B）a＋b＝0（C）a＝b（D）a2＋b2＝0

解析　因为函数f（x）＝x|x＋a|＋b是奇函数，则对任意x∈R有f（－x）＝－f（x）成立，于是，由f（0）＝0得b＝0，再由f（－1）＝－f

（1）得－|－1＋a|＝－|1＋a|，解得a＝0，此时，f（x）＝x|x|，显然为奇函数，所以，函数f（x）＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是a＝b＝0，即a2＋b2＝0，答案为D．

2.1.100　已知函数y＝f（x）是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为（　）．

（A）4（B）2（C）1（D）0

解析　设x0是方程f（x）＝0的一个根，则f（－x0）＝f（x0）＝0，－x0也是方程f（x）＝0的根，所以，方程f（x）＝0的四个实根之和是0，答案为D．

2.1.101　函数f（x）＝（　）．

（A）是奇函数，但不是偶函数（B）是偶函数，但不是奇函数

（C）既是奇函数，又是偶函数（D）既不是奇函数，也不是偶函数

解析　对于任意的x∈{x|x≠0，x∈R}，若x>0，则－x<0，于是f（－x）＝－x（1－x）＝

－f（x），若x<0，则－x>0，f（－x）＝－x[1－（－x）]＝－x（1＋x）＝－f（x），所以，函数f（x）是奇函数，答案为A．

2.1.102　定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，若f（a）

（A）ab

（C）|a|<|b|（D）0≤ab≥0

解析　对于定义域为R的偶函数，若x≥0，则f（|x|）＝f（x），若x<0，则f（|x|）＝f（－x）＝f（x），所以，定义域为R的偶函数f（x）对于任意x∈R，有f（|x|）＝f（x），于是由f（a）

2.1.103　已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），则f（6）的值为（　）．

（A）－1（B）0（C）1（D）2

解析　由f（x＋2）＝－f（x）得f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2），则f（x＋4）＝f（x），于是，f（6）＝f

（2）．而定义域为R的奇函数一定有f（0）＝0，又f（0＋2）＝－f（0），则f

（2）＝0，所以，f（6）＝0，答案为B．

2.1.104　定义在R上的函数f（x）满足：

f（x）f（x＋2）＝13，若f

（1）＝2，则f（99）＝（　）．

（A）13（B）2（C）（D）

解析　由已知可得f（x＋2）f（x＋4）＝13，于是，f（x＋4）＝f（x），则f（99）＝f（3），而f

（1）f（1＋2）＝13，所以，f（99）＝，答案为C．

2.1.105　在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）＝f（2－x），若f（x）在区间[1，2]上是减函数，则f（x）（　）．

（A）在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数

（B）在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数

（C）在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数

（D）在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

解析　由f（x）＝f（2－x）得f（1＋x）＝f[2－（1＋x）]，即f（1＋x）＝f（1－x），函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）在[0，1]上单调递增．f（2＋x）＝f[2－（2＋x）]，即f（x＋2）＝f（－x），又f（－x）＝f（x），于是，f（x＋2）＝f（x），函数f（x）是以2为周期的周期函数，所以，函数f（x）在[－2，－1]上单调递增，在[3，4]上单调递减，答案为B．

2.1.106　函数f（x）＝|x－n|的最小值为（　）．

（A）190（B）171（C）90（D）45

解析　在区间（－∞，1），[1，2），[2，3），

，[9，10）上，函数f（x）解析式中x的系数都是负数，在区间[10，11），[11，12），

，[18，19），[19，＋∞）上，函数f（x）解析式中x的系数都是正数，所以，函数f（x）在（－∞，10）上单调递减，在（10，＋∞）上单调递增，所以，当x＝10时，函数f（x）取得最小值2×（9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）＝90，答案为C．

