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1、常用数学软件1、求矩阵 的逆矩阵及特征值和特征向量。解：逆矩阵A-1=;特征值为=(-1,2);对应的特征向量为：a1= , a2= matlab输入如下： A=-2 1 1;0 2 0;-4 1 3;inv(A) %求A逆矩阵ans = -1.5000 0.5000 0.5000 0 0.5000 0 -2.0000 0.5000 1.0000a,b=eig(A);%求矩阵A的特征向量和特征值aa = -0.7071 -0.2425 0.3015 0 0 0.9045 -0.7071 -0.9701 0.3015 bb = -1 0 0 0 2 0 0 0 22、化方阵为对角阵。解：方阵A的

2、对角阵为 matlab输入如下： A=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5; diag(A)ans = 2 5 53、已知，在MATLAB命令窗口中建立A、B矩阵并对其进行以下操作：(1) 计算矩阵A的行列式的值；(2)分别计算下列各式解：（1）A的行列式的值为： =-158;(2)2A-B= A*B= A.*B= AB-1=A-1B=A2=At=Matlab输入如下： A=4 -2 2;-3 0 5;1 5 3; det(A)ans = -158 B=1 3 4;-2 0 -3;2 -1 1; 2*A-Bans = 7 -7 0 -4 0 13 0 11 5 A*Bans = 12 1

3、0 24 7 -14 -7 -3 0 -8 A.*Bans = 4 -6 8 6 0 -15 2 -5 3 A/Bans = 0 0 2.0000 -2.7143 -8.0000 -8.1429 2.4286 3.0000 2.2857 ABans = 0.4873 0.4114 1.0000 0.3671 -0.4304 0 -0.1076 0.2468 0 A2ans = 24 2 4 -7 31 9 -8 13 36 Aans = 4 -3 1 -2 0 5 2 5 34、在MATLAB中分别利用函数rank、函数inv求下列矩阵的秩：(1) 求 rank(A)=? (2) 求。解：（1

4、）rank(A)=3;(2)B-1=Matlab输入如下： A=1 -6 3 2;3 -5 4 0;-1 -11 2 4; rank(A)ans = 3 B=3 5 0 1;1 2 0 0;1 0 2 0;1 2 0 2;B = 3 5 0 1 1 2 0 0 1 0 2 0 1 2 0 2 inv(B)ans = 2.0000 -4.0000 -0.0000 -1.0000 -1.0000 2.5000 0.0000 0.5000 -1.0000 2.0000 0.5000 0.5000 0 -0.5000 0 0.50005、求一个正交变换，将二次型化为标准型。解：所作变换为：P= 881

5、/2158 985/1393 -780/1351; -881/2158 985/1393 780/1351; -881/1079 0 -780/1351 标准型为:T=PAP=4y22+9y23Matlab输入如下： A=5 -1 3;-1 5 -3 ;3 -3 3; P,T=schur(A)P = 881/2158 985/1393 -780/1351 -881/2158 985/1393 780/1351 -881/1079 0 -780/1351 T = * 0 0 0 4 0 0 0 9 6、求的所有根。（先画图后求解）（要求贴图）解:Matlab图如下：该方程有两个根x1= 0.91

6、00,x2= -0.4590Matlab程序如下： clear syms x f1 f2; f1=exp(x)-3*x2; ezplot(f1,-0.5,1) grid on f2=exp(x)-3*x2=0; solve(f2)ans = -2*lambertw(0, -3(1/2)/6) -2*lambertw(0, 3(1/2)/6) -2*lambertw(0, -3(1/2)/6)ans = 0.9100 -2*lambertw(0, 3(1/2)/6)ans = -0.45907、求下列方程的根。1) 解:有五个解如下：x1= 1.1045 + 1.0598ix2= 1.1045

7、- 1.0598ix3= -1.0045+1.0609ix4=-1.0045+1.0609ix5=-0.1999Matlab输入如下： P=1 0 0 0 5 1; roots(P)ans = 1.1045 + 1.0598i 1.1045 - 1.0598i -1.0045 + 1.0609i -1.0045 - 1.0609i -0.1999 2） 解：原方程的解为-226.19688152398440474751335389781Matlab输入如下：syms x; f=x*sin(x)-1/2=0; solve(f)ans = -226.196881523984404747513353

8、89781 3）所有根。解：matlab画图如下：两个解为x1=0,x2= 0.7022Matlab输入如下： syms x y; y=sin(x)*cos(x)-x2; ezplot(y,-0.5,1) grid on; fzero(sin(x)*cos(x)-x2,0)ans = 0 fzero(sin(x)*cos(x)-x2,1)ans =0.70228、求点(1,1,4)到直线L:的距离 解：点到直线的距离为： Matlab输入如下： t x y z=solve(x-3=-t,z-1=2*t,-(x-1)+2*(z-4)=0,y=0)t = 8/5 x = 7/5 y = 0 z =

