画法几何及工程制图2.docx
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画法几何及工程制图2
§3.2点的二面投影(two-planeprojectionofpoint)
一、二面投影体系的建立及点的二面投影
点是形体最基本的元素。
在几何学中无大小、薄厚、宽窄,只占有位置。
空间点用大写字母表示,投影点用小写字母表示。
图2
设立一个投影面P,则A1、A2、A3点在投影面P上的正投影是唯一的。
但反过来,若知道了点的一个投影,却不能确定点的空间位置(缺少一个坐标)。
因此要确定一个点的空间位置,只有一个投影是不够的。
现设立两个互相垂直的投影面正立投影面V(也称正面或V面)、水平投影面H(也称水平面或H面),从而构成二投影面体系。
V面和H面的交线OX称为投影轴。
A点的在V面上的投影称为A点的正面投影或A点的正投影、A点的V投影,用a’表示。
A点的在H面上的投影称为A点的水平投影或A点的H投影,用a表示。
图3
我们需要把这种空间关系在一种图纸上(一个平面上)表达出来。
保持V面不动,H面绕OX轴向下旋转90º直至与V面重合,从而得到点的二面投影图。
为简便起见,投影图中投影面的边框不必画出。
在点的二面投影体系中,X、Y、Z三个坐标均能体现,故点的二面投影就唯一确立了点在空间的相对位置(相对二面投影体系)。
图4
容易得出点在二面投影体系中的投影规律:
⒈点的两投影的连线⊥投影轴。
证明。
⒉投影点到投影轴的距离,反映该空间点到另一投影面的距离。
二、点在四个象角中的投影
平面本身是可以无限延长的,因此就有上V面、下V面、前H面和后H面,它们把空间分为四个部分──四个象限或象角。
分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ标记。
画投影图时仍然保持V面不动,前H面向下旋转与下V重合,后H面向上旋转与上V重合,只画OX轴,不必注投影面标记,也不用画边框。
⒈在四个象角内的点。
(1)A点在Ⅰ象角内。
其正面投影a’在OX轴上方,水平投影a在OX轴下方。
(2)B点在Ⅱ象角内。
H面之上,V面之后。
正投影b’在OX轴上方,水平投影b也在OX轴上方。
(3)C点在第Ⅲ象角内。
其正投影c’在OX下方,水平投影c在OX上方。
(4)D点在Ⅳ象角内。
其二投影d、d’都在OX轴上方。
⒉在投影面上、投影轴上的点。
3.综上所述,从投影图中点的投影与OX轴的相对位置,可判断空间点在投影面体系中所处位置,反之亦然。
(1)在投影图中,点的水平投影位于OX轴下方,则该点必位于V面之前;反之则在V面之后。
(2)点的正面投影位于OX轴上方,则该点必位于H面之上;反之则在H面之下。
(3)若点有一个投影位于OX轴上,则该点必在投影面上。
§3.3三投影面体系及点的三投影
由两投影面体系,能否唯一确定形体的形状和大小呢?
不一定!
