常用数学软件.docx
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常用数学软件
1、求矩阵
的逆矩阵
及特征值和特征向量。
解：
逆矩阵A-1=
;
特征值为
=（-1,2）;
对应的特征向量为：
a1=
a2=
matlab输入如下：
>>A=[-211;020;-413;];
>>inv（A）%求A逆矩阵
ans=
-1.50000.50000.5000
00.50000
-2.00000.50001.0000
>>[a,b]=eig（A）;%求矩阵A的特征向量和特征值
>>a
a=
-0.7071-0.24250.3015
000.9045
-0.7071-0.97010.3015
>>b
b=
-100
020
002
2、化方阵
为对角阵。
解：
方阵A的对角阵为
matlab输入如下：
>>A=[22-2;25-4;-2-45;];
>>diag（A）
ans=
2
5
5
3、已知
，在
MATLAB命令窗口中建立A、B矩阵并对其进行以下操作：
（1）计算矩阵A的行列式的值
；
（2）分别计算下列各式
解：
（1）A的行列式的值为：
=-158;
（2）2A-B=
A*B=
A.*B=
AB-1=
A-1B=
A2=
At=
Matlab输入如下：
>>A=[4-22;-305;153;];
>>det（A）
ans=
-158
>>B=[134;-20-3;2-11;];
>>2*A-B
ans=
7-70
-4013
0115
>>A*B
ans=
121024
7-14-7
-30-8
>>A.*B
ans=
4-68
60-15
2-53
>>A/B
ans=
002.0000
-2.7143-8.0000-8.1429
2.42863.00002.2857
>>A\B
ans=
0.48730.41141.0000
0.3671-0.43040
-0.10760.24680
>>A^2
ans=
2424
-7319
-81336
>>A'
ans=
4-31
-205
253
4、在MATLAB中分别利用函数rank、函数inv求下列矩阵的秩：
（1）
求rank（A）=?
（2）
求
。
解：
（1）rank（A）=3;
（2）B-1=
Matlab输入如下：
>>A=[1-632;3-540;-1-1124;];
>>rank（A）
ans=
3
>>B=[3501;1200;1020;1202;]
B=
3501
1200
1020
1202
>>inv（B）
ans=
2.0000-4.0000-0.0000-1.0000
-1.00002.50000.00000.5000
-1.00002.00000.50000.5000
0-0.500000.5000
>>
5、求一个正交变换，将二次型
化为标准型。
解：
所作变换为：
P=[881/2158985/1393-780/1351;
-881/2158985/1393780/1351;
-881/10790-780/1351]
标准型为:
T=P’AP=4y22+9y23
Matlab输入如下：
>>A=[5-13;-15-3;3-33;];
>>[P,T]=schur（A）
P=
881/2158985/1393-780/1351
-881/2158985/1393780/1351
-881/10790-780/1351
T=
*00
040
009
6、求
的所有根。
（先画图后求解）（要求贴图）
解:
Matlab图如下：
该方程有两个根x1=0.9100,x2=-0.4590
Matlab程序如下：
>>clear
>>symsxf1f2;
>>f1=exp（x）-3*x^2;
>>ezplot（f1,-0.5,1）
>>gridon
>>f2='exp（x）-3*x^2=0';
>>solve（f2）
ans=
-2*lambertw（0,-3^（1/2）/6）
-2*lambertw（0,3^（1/2）/6）
>>-2*lambertw（0,-3^（1/2）/6）
ans=
0.9100
>>-2*lambertw（0,3^（1/2）/6）
ans=
-0.4590
>>
7、求下列方程的根。
1）
解:
有五个解如下：
x1=1.1045+1.0598i
x2=1.1045-1.0598i
x3=-1.0045+1.0609i
x4=-1.0045+1.0609i
x5=-0.1999
Matlab输入如下：
>>P=[100051];
>>roots（P）
ans=
1.1045+1.0598i
1.1045-1.0598i
-1.0045+1.0609i
-1.0045-1.0609i
-0.1999
2）
解：
原方程的解为
-226.19688152398440474751335389781
Matlab输入如下：
>>symsx;
