高中数学函数性质专题训练.docx

1、高中数学函数性质专题训练二、函数的单调性和奇偶性2.1.76函数f(x)x|x|2x是()(A) 偶函数，且在(1，1)上是增函数(B) 奇函数，且在(1，1)上是减函数(C) 偶函数，且在(1，1)上是减函数(D) 奇函数，且在(1，1)上是增函数解析f(x)x|x|2(x)(x|x|2x)f(x)，所以，函数f(x)是奇函数若x0，则f(x)x22x(x1)21，在(0，1)上函数f(x)单调递减，又由f(x)是奇函数可得它在(1，1)上单调递减，答案为B2.1.77已知二次函数f(x)a1x2b1xc1和g(x)a2x2b2xc2使得f(x)g(x)在(，)上是单调函数，则它们的系数应满

2、足的关系是解析只有当函数f(x)g(x)(a1a2)x2(b1b2)xc1c2为一次函数时，才能使得f(x)g(x)在(，)上是单调函数，所以，函数f(x)和g(x)的系数应满足a1a20且b1b202.1.78若函数f(x)在(2，)上单调递增，则a的取值范围是解析f(x)，即f(x)a在(2，)上单调递增，则12a2.1.79函数f(x)的单调递增区间是解析函数f(x)的定义域是(0，)，而在(0，)上函数f1(x)和f2(x)都单调递增，所以，函数f(x)的单调递增区间是(0，)2.1.80指出下列函数的奇偶性并证明结论：(1) f(x)1：；(2) G(x)f(x)f(x) (ax0)

3、：；(3) f(x)：；(4) f(x)：解析(1) f(x)11f(x)，所以，函数f(x)1是偶函数(2) G(x)f(x)f(x)f(x)f(x)G(x)，所以，函数G(x)f(x)f(x) (ax0)是奇函数(3) f(x)f(x)，所以，函数f(x)是奇函数(4) 函数f(x)的定义域是x|x1，xR，而f(1)1，所以，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数2.1.81若函数f(x)axb的定义域和值域都是1，2，求a和b的值解析若a0，则函数f(x)axb在(，)上单调递增，解得若a0)(1) 求证：函数f(x)在(，)上单调递增；(2) 若函数f(x)在(a2，)上单调递增，求

4、a的取值范围解析(1) 设x1x2，则f(x1)f(x2)，于是，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以，函数f(x)在(，)上单调递增(2) 由问题(1)的结论可得a2，即(1)(2)0，所以，a的取值范围是a42.1.83“a1”是“函数f(x)|xa|在区间1，)上为增函数”的()(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析函数f(x)|xa|在(，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，所以，“a1”是“函数f(x)|xa|在区间1，)上为增函数”的充分不必要条件，答案为A2.1.84已知函数f(x)是(，)上的减函数，则

5、函数F(x)f(x)f(x)是()(A) 奇函数，且在(，)上单调递增(B) 偶函数，且在(，)上单调递增(C) 奇函数，且在(，)上单调递减(D) 偶函数，且在(，)上单调递减解析F(x)f(x)f(x)，即F(x)f(x)f(x)，于是，F(x)F(x)，所以，F(x)是奇函数设x1f(x2)，x1x2，f(x1)f(x2)，则f(x1)f(x1)f(x2)f(x2)，即F(x1)F(x2)，所以，F(x)在(，)上单调递减，答案为C2.1.85设f(x)是连续的偶函数，且当x0时f(x)是单调函数，则满足f(x)f的所有x之和为()(A) 3 (B) 3 (C) 8 (D) 8解析由已知

6、可得x或x，即x23x30或x25x30，于是，由韦达定理可得所有符合要求的x的和为3(5)8，答案为C2.1.86已知函数f(x)的定义域是一个无限集，那么，在定义域中存在无穷多个实数 x使得f(x)f(x)成立是f(x)为偶函数的()(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析由偶函数的概念可知答案为B2.1.87已知yf(x)是定义在R上的单调函数，实数x1x2，1，若|f(x1)f(x2)|f()f()|，则()(A) 0 (B) 0(C) 01 (D) 1解析由|f(x1)f(x2)|f()f()|及yf(x)在(，)上单调函数可得

7、区间(x1，x2)应是区间(，)的子集，即|x1x2|，于是，|x1x2|，即|1|1|，所以，的取值范围是0，答案为A2.1.88对于a，bR，定义mina，b若函数f(x) min|xt|，|x2|是偶函数，则t 题2.1.88解析考察函数y|x2|和y|xt|的图象可知t22.1.89函数f(x)|x2|x1|x|的单调递增区间是 解析函数f(x)所以，函数f(x)的单调递增区间是(0，)2.1.90求证：函数f(x)是奇函数解析f(x) ，此函数的定义域是x|x0，xR，并且f(x)f(x)，所以，它是奇函数2.1.91指出f(x)的单调性解析函数f(x)的自变量x应满足即此函数的定义

8、域是2，6)(6，10若2x1x20，于是，0f(x1)f(x2)，同理，当6x1x210时，也有f(x1)f(x2)0所以，函数f(x)在2，6)，(6，10上单调递增2.1.92已知函数f(x)(1) 指出函数f(x)的单调性，并予以证明；(2) 画出函数f(x)的大致图象题2.1.92解析(1) 设x1x2，则y1y2，于是，当x1x22或2x1x22或2x1y2所以，函数y在(，2)，(2，2)，(2，)上单调递减(2) 函数y的图象如图所示 (注：关于函数y的图象，应当以虚线的形式作直线x2和x2表示该函数的定义域，函数图象应体现出不断趋近于这两条直线，应当表现函数的图象过点2.1.