9、 21/5 sqrt(x-1)2+(y-1)2+(z-4)2) ans = (5(1/2)*6(1/2)/59、已知分别在下列条件下画出的图形：（要求贴图），在同一坐标系里作图解：作图如下：Matlab程序如下： clear x=linspace(-4,4,2001); y1=normpdf(x,0,1); y2=normpdf(x,-1,1); y3=normpdf(x,1,1); plot(x,y1,x,y2,x,y3) legend(u=0,u=-1,u=-1) title(sigma=1)，在同一坐标系里作图。解：作图如下：Matlab输入如下： x=linspace(-4,4,200

10、1); y1=normpdf(x,0,1); y2=normpdf(x,0,2); y3=normpdf(x,0,4); plot(x,y1,x,y2,x,y3) legend(sigma=1,sigma=2,sigma=4) title(u=0)10、画下列函数的图形：（要求贴图）(1) 解：matlab图如下：Matlab输入如下： syms u t; ezmesh(u*sin(t),u*cos(t),t/4,0,20,0,2) (2) 解：matlab图如下：Matlab输入如下： clear syms x y; z=sin(x*y); ezmesh(z,0,3,60)(3) 解：mat

11、lab图如下:Matlab输入如下： syms u t; ezmesh(sin(t)*(3+cos(u),cos(t)*(3+cos(u),sin(u),0,2*pi,0,2*pi)11、在MATLAB中判断下列向量组是否线性相关，并找出向量组中的一个最大线性无关组。(可用rref函数)解：线性相关，最大线性无关组为a1,a2,a3;Matlab输入如下： clear a1=1 1 3 2; a2=-1 1 -1 3; a3=5 -2 8 9; a4=-1 3 1 7; A=a1,a2,a3,a4; rank(A)ans = 3 rref(A)ans = 1.0000 0 0 1.0909 0

12、 1.0000 0 1.7879 0 0 1.0000 -0.0606 0 0 0 012、在MATLAB中判断下列方程组解的情况，若有多个解，写出通解。(1) (2) 解：（1）方程组只有零解 Matlab输入如下： A=1 -1 4 -2;1 -1 -1 2;3 1 7 -2;1 -3 -12 6; b=zeros(4,0); rank(A)ans = 4 Abans = Empty matrix: 4-by-0（2）有无穷多解； 通解： Matlab输入如下： A=2 3 1 ;1 -2 4;3 8 -2;4 -1 9; b=4;-5;13;-6; rank(A),rank(A,b)an

13、s = 2 2 rref(A,b)ans = 1 0 2 -1 0 1 -1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 13、求解 解： Matlab输入如下： syms x; f=(x-sin(x)/x3; limit(f,0)ans = 1/614、 解： Matlab输入如下; clear syms x y; y=exp(x)*cos(x); diff(y,10)ans = -32*exp(x)*sin(x)15、求解解： =0.54498710418591367 z=quadl(inline(exp(x.2),0,1/2)z = 0.544987104185914 vpa(z,17)ans

14、= 0.5449871041859136716、求解解：;Matlab输入如下： syms x; f=x4/(25+4*x2); int(f)ans = (125*atan(2*x)/5)/32 - (25*x)/16 + x3/12 pretty(int(f) / 2 x 125 atan| - | 3 5 / 25 x x - - - + - 32 16 1217、求由参数方程所确定的函数的一阶导数与二阶导数。解： Matlab输入如下： clear syms x y t; y=subs(atan(t),t, solve(x=log(sqrt(1+t),t)y = atan(exp(2*x

15、) - 1) diff(y)ans = (2*exp(2*x)/(exp(2*x) - 1)2 + 1) diff(y,2)ans = (4*exp(2*x)/(exp(2*x) - 1)2 + 1) - (8*exp(4*x)*(exp(2*x) - 1)/(exp(2*x) - 1)2 + 1)2 18、设函数y=f(x)由方程xy +ey= e所确定，求y(x)。解：y(x)= - (exp(1) - x*lambertw(0, exp(exp(1)/x)/x)/x2 - (lambertw(0, exp(exp(1)/x)/x) - (x2*(exp(exp(1)/x)/x2+(exp

16、(1)*exp(exp(1)/x)/x3)*lambertw(0,exp(exp(1)/x)/x)/(exp(exp(1)/x)*(lambertw(0, exp(exp(1)/x)/x) + 1)/xMatlab输入如下： clear syms x y; z= solve(x*y+exp(y)=exp(1),y); diff(z)ans = - (exp(1) - x*lambertw(0, exp(exp(1)/x)/x)/x2 - (lambertw(0, exp(exp(1)/x)/x) - (x2*(exp(exp(1)/x)/x2+(exp(1)*exp(exp(1)/x)/x3)

17、*lambertw(0,exp(exp(1)/x)/x)/(exp(exp(1)/x)*(lambertw(0, exp(exp(1)/x)/x) + 1)/x19、求解解： Matlab输入如下： syms x; f=exp(-x)*sin(2*x); int(f,0,inf) ans = 2/520、解：展开为：Matlab输入如下: clear syms x; f=sqrt(x+1); taylor(f,9,x,0)ans = - (429*x8)/32768 + (33*x7)/2048 - (21*x6)/1024 + (7*x5)/256 - (5*x4)/128 + x3/16