>>f='x*sin（x）-1/2=0';
>>solve（f）
ans=
-226.19688152398440474751335389781
3）
所有根。
解：
matlab画图如下：
两个解为x1=0,x2=0.7022
Matlab输入如下：
>>symsxy;
>>y=sin（x）*cos（x）-x^2;
>>ezplot（y,-0.5,1）
>>gridon;
>>fzero（'sin（x）*cos（x）-x^2',0）
ans=
0
>>fzero（'sin（x）*cos（x）-x^2',1）
ans=
0.7022
>>
8、求点（1,1,4）到直线L:
的距离
解：
点到直线的距离为：
Matlab输入如下：
>>[txyz]=solve（'x-3=-t','z-1=2*t','-（x-1）+2*（z-4）=0','y=0'）
t=
8/5
x=
7/5
y=
0
z=
21/5
>>sqrt（（x-1）^2+（y-1）^2+（z-4）^2）
ans=
（5^（1/2）*6^（1/2））/5
>>
9、已知
分别在下列条件下画出
的图形：
（要求贴图）
，在同一坐标系里作图
解：
作图如下：
Matlab程序如下：
>>clear
>>x=linspace（-4,4,2001）;
>>y1=normpdf（x,0,1）;
>>y2=normpdf（x,-1,1）;
>>y3=normpdf（x,1,1）;
>>plot（x,y1,x,y2,x,y3）
>>legend（'u=0','u=-1','u=-1'）
>>title（'sigma=1'）
>>
，在同一坐标系里作图。
解：
作图如下：
Matlab输入如下：
>>x=linspace（-4,4,2001）;
>>y1=normpdf（x,0,1）;
>>y2=normpdf（x,0,2）;
>>y3=normpdf（x,0,4）;
>>plot（x,y1,x,y2,x,y3）
>>legend（'sigma=1','sigma=2','sigma=4'）
>>title（'u=0'）
>>
10、画下列函数的图形：
（要求贴图）
（1）
解：
matlab图如下：
Matlab输入如下：
>>symsut;
>>ezmesh（u*sin（t）,u*cos（t）,t/4,[0,20,0,2]）
>>
（2）
解：
matlab图如下：
Matlab输入如下：
>>clear
>>symsxy;
>>z=sin（x*y）;
>>ezmesh（z,[0,3],60）
>>
（3）
解：
matlab图如下:
Matlab输入如下：
>>symsut;
>>ezmesh（sin（t）*（3+cos（u））,cos（t）*（3+cos（u））,sin（u）,[0,2*pi,0,2*pi]）
11、在MATLAB中判断下列向量组是否线性相关，并找出向量组
中的一个最大线性无关组。
（可用rref函数）
解：
线性相关，最大线性无关组为a1,a2,a3;
Matlab输入如下：
>>clear
>>a1=[1132]';
>>a2=[-11-13]';
>>a3=[5-289]';
>>a4=[-1317]';
>>A=[a1,a2,a3,a4];
>>rank（A）
ans=
3
>>>>rref（A）
ans=
1.0000001.0909
01.000001.7879
001.0000-0.0606
0000
12、在MATLAB中判断下列方程组解的情况，若有多个解，写出通解。
（1）
（2）
解：
（1）方程组只有零解
Matlab输入如下：
>>A=[1-14-2;1-1-12;317-2;1-3-126;];
>>b=zeros（4,0）;
>>rank（A）
ans=
4
>>A\b
ans=
Emptymatrix:
4-by-0
（2）有无穷多解；
通解：
Matlab输入如下：
>>A=[231;1-24;38-2;4-19;];
>>b=[4;-5;13;-6];
>>[rank（A）,rank（[A,b]）]
ans=
22
>>rref（[A,b]）
ans=
102-1
01-12
0000
0000
13、求解
解：
Matlab输入如下：
>>symsx;
>>f=（x-sin（x））/x^3;
>>limit（f,0）
ans=
1/6
>>
14、
解：
Matlab输入如下;
>>clear
>>symsxy;
>>y=exp（x）*cos（x）;
>>diff（y,10）
ans=
-32*exp（x）*sin（x）
>>
15、求解
解：
=0.54498710418591367
>>z=quadl（inline（'exp（x.^2）'）,0,1/2）
z=
0.544987104185914
>>vpa（z,17）
ans=
0.54498710418591367
>>
16、求解
解：
;
Matlab输入如下：