9、93已知奇函数yf(x)是定义在(2，2)上的减函数，若f(m1)f(2m1)0，求实数m的取值范围解析由已知可得f(m1)f(2m1)f(12m)，再由函数f(x)的定义域是(2，2)及在定义域上为减函数得所以，m的取值范围是m1和a0时有af(x)bg(x)25，则af(x)bg(x)3若x0，F(x)af(x)bg(x)2af(x)bg(x)2af(x)bg(x)232，所以，F(x)在(，0)上的最小值为12.1.96对于判断函数y在(1，1)上的单调性问题，某同学给出了如下的解法：令xcos (0)，则ycot，由于ycot在(0，)上单调递减，所以，此函数在(1，1)上为减函数上述

10、结论是否正确，试说明理由解析结论错误，设x1x2，即cos12，而ycot在(0，)上单调递减，于是cot1cot2，即y10，则函数自变量x必须满足axa，此时f(x)，必有x2a0，即该函数的定义域是a，a，于是有f(0)0，该函数一定不是奇函数；若a0，则函数自变量x必须满足axa，此时f(x)，该函数的定义域是a，0)(0，a，并有f(x)f(x)，即此函数是奇函数，所以，函数f(x)为奇函数的充要条件是a0，则x0，于是f(x)x(1x)f(x)，若x0，f(x)x1(x)x(1x)f(x)，所以，函数f(x)是奇函数，答案为A2.1.102定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函

11、数，若f(a)f(b)，则一定可得()(A) ab(C) |a|b| (D) 0ab0解析对于定义域为R的偶函数，若x0，则f(|x|)f(x)，若x0，则f(|x|)f(x)f(x)，所以，定义域为R的偶函数f(x)对于任意xR，有f(|x|)f(x)，于是由f(a)f(b)可得f(|a|)f(|b|)，而|a|0，|b|0，再由f(x)在0，)上是增函数得|a|b|，答案为C2.1.103已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为()(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2解析由f(x2)f(x)得f(x2)2f(x2)，则f(x4)f(x)，于是，f(6

12、)f(2)而定义域为R的奇函数一定有f(0)0，又f(02)f(0)，则f(2)0，所以，f(6)0，答案为B2.1.104定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x2)13，若f(1)2，则f(99)()(A) 13 (B) 2 (C) (D) 解析由已知可得f(x2)f(x4)13，于是，f(x4)f(x)，则f(99)f(3)，而f(1)f(12)13，所以，f(99) ，答案为C2.1.105在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)f(2x)，若f(x)在区间1，2上是减函数，则f(x)()(A) 在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是增函数(B) 在区间2，1上是增函数，在区

13、间3，4上是减函数(C) 在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是增函数(D) 在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是减函数解析由f(x)f(2x)得f(1x)f2(1x)，即f(1x)f(1x)，函数f(x)的图象关于直线x1对称，则函数f(x)在0，1上单调递增f(2x)f2(2x)，即f(x2)f(x)，又f(x)f(x)，于是，f(x2)f(x)，函数f(x)是以2为周期的周期函数，所以，函数f(x)在2，1上单调递增，在3，4上单调递减，答案为B2.1.106函数f(x)|xn|的最小值为()(A) 190 (B) 171 (C) 90 (D) 45解析在区间(，1)，1，2)，2

14、，3)，9，10)上，函数f(x)解析式中x的系数都是负数，在区间10，11)，11，12)，18，19)，19，)上，函数f(x)解析式中x的系数都是正数，所以，函数f(x)在(，10)上单调递减，在(10，)上单调递增，所以，当x10时，函数f(x)取得最小值2(987654321)90，答案为C2.1.107若函数f(x)|xm|mx存在最小值，则常数m的取值范围是 解析f(x)由函数的单调性可知，要使得f(x)有最小值，应有所以，m的取值范围是1m12.1.108若函数f(x) (a1)在区间(0，1上是减函数，则实数a的取值范围是 解析函数f(x)的自变量x应满足3ax0，若a0，则

15、此函数的定义域是x，此时a10，则此函数的定义域是x，并且函数g(x)在定义域上单调递减，于是，要使得函数f(x)在(0，1上单调递减，必须有则1a3，所以，a的取值范围是a0或1a32.1.109函数y的值域是 解析y，而函数y的定义域是3，)，它在3，)上单调递减，所以，函数y的值域是(0，22.1.110设函数f(x)为奇函数，则a 解析由函数f(x)是奇函数可得f(1)f(1)，而f(1)0，于是，f(1)2(1a)0，解得a1，则f(x)对任意满足x0的实数x都有f(x)f(x)，即函数f(x)是奇函数，所以，a12.1.111若f(x)是偶函数而g(x)是奇函数，且f(x)g(x)