举例如下:
如图,根据这一V-H两面投影可同时做出立方体、三棱柱和四分之一圆柱等。
因此需设立三投影面体系。
一、三投影面体系:
设立一个同时垂直于H面和V面的第三投影面W面──侧立投影面(也称侧面或W面)。
H面与W面交于OY轴。
V与W交于OZ投影轴。
三投影轴交点为原点,以O标记。
与两投影面体系一样,在三投影面体系中,投影面展开时,保持V面不动,假想将OY轴剪开,H面绕OX轴向下旋转与V面重合,W面绕OZ轴向右旋转与V面重合。
而OY轴展开后分为两条,在H面上的标为OYH,在W面上的标为OYW。
二、点的三投影:
将A点向W面投影,其投影称为A点的侧面投影或侧投影、W投影,用a”标记。
点在三面投影体系中,投影规律不变。
(1)点的投影连线⊥投影轴。
(2)投影点到投影轴之距=空间点到另一个投影面之距。
注:
“长对正,高平齐,宽相等。
”
三、由点的两个投影作第三个投影
已知点A的两投影a、a’,作出其第三投影a”
已知点的正面投影和其侧面投影,求其水平投影
已知点的水平投影和侧面投影,求作正面投影
四、点的三面投影与直角坐标的关系
XA=aay=a'az=axO=Aa'',是空间点A到W面的距离。
YA=aax=a''az=ayO=Aa',是空间点A到V面的距离。
ZA=a'ax=a''ay=azO=Aa,是空间点A到H面的距离。
例3已知空间点D的坐标(20,15,10),试作其投影图。
五、特殊位置点的投影
举例一一讲解。
§3.4两点的相对位置
一、一般情况
空间两个点具有前后、左右、上下位置关系。
二、特殊情况
重影点:
当空间两点的连线⊥某个投影面时,它们在该面上的投影重合。
由于重影,有可见与不可见问题,不可见用()将投影括起来。
注意:
重影点是相对于投影面而言的
例1:
已知点A的两投影ɑ和ɑ′,以及点B在点A的右方10mm、上方8mm、前方6mm,试确定点B的投影。
例2:
已知A、B、C、D的投影图,判断其相对位置
§3.5投影变换(projectiontransformation)概述及点的投影变换
一、概述
投影变换就是通过改变空间几何元素对投影面的相对位置,从而简化求解问题的一种方法。
1、投影变换的方法
(1)旋转法——投影体系不动而转动空间几何要素。
(2)换面法——保持空间几何要素位置不动,设立新的投影面代替旧的投影面,使新投影面处于有利于解题的位置,求出新投影的方法。
本课程仅介绍换面法。
2、建立新投影面的原则
①新设立投影面必须⊥保留投影面,以组成新的正投影面体系,利用正投影规律作图。
②新投影面对几何元素必须处于有利于图解的位置。
如平行或垂直等。
3、投影面的展开
二、点的换面
在V1/H中,A(a1',a)符合点的投影规律,所以将V1展开与H面共面,a1'a⊥O1X1
且a1'→O1X1=A→H=a'→OX=ZA即
〈1〉新投影和保留投影的连线垂直于新轴;
〈2〉新投影到新轴的距离等于被代替的旧投影到旧轴的距离。
举例讲解点的一次、二次、三次换面。
第四章直线的投影
主要内容
一般位置线、特殊位置线的投影、两直线的相对位置
直角三角形法、换面法
学时分配
4学时
重点与难点
重点:
直角三角形法、换面法、
难点:
垂直问题
教学方式
教学手段
多媒体教学与普通教学相结合。
学生容易出现的问题
直线对投影面的倾角的真正含义;
把长度的投影规律应用在角度的投影上
作业及思考题
P155~P158所有习题
其它说明
§4.1直线的投影(projectionofline)
直线的投影一般情况下仍为直线。
两点决定一条直线,确定了直线上两点的投影也就确定了直线的投影。
即直线上两点的同面投影的连线就是直线的投影。
§4.2一般位置线
一、投影特性
一般位置线——与三个投影面既不垂直也不平行的直线。
不具有积聚性和度量性,而且各个投影与投影轴的夹角不能反映直线对投影面的倾角α、β、γ。
对于一般位置线,我们主要解决其实长和倾角。
所采用的方法有两种:
直角三角形法、换面法。
二、直角三角形法
直角三角形中四个要素:
知二求二
例1、已知ab、a',且α=30°,求a'b'。
例2、已知E(e,e'),求作直线EF实长为30mm且F点在Z轴上
例3、已知AB两点,在H面上求作一点C,使得αAC=30°,αBC=45°。
§4.3特殊位置线
一、投影面平行线(parellelline)
水平线(horizontalline)
α=0,β=实长投影与OX轴的夹角、γ=实长投影与OYH的夹角。
正平线(frontalline)
α=实长投影与OX轴的夹角,β=0、γ=实长投影与OZ的夹角。
侧平线(profileline)
α=实长投影与OYW轴的夹角,β=实长投影与OZ的夹角、γ=0。
二、投影面垂直线(perpendicularline)
正垂线(horizontal-profileline)
α=0º,β=90º,γ=0º。
铅垂线(verticalline)
α=90º,β=0º,γ=0º。
侧垂线(frontalhorizontalline)
α=0º,β=0º,γ=90º。
§4.4直线上的点
一、直线上的点(从属性、定比性)
求做直线上的点:
点在直线上,点的投影在直线的同名投影上。
判断:
对于一般位置线,点的投影在直线的同名投影上,则点在直线上。
对于特殊位置线,视给定的投影,还需应用定比性。
如:
给出正面与水平投影的侧平线、给出正面、侧面投影的水平线、给出水平、侧面投影的正平线等。
定比分点:
做法。
例1、已知侧平线AB的两投影和直线上S点的正面投影s',求其水平投影s.