2.1.107　若函数f（x）＝|x－m|－mx存在最小值，则常数m的取值范围是　．

解析　f（x）＝由函数的单调性可知，要使得f（x）有最小值，应有所以，m的取值范围是－1≤m≤1．

2.1.108　若函数f（x）＝（a≠1）在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是　．

解析　函数f（x）的自变量x应满足3－ax≥0，若a<0，则此函数的定义域是x≥，此时a－1<0，该函数在（0，1]上是减函数；若a＝0，则f（x）＝－，不符合要求；若a>0，则此函数的定义域是x≤，并且函数g（x）＝在定义域上单调递减，于是，要使得函数f（x）＝在（0，1]上单调递减，必须有则1

2.1.109　函数y＝的值域是　．

解析　y＝，而函数y＝的定义域是[3，＋∞），它在[3，

＋∞）上单调递减，所以，函数y＝的值域是（0，2]．

2.1.110　设函数f（x）＝为奇函数，则a＝　．

解析　由函数f（x）是奇函数可得f（－1）＝－f

（1），而f（－1）＝0，于是，f

（1）＝2（1＋a）＝0，解得a＝－1，则f（x）＝对任意满足x≠0的实数x都有f（－x）＝－f（x），即函数f（x）是奇函数，所以，a＝－1．

2.1.111　若f（x）是偶函数而g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝，则f（x）＝　；g（x）＝　．

解析　由已知得于是

解得f（x）＝，g（x）＝．

2.1.112　已知定义域为R的奇函数f（x）当x≥0时f（x）＝x（1－x），则此函数的解析式是　．

解析　若x<0，则－x>0，f（x）＝－f（－x）＝－（－x）[1－（－x）]＝x（1＋x），所以，f（x）＝

2.1.113　已知定义域是R的奇函数f（x）对任意的x∈R满足f（x＋2）＝－f（x），当－1≤x≤1时，f（x）＝x，则方程f（x）＝－的解集是　．

解析　由已知得f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），即函数y＝f（x）是以4为周期的周期函数．当1≤x≤3时，－1≤x－2≤1，f（x－2）＝（x－2），而f（x－2）＝f（x＋2）＝－f（x），于是，f（x）＝－（x－2）．