16、，则f(x) ；g(x) 解析由已知得于是解得f(x)，g(x)2.1.112已知定义域为R的奇函数f(x)当x0时f(x)x(1x)，则此函数的解析式是 解析若x0，f(x)f(x)(x)1(x)x(1x)，所以，f(x)2.1.113已知定义域是R的奇函数f(x)对任意的xR满足f(x2)f(x)，当1x1时，f(x)x，则方程f(x)的解集是 解析由已知得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，即函数yf(x)是以4为周期的周期函数当1x3时，1x21，f(x2)(x2)，而f(x2)f(x2)f(x)，于是，f(x)(x2)所以，f(x)，其中kZ，方程f(x)的解集为x|x4k1，

17、kZ2.1.114已知定义域为R的奇函数yf(x)在(，0)上是减函数，求证：yf(x)在(0，)上也是减函数解析设x1x20，则x1x2f(x2)，由f(x)是奇函数得f(x1)f(x2)，所以，f(x1)f(x2)，函数f(x)在(0，)上是减函数2.1.115已知函数f(x)的最小值是，求a的值解析若a0，则函数f(x)的定义域是0，)，且在0，)上单调递增，当x0时，y最小值，于是，解得a若a0，则函数f(x)的定义域是a，)，且在a，)上单调递增，当xa时，y最小值，于是，解得a所以，a的值是或2.1.116如果定义域为实数集D的函数f(x)同时满足以下两个条件： f(x)在D上或是

18、单调递增函数，或是单调递减函数； 存在区间a，bD，使得f(x)在a，b上的值域也是a，b，这样的函数我们称为“闭函数”(1) 定义域为R的函数yx3是否为“闭函数”？请说明理由；(2) 若函数f(x)x1 (xa，b)，问：它能否成为“闭函数”？请说明理由解析(1) 设x10，即y1y2，所以，函数yx3在(，)上单调递减若它是“闭函数”，则解得所以，函数yx3是“闭函数”(2) 由f(x)(x1)2得若它是“闭函数”，则或关于t的方程t24t20有两个不相等的实数解t2，则a2与a1矛盾由(b2a2)0及ab1得ab0，于是a220，矛盾所以，函数f(x)x1(xa，b)不能成为“闭函数”

19、2.1.117已知函数f(x)x2 (x0，常数aR)，指出函数f(x)的奇偶性，并说明理由解析若a0，则函数f(x)x2是偶函数若a0，则f(1)1a，f(1)1a，f(1)f(1)且f(1)f(1)，所以，此时函数f(x)是非奇非偶函数2.1.118指出函数f(x)x2的单调性解析设x1x2，则f(x1)f(x2)若x1x20；若0x1x2，则x1x2(x1x2)30；若x10，f(x1)f(x2)0时f(x)1，且对任意实数x，y有f(xy)f(x)f(y)，f(2)，f(0)0(1) 求证：函数f(x)在(，)上单调递减；(2) 解不等式：f(x)f(3x1)0设x10得f(x2x1)

20、f(x1)f(x2x1)，即f(x1)f(x2)0，所以，函数f(x)在(，)上单调递减(2) 由f(11)f(1)f(1)得f(2)f(1)2，又f(x)0，所以f(1)，f(12)f(1)f(2)，则不等式f(x)f(3x1)即为f(x3x1)3，所以，x12.1.120设函数f(x)在(，)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0，7上只有f(1)f(3)0(1) 判断函数yf(x)的奇偶性；(2) 求方程f(x)0在闭区间2005，2005上根的个数，并证明你的结论解析(1) 在f(2x)f(2x)中，令x3，得f(1)f(5)，又f(5)0，从而f(1)0，但f

21、(1)0，所以f(1)f(1)，且f(1)f(1)，所以，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2) f(10x)f7(3x)f7(3x)f(4x)f2(2x)f2(2x)f(x)，即f(x)是以10为周期的周期函数，于是对任意整数n，都有f(10n1)f(1)0，f(10n3)f(3)0，即x10n1和x10n3 (nZ)都是方程f(x)0的根，由200510n12005解得200n200，由200510n32005解得200n200，即方程f(x)0在2005，2005上至少有802个根对于x0(7，10，若f(x0)0，则有f(14x0)f7(7x0)f7(7x0)0，而414x07，与0，7中只有f(1)f(3)0矛盾，即f(x)0在0，10上只有f(1)f(3)0对于x02005，2005，且x010n1，x010n3 (nZ)，若f(x0)0，一定存在整数k0使10k0x010k010，则0x010k010，而f(x010k0)f(x0)0，并且x010k01，x010k03，与0，10中只有f(1)f(3)0矛盾，所以，在2005，2005上，方程f(x)0有且仅有802个根2.1.121设f(x) g(x)是二次函数，若f(g(x)的值域是0，)，则g(x)的值域是()