>>symsx;
>>f=x^4/（25+4*x^2）;
>>int（f）
ans=
（125*atan（（2*x）/5））/32-（25*x）/16+x^3/12
>>pretty（int（f））
/2x\
125atan|---|3
\5/25xx
--------------------+--
321612
>>
17、求由参数方程
所确定的函数的一阶导数
与二阶导数
。
解：
Matlab输入如下：
>>clear
>>symsxyt;
>>y=subs（atan（t）,t,solve（'x=log（sqrt（1+t））',t））
y=
atan（exp（2*x）-1）
>>diff（y）
ans=
（2*exp（2*x））/（（exp（2*x）-1）^2+1）
>>diff（y,2）
ans=
（4*exp（2*x））/（（exp（2*x）-1）^2+1）-（8*exp（4*x）*（exp（2*x）-1））/（（exp（2*x）-1）^2+1）^2
>>
18、设函数y=f（x）由方程xy+ey=e所确定，求y′（x）。
解：
y’（x）=-（exp
（1）-x*lambertw（0,exp（exp
（1）/x）/x））/x^2-（lambertw（0,exp（exp
（1）/x）/x）-（x^2*（exp（exp
（1）/x）/x^2+（exp
（1）*exp（exp
（1）/x））/x^3）*lambertw（0,exp（exp
（1）/x）/x））/（exp（exp
（1）/x）*（lambertw（0,exp（exp
（1）/x）/x）+1）））/x
Matlab输入如下：
>>clear
>>symsxy;
>>z=solve（'x*y+exp（y）=exp
（1）','y'）;
>>diff（z）
ans=
-（exp
（1）-x*lambertw（0,exp（exp
（1）/x）/x））/x^2-（lambertw（0,exp（exp
（1）/x）/x）-（x^2*（exp（exp
（1）/x）/x^2+（exp
（1）*exp（exp
（1）/x））/x^3）*lambertw（0,exp（exp
（1）/x）/x））/（exp（exp
（1）/x）*（lambertw（0,exp（exp
（1）/x）/x）+1）））/x
>>
19、求解
解：
Matlab输入如下：
>>symsx;
>>f=exp（-x）*sin（2*x）;
>>int（f,0,inf）
ans=
2/5
>>
20、
解：
展开为：
Matlab输入如下:
>>clear
>>symsx;
>>f=sqrt（x+1）;
>>taylor（f,9,x,0）
ans=
-（429*x^8）/32768+（33*x^7）/2048-（21*x^6）/1024+（7*x^5）/256-（5*x^4）/128+x^3/16-x^2/8+x/2+1
>>
21、
解：
y（3）
（2）=-0.5826;
Matlab输入如下：
>>symsx;
>>z=diff（exp（sin（1/x））,x,3）;
>>subs（z,x,2）
ans=
-0.5826
>>
22、求变上限函数
对变量x的导数。
解：
Matlab输入如下：
>>clear
>>symsatx;
>>diff（int（sqrt（a+t）,t,x,x^2））
Warning:
Explicitintegralcouldnotbefound.
ans=
2*x*（x^2+a）^（1/2）-（a+x）^（1/2）
>>
23、设
，数列
是否收敛？
若收敛，其值为多少？
精确到6位有效数字。
解：
收敛,
2.64575
前一百项散点图如下：
Matlab输入如下：
>>clear
>>x
（1）=3;
>>forn=1:
100,
x（n+1）=（x（n）+7/x（n））/2;
end
>>y=linspace（1,101,101）;
>>plot（y,x,'r*'）
>>vpa（x（100）,7）
ans=
2.645751
>>
24、设
取
和
时，
是否收敛？
若收敛，其值为多少？
精确到17位有效数字。
解：
p=7,
1.0083492773819228
P=8,
1.0040773561979443
Matlab输入如下：
>>clear
>>symsn;
>>a=symsum（1/n^7,1,inf）
a=
zeta（7）
>>b=symsum（1/n^8,1,inf）
b=
pi^8/9450
>>vpa（a,17）
ans=
1.0083492773819228
>>vpa（b,17）
ans=
1.0040773561979443
>>
25、求二重极限
解：
Matlab输入如下：
>>clear
>>symsxy;
>>f=log（x+exp（y））/sqrt（x^2+y^2）;
>>limit（limit（f,x,1）,y,0）