18、- x2/8 + x/2 + 1 21、 解：y(3)(2)= -0.5826;Matlab输入如下： syms x; z=diff(exp(sin(1/x),x,3); subs(z,x,2)ans = -0.582622、求变上限函数对变量x的导数。解： Matlab输入如下： clear syms a t x; diff(int(sqrt(a+t),t,x,x2)Warning: Explicit integral could not be found. ans = 2*x*(x2 + a)(1/2) - (a + x)(1/2) 23、设，数列是否收敛？若收敛，其值为多少？精确到6位有

19、效数字。解：收敛, 2.64575前一百项散点图如下：Matlab输入如下： clear x(1)=3; for n=1:100,x(n+1)=(x(n)+7/x(n)/2;end y=linspace(1,101,101); plot(y,x,r*) vpa(x(100),7)ans = 2.645751 24、设取和时，是否收敛？若收敛，其值为多少？精确到17位有效数字。解：p=7, 1.0083492773819228P=8, 1.0040773561979443Matlab输入如下： clear syms n; a=symsum(1/n7,1,inf)a = zeta(7) b= sy

20、msum(1/n8,1,inf)b = pi8/9450 vpa(a,17)ans = 1.0083492773819228 vpa(b,17)ans = 1.0040773561979443 25、求二重极限解： Matlab输入如下： clear syms x y; f=log(x+exp(y)/sqrt(x2+y2); limit(limit(f,x,1),y,0)ans = log(2)26、已知。解： Matlab输入如下： syms x y z; f=exp(x)-x*y*z=0; Z=solve(f,z); diff(Z,x)ans = exp(x)/(x*y) - exp(x)

21、/(x2*y) 27、已知函数，求梯度。解：梯度为（2*x + y + 3, x + 4*y - 3, 6*z 6）；Matlab输入如下： clear syms x y z; f=x2+2*y2+3*z2+x*y+3*x-3*y-6*z; gradient=jacobian(f,x,y,z)gradient = 2*x + y + 3, x + 4*y - 3, 6*z - 6 28、计算积分，其中由直线围成。解：I=11/120Matlab输入如下： clear syms x y; a b=solve(y=x,y=x2)a = 0 1 b = 0 1 int(int(2-x-y)/2,y,

22、x2,x),x,0,1)ans = 11/120 29、计算曲线积分，其中曲线，。解： Matlab输入如下： clear syms x y z t; x=cos(t); y=sin(t); z=t; dx=diff(x); dy=diff(y); dz=diff(z); f=z2/(x2+y2); u=sqrt(dx2+dy2+dz2); int(f*u,t,0,2*pi)ans = (8*2(1/2)*pi3)/3 30、计算曲面积分，其中。解：曲面积分=；Matlab输入如下： syms x y z a r t; z=sqrt(a2-x2-y2); zx=diff(z,x); zy=di

23、ff(z,y); f=(x+y+z)*sqrt(zx2+zy2+1); u=r*sin(t); v=r*cos(t); int(int(subs(f,x y,u v)*r,t,0,2*pi),r,0,a) ans = pi*a3 31、求解二阶微分方程： 解：方程为：y=exp(9*x)/2 - exp(2*x)/7 + exp(x)/2;Matlab输入如下： clear syms y x; dsolve(D2y-10*Dy+9*y=exp(2*x),y(0)=6/7,Dy(0)=33/7,x) ans = exp(9*x)/2 - exp(2*x)/7 + exp(x)/2 32、求数项级

24、数的和。解：I=1;Matlab输入如下： syms n; symsum(1/(n*(n+1),n,1,inf)ans = 133、将函数展开为的幂级数。解：展开前5项为：Matlab输入如下： syms x; ; f=1/x; taylor(f,5,x,3)ans = (x - 3)2/27 - x/9 - (x - 3)3/81 + (x - 3)4/243 + 2/3 34、函数的迭代是否会产生混沌？解：不会产生混沌，对x(0)=u,0=u=0)&(x for u=0:0.01:1,x(1)=u;for i=1:100,x(1)=f1(x(1);endfor i=1:100,x(i+1)

25、=f1(x(i);endx1=u*ones(1,length(x);plot(x1,x,r.)hold onend35、函数称为Logistic映射，试从“蜘蛛网”图观察它取初值为产生的迭代序列的收敛性，将观察记录填入下表，作出图形。若出现循环，请指出它的周期。（要求贴图）表 Logistic迭代的收敛性 3.33.53.563.5683.63.84序列收敛情况循环发散循环发散循环发散循环发散不循环发散循环发散解：a=3.3,图如下：发散，周期为5a=3.5图如下：发散，周期为4a=3.56图如下：发散周期10a=3.568,作图如下，周期为30a=3.6,作图如下：发散，不循环a=3.8,作图如下，循环发散Matlab输入如下：logi(a).mfunction logi(a)x(1)=0.5;n=1;for i=1:1000, x(i+1)=a*x(i)*(1-x(i); b1(n)=x(i); b2(n)=x(i+1); n=n+1; b1(n)=x(i+1); b2(n)