所以，f（x）＝，其中k∈Z，方程f（x）＝－的解集为{x|x＝4k－1，k∈Z}．

2.1.114　已知定义域为R的奇函数y＝f（x）在（－∞，0）上是减函数，求证：

y＝f（x）在（0，＋∞）上也是减函数．

解析　设x1>x2>0，则－x1<－x2<0，于是有f（－x1）>f（－x2），由f（x）是奇函数得－f（x1）>－f（x2），所以，f（x1）

2.1.115　已知函数f（x）＝的最小值是，求a的值．

解析　若a≥0，则函数f（x）的定义域是[0，＋∞），且在[0，＋∞）上单调递增，当x＝0时，y最小值＝，于是，解得a＝．

若a<0，则函数f（x）的定义域是[－a，＋∞），且在[－a，＋∞）上单调递增，当x＝－a时，y最小值＝，于是，解得a＝－．

所以，a的值是或－．

2.1.116　如果定义域为实数集D的函数f（x）同时满足以下两个条件：

①f（x）在D上或是单调递增函数，或是单调递减函数；

②存在区间[a，b]⊆D，使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，

这样的函数我们称为“闭函数”．

（1）定义域为R的函数y＝－x3是否为“闭函数”？

请说明理由；

（2）若函数f（x）＝－x＋1（x∈[a，b]），问：

它能否成为“闭函数”？

请说明理由．

解析　

（1）设x10，即y1>y2，所以，函数y＝－x3在（－∞，＋∞）上单调递减．若它是“闭函数”，则解得所以，函数y＝－x3是“闭函数”．

（2）由f（x）＝（x－1）2＋得若它是“闭函数”，则或关于t的方程t2－4t＋2＝0有两个不相等的实数解t＝2±，则a＝2－与a≥1矛盾．

由（b2－a2）＝0及a

所以，函数f（x）＝－x＋1（x∈[a，b]）不能成为“闭函数”．

2.1.117　已知函数f（x）＝x2＋（x≠0，常数a∈R），指出函数f（x）的奇偶性，并说明理由．

解析　若a＝0，则函数f（x）＝x2是偶函数．

若a≠0，则f

（1）＝1＋a，f（－1）＝1－a，f（－1）≠f

（1）且f（－1）≠－f

（1），所以，此时函数f（x）是非奇非偶函数．

2.1.118　指出函数f（x）＝x2＋的单调性．

解析　设x1

若x10；若00；

若0，f（x1）－f（x2）<0，所以，函数f（x）＝x2＋在（－∞，0），上单调递减，在上单调递增．

2.1.119　已知定义域是R的函数f（x）当x>0时f（x）<1，且对任意实数x，y有f（x＋y）＝f（x）f（y），f

（2）＝，f（0）≠0．

（1）求证：

函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减；

（2）解不等式：

f（x）f（3x－1）<．

解析　

（1）由已知得f（0＋0）＝f（0）f（0），而f（0）≠0，得f（0）＝1，f[x＋（－x）]＝f（x）f（－x），则f（－x）f（x）＝1，于是，对任意的x∈R都有f（x）≠0，又f≥0，所以f（x）>0．

设x10得f（x2－x1）<1，则f（x1）>f（x1）f（x2－x1），即f（x1）－f（x2）>0，所以，函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减．

（2）由f（1＋1）＝f

（1）f

（1）得f

（2）＝[f

（1）]2，又f（x）>0，所以f

（1）＝，f（1＋2）＝f

（1）f

（2）＝，则不等式f（x）f（3x－1）<即为f（x＋3x－1）3，所以，x>1．

2.1.120　设函数f（x）在（－∞，＋∞）上满足f（2－x）＝f（2＋x），f（7－x）＝f（7＋x），且在闭区间[0，7]上只有f

（1）＝f（3）＝0．

（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性；

（2）求方程f（x）＝0在闭区间[－2005，2005]上根的个数，并证明你的结论．　

解析　

（1）在f（2－x）＝f（2＋x）中，令x＝3，得f（－1）＝f（5），又f（5）≠0，从而f（－1）≠0，但f

（1）＝0，所以f（－1）≠f

（1），且f（－1）≠－f

（1），所以，f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）f（10＋x）＝f[7＋（3＋x）]＝f[7－（3＋x）]＝f（4－x）＝f[2＋（2－x）]＝f[2－（2－x）]＝f（x），即f（x）是以10为周期的周期函数，于是对任意整数n，都有f（10n＋1）＝f

（1）＝0，f（10n＋3）＝f（3）＝0，即x＝10n＋1和x＝10n＋3（n∈Z）都是方程f（x）＝0的根，由－2005≤10n＋1≤2005解得－200≤n≤200，由－2005≤10n＋3≤2005解得－200≤n≤200，即方程f（x）＝0在[－2005，2005]上至少有802个根．

对于x0∈（7，10]，若f（x0）＝0，则有f（14－x0）＝f[7＋（7－x0）]＝f[7－（7－x0）]＝0，而4≤14－x0<7，与[0，7]中只有f

（1）＝f（3）＝0矛盾，即f（x）＝0在[0，10]上只有f

（1）＝f（3）＝0．

对于x0∈[－2005，2005]，且x0≠10n＋1，x0≠10n＋3（n∈Z），若f（x0）＝0，

一定存在整数k0使10k0≤x0<10k0＋10，则0≤x0－10k0<10，而f（x0－10k0）＝f（x0）＝0，并且x0－10k0≠1，x0－10k0≠3，与[0，10]中只有f

（1）＝f（3）＝0矛盾，所以，在[－2005，2005]上，方程f（x）＝0有且仅有802个根．

2.1.121　设f（x）＝g（x）是二次函数，若f（g（x））的值域是[0，＋∞），则g（x）的值域是（　）．