ans=
log
（2）
26、已知
。
解：
Matlab输入如下：
>>symsxyz;
>>f='exp（x）-x*y*z=0';
>>Z=solve（f,'z'）;
>>diff（Z,x）
ans=
exp（x）/（x*y）-exp（x）/（x^2*y）
>>
27、已知函数
，
求梯度。
解：
梯度为（2*x+y+3,x+4*y-3,6*z–6）；
Matlab输入如下：
>>clear
>>symsxyz;
>>f=x^2+2*y^2+3*z^2+x*y+3*x-3*y-6*z;
>>gradient=jacobian（f,[x,y,z]）
gradient=
[2*x+y+3,x+4*y-3,6*z-6]
>>
28、计算积分
，其中
由直线
围成。
解：
I=11/120
Matlab输入如下：
>>clear
>>symsxy;
>>[ab]=solve（'y=x','y=x^2'）
a=
0
1
b=
0
1
>>int（int（（2-x-y）/2,y,x^2,x）,x,0,1）
ans=
11/120
>>
29、计算曲线积分
，其中曲线
，
。
解：
Matlab输入如下：
>>clear
>>symsxyzt;
>>x=cos（t）;
>>y=sin（t）;
>>z=t;
>>dx=diff（x）;
>>dy=diff（y）;
>>dz=diff（z）;
>>f=z^2/（x^2+y^2）;
>>u=sqrt（dx^2+dy^2+dz^2）;
>>int（f*u,t,0,2*pi）
ans=
（8*2^（1/2）*pi^3）/3
>>
30、计算曲面积分
，其中
。
解：
曲面积分
=
；
Matlab输入如下：
>>symsxyzart;
>>z=sqrt（a^2-x^2-y^2）;
>>zx=diff（z,x）;
>>zy=diff（z,y）;
>>f=（x+y+z）*sqrt（zx^2+zy^2+1）;
>>u=r*sin（t）;
>>v=r*cos（t）;
>>int（int（subs（f,[xy],[uv]）*r,t,0,2*pi）,r,0,a）
ans=
pi*a^3
>>
31、求解二阶微分方程：
解：
方程为：
y=exp（9*x）/2-exp（2*x）/7+exp（x）/2;
Matlab输入如下：
>>clear
>>symsyx;
>>dsolve（'D2y-10*Dy+9*y=exp（2*x）','y（0）=6/7','Dy（0）=33/7','x'）
ans=
exp（9*x）/2-exp（2*x）/7+exp（x）/2
>>
32、求数项级数
的和。
解：
I=1;
Matlab输入如下：
>>symsn;
>>symsum（1/（n*（n+1））,n,1,inf）
ans=
1
>>
33、将函数
展开为
的幂级数。
解：
展开前5项为：
Matlab输入如下：
>>symsx;
>>;
>>f=1/x;
>>taylor（f,5,x,3）
ans=
（x-3）^2/27-x/9-（x-3）^3/81+（x-3）^4/243+2/3
>>
34、函数
的迭代是否会产生混沌？
解：
不会产生混沌，对x（0）=u,0<=u<=1,后一百项作图如下：
作图如下
Matlab输入如下：
f1.m
functiony=f1（x）
if（x>=0）&&（x<=1/2）
y=2*x;
else
y=2*（1-x）;
end
return
>>foru=0:
0.01:
1,
x
（1）=u;
fori=1:
100,
x
（1）=f1（x
（1））;
end
fori=1:
100,
x（i+1）=f1（x（i））;
end
x1=u*ones（1,length（x））;
plot（x1,x,'r.'）
holdon
end
>>
35、函数
称为Logistic映射，试从“蜘蛛网”图观察它取初值为
产生的迭代序列的收敛性，将观察记录填入下表，作出图形。
若出现循环，请指出它的周期。
（要求贴图）
表Logistic迭代的收敛性
3.3
3.5
3.56
3.568
3.6
3.84
序列收敛情况
循环发散
循环发散
循环发散
循环
发散
不循环
发散
循环
发散
解：
a=3.3,图如下：
发散，周期为5
a=3.5图如下：
发散，周期为4
a=3.56图如下：
发散周期10
a=3.568,作图如下，周期为30
a=3.6,作图如下：
发散，不循环
a=3.8,作图如下，循环发散
Matlab输入如下：
logi（a）.m
functionlogi（a）
x
（1）=0.5;
n=1;
fori=1:
1000,
x（i+1）=a*x（i）*（1-x（i））;
b1（n）=x（i）;
b2（n）=x（i+1）;
n=n+1;
b1（n）=x（i+1）;
b2（n）
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