2021 第6章 64 643 第4课时 余弦定理正弦定理应用举例.docx

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2021第6章64643第4课时余弦定理正弦定理应用举例

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例

学习目标

核心素养

1.能将实际问题转化为解三角形问题．（难点）

2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．（重点）

1.通过利用正、余弦定理解决实际问题，培养数学建模的核心素养．

2．通过求解距离、高度等实际问题，提升数学运算的素养.

在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事．明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想．

问题：

月亮离我们地球有多远呢？

科学家们是怎样测出来的呢？

1．基线的概念与选择原则

（1）定义

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．

（2）性质

在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．

思考1：

在本课时情境引入中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？

”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？

[提示]　利用正弦定理和余弦定理．

2．测量中的有关角的概念

（1）仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．（如图所示）

（2）方向角

从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.（如图所示）

思考2：

李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？

[提示]　东南方向．

1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）已知三角形的三个角，能够求其三条边．（　　）

（2）两个不可能到达的点之间的距离无法求得．（　　）

（3）若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．

（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×

2．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为（　　）

A．α＋β　　　　　B．α－β

C．β－αD．α

C　[如图所示，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α，故选C项．]

3．某人先向正东方向走了xkm，然后他向右转150°，向新的方向走了3km，结果他离出发点恰好为

km，那么x的值为（　　）

A．

　　B．2

C．2

或

　　D．3

C　[如图，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos30°，

即x2－3

x＋6＝0，解得x＝2

或

.]

测量距离问题

【例1】　海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是（　　）

A．10

海里　　　B．

海里

C．5

海里D．5

海里

D　[根据题意，可得如图．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得

＝

，即

＝

，∴BC＝5

（海里）．]

三角形中与距离有关问题的求解策略

（1）解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解.

（2）解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．

1．为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为________m.

60　[由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽：

BD＝120·sin30°＝60（m）．]

测量高度问题

【例2】　济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？

（精确到1m）

[解]　如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．

依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，

则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－（60°＋100°）＝20°.

在△ABD中，根据正弦定理，

＝

.

∴BD＝

＝

≈38.5（m）．

在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38.5×sin80°≈38（m），

即泉城广场上泉标的高约为38m.

解决测量高度问题的一般步骤

（1）画图：

根据已知条件画出示意图.

（2）分析三角形：

分析与问题有关的三角形.

（3）求解：

运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用.

2．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H（单位：

m）．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值．

[解]　由AB＝

，BD＝

，AD＝

及AB＋BD＝AD，得

＋

＝

，

解得H＝

＝

＝124.

因此电视塔的高度H是124m.

角度问题

[探究问题]

1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是60°，距离是4km，从B到C，方位角是120°，距离是8km，从C到D，方位角是150°，距离是3km，试画出示意图．

[提示]　如图所示：

2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，则此人的速度至少是多少？

[提示]　在探究1图中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋（180°－120°）＝120°，由余弦定理得AC＝

＝4

，则此人的最小速度为v＝

＝8

（km/h）．

3．在探究1中若投递员以24km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16

km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？

[提示]　投递员到达C点的时间为t1＝

＝

（小时）＝30（分钟），追投递员的人所用时间由探究2可知t2＝

＝

（小时）＝15分钟；由于30>15＋10，所以此人在C点能与投递员相遇．

【例3】　如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sinθ的值．（结果保留根号，无需求近似值）

[思路探究]　根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决．

[解]　设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，

则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，

∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，

（28t）2＝81＋（20t）2－2×9×20t×

，

即128t2－60t－27＝0，

解得t＝

或t＝－

（舍去），

∴AC＝21（海里），BC＝15（海里）．根据正弦定理，

得sin∠BAC＝

＝

，

则cos∠BAC＝

＝

.

又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，∴θ＝45°－∠BAC，

sinθ＝sin（45°－∠BAC）

＝sin45°cos∠BAC－cos45°sin∠BAC＝

.

（变条件，变结论）在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度．

[解]　设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇（如图所示），则在△ABC中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30°，∠ABC＝135°.

由正弦定理得

＝

，即

＝

.

所以x＝

＝

＝14

（海里/小时）．

故乙船的速度为14

海里/小时．

解决实际问题应注意的问题

（1）首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.

（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题.

一、知识必备

1．基线；

2．仰角和俯角；

3．方向角．

二、方法必备

正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤

（1）分析：

理解题意，分清已知与未知，画出示意图．

（2）建模：

根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型．

（3）求解：

利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．

（4）检验：

检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（　　）

A．北偏东5°　B．北偏西10°

C．南偏东5°D．南偏西10°

B　[由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.]

2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于（　　）

A．50

米B．100

米

C．50米D．100米

A　[因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，

所以△ADC为等腰三角形，

所以AC＝DC＝100米，

在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50

米．]

3．一艘船上午9：

30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8

海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：

00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是（　　）

A．8（

＋

）海里/时

B．8（

－

）海里/时

C．16（

＋

）海里/时

D．16（

－

）海里/时

D　[由题意得在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.

由正弦定理得

＝

，

即

＝

，得AB＝8（

－

），

因此此船的航速为

＝16（

－

）（海里/小时）．]

4．在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.

200（

＋1）　[过点A作AH⊥BC于点H，

由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，

则BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200

m.

故两船距离BC＝BH＋CH＝200（

＋1）m．]

5．（一题两空）海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12

海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8

海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，则：

（1）A处与D处之间的距离为________；

（2）灯塔C与D处之间的距离为________．

（1）24海里　

（2）8

海里　[由题意，画出示意图．

（1）在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12

.

由正弦定理得AD＝

·sin45°＝24（海里）．

（2）在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋（8

）2－2×24×8

×

＝（8

）2，

∴CD＝8

（海里）．

即A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D之间的距离为8

海里．]