例2、已知直线AB的水平投影ab和A点的正面投影a',且AB=20mm,试求直线AB的正面投影a'b';在直线AB上取一点C,使AC=15mm,求C点的两投影。
§4.5两直线的相对位置
平行(parallel)、相交(intersection)、交叉(skew)
1.两直线平行
求做:
两直线平行,其同名投影均平行
判断:
对一般位置线,两直线同名投影都平行,则两直线平行。
特殊位置线还需应用定比法或作第三投影。
应用:
(1)过直线外一点求作直线平行于已知直线
(2)根据两直线投影判断它们在空间是否平行?
例4、给定两条侧平线的正面投影和水平投影,判断之
2.两直线相交
两直线相交,其同名投影必相交,且投影的交点正是空间同一点的投影(即符合点的投影规律)。
判断时,若其中一条线为特殊位置线,视情况还需应用定比法或作第三投影。
例5如图,AB为一般位置直线、CD为侧平线,试判别这两条直线是否相交?
3.两直线交叉
重影点的确定与判别。
4.相交、交叉的特殊情况——垂直
直角定理:
二直线垂直相交(或交叉),其中有一条直线为投影面平行线,则二直线在所平行的投影面上的投影仍垂直。
直角定理逆定理:
二直线之一为某投影面平行线,且二直线在该投影面上的投影垂直,则空间两直线垂直。
下列直线互相垂直:
下列直线互相不垂直:
例6已知矩形ABCD的边AB为水平线,试完成图中矩形的两面投影。
例7求作交叉二直线(其中之一为垂直线)的公垂线。
例8完成等腰直角三角形ABC的两面投影(直角边BC在水平线MN上)。
§4.6直线的换面(详细讲解直线的一次、二次、三次换面。
)
1.把一般位置直线变换为投影面的平行线
可以求出直线的实长和倾角。
求直线的实长和倾角β
求直线的实长和а角
2.把投影面平行线变换为投影面垂直线
主要解决于直线有关的度量问题(两直线间的距离)和定位问题(求线面交点)。
图6—10将正平线变为投影面垂直线
3.直线的二次换面
把一般位置直线变换成投影面的垂直线,只经过一次换面是不能实现的,因为垂直于一般位置直线的平面是一般位置平面,它与原来的两个投影面均不垂直,不能构成正投影体系,所以必须经过两次换面。
第一次,将一般位置直线变换为新投影体系中的投影面平行线;第二次,将投影面平行线变换成另一投影体系中的投影面垂直线。
图
§4.7直线的迹点
直线与投影面的交点称为直线的迹点。
M____水平迹点
N——正面迹点
S——侧面迹点
特性:
1,迹点是直线上的点,迹点的投影必在直线的同面投影上。
2,迹点是投影面上的