高中数学第一章三角函数71正切函数的定义72正切函数的图像与性质学案北师大必修40108258.docx
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高中数学第一章三角函数71正切函数的定义72正切函数的图像与性质学案北师大必修40108258
7．1 正切函数的定义
7．2 正切函数的图像与性质
内容要求 1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tanx的图像.2.掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质（重点）.3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用（难点）．
知识点1 正切函数的定义
（1）任意角的正切函数：
如果角α满足α∈R，α≠
＋kπ（k∈Z），那么，角α的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值
，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠
＋kπ，k∈Z.
（2）正切函数与正弦、余弦函数的关系：
根据定义知tanα＝
（α∈R，α≠kπ＋
，k∈Z）．
（3）正切值在各象限的符号：
根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负．
（4）正切线：
在单位圆中令A（1,0），过A作x轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角α的正切线．
【预习评价】
1．若角α的终边上有一点P（2x－1,3），且tanα＝
，则x的值为（ ）
A．7B．8
C．15D.
解析 由正切函数的定义tanα＝
＝
，解之得x＝8.
答案 B
2．函数y＝tan2x的定义域为________．
解析 由正切函数的定义知，若使y＝tan2x有意义，则2x≠kπ＋
（k∈Z）．
解得x≠
＋
（k∈Z）．
答案
知识点2 正切函数的图像及特征
（1）y＝tanx，x∈R且x≠
＋kπ，k∈Z的图像（正切曲线）：
（2）正切曲线的特征：
正切曲线是由被相互平行的直线x＝kπ＋
（k∈Z）隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．
【预习评价】
正切函数是奇函数，图像关于原点对称，那么正切函数的对称中心只有一个吗？
提示 正切函数的对称中心除了原点外，诸如（π，0）等都是对称中心，正切函数有无数个对称中心．
知识点3 正切函数的性质
函数
y＝tanx
定义域
值域
R
周期性
周期为kπ（k∈Z，k≠0），最小正周期为π
奇偶性
奇函数
单调性
在
（k∈Z）上是增加的
【预习评价】 （正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）正切函数为定义域上的增函数（×）
（2）正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tanx是增加的．（√）
（3）若x是第一象限的角，则y＝tanx是增函数（×）
（4）正切函数y＝tanx的对称中心为（kπ，0）k∈Z.（×）
题型一 正切函数的定义
【例1】 已知角α的终边经过点P（－4a,3a）（a≠0），求sinα，cosα、tanα的值．
解 r＝
＝5|a|，
若a＞0，则r＝5a，角α在第二象限，sinα＝
＝
＝
，
cosα＝
＝
＝－
.tanα＝
＝
＝－
；
若a＜0，则r＝－5a，
角α在第四象限，sinα＝－
，
cosα＝
，tanα＝－
.
规律方法 已知角α终边上任一点的坐标（m，n）利用定义求tanα时，其值与该点的位置无关且tanα＝
.但要注意判断角α所在象限．利用定义可求下列特殊角的正切：
α
0
tanα
0
1
－
－1
－
【训练1】 若tanα＝
，利用三角函数的定义，求sinα和cosα.
解 ∵tanα＝
＞0，∴角α是第一或第三象限角．
①若角α是第一象限角，则由tanα＝
，角α的终边上必有一点P（2,1），
∴r＝|OP|＝
＝
.
∴sinα＝
＝
＝
，cosα＝
＝
＝
.
②若角α是第三象限角，则由tanα＝
知，角α的终边上必有一点P（－2，－1），
∴r＝|OP|＝
＝
.
∴sinα＝
＝
＝－
，cosα＝
＝
＝－
.
题型二 正切函数的图像及应用
【例2】 利用正切函数的图像作出y＝|tanx|的图像并写出使y＝
的x的集合．
解 ∵当x∈
时，y＝tanx≤0，
当x∈
时，y＝tanx＞0，
∴y＝|tanx|＝
如图所示．
使y＝
的x的集合为
.
规律方法 1.作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是
，（0,0），
，两线是直线x＝±
为渐近线．
2．如果由y＝f（x）的图像得到y＝f（|x|）及y＝|f（x）|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f（x）（x≥0）的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f（|x|）（x≤0）的图像；同理只要作出y＝f（x）的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝|f（x）|的图像．
【训练2】
（1）函数y＝
的定义域为________．
解析 要使该函数有意义，则有
即x≠kπ－
且x≠kπ＋
.
答案
（2）根据正切函数的图像，写出tanx≥－1的解集．
解 作出y＝tanx及y＝－1的图像，如下图．
∴满足此不等式的x的集合为
.
方向1 比较大小
【例3－1】 比较tan1、tan2、tan3的大小．
解 ∵tan2＝tan（2－π），tan3＝tan（3－π），
又∵
<2<π，∴－
<2－π<0.
∵
<3<π，∴－
<3－π<0，
显然－
<2－π<3－π<1<
，
且y＝tanx在
内是增函数，
∴tan（2－π）即tan2方向2 求解最值
【例3－2】 若x∈
，求函数y＝tan2x＋2tanx＋2的最值及相应的x值．
解 令t＝tanx，∵x∈
，
∴t∈[－
，1]，
y＝t2＋2t＋2＝（t＋1）2＋1，
∴当t＝－1，即x＝－
时，ymin＝1，
当t＝1，即x＝
时，ymax＝5.
方向3 性质的综合应用
【例3－3】 已知f（x）＝－atanx（a≠0）．
（1）判断f（x）在x∈
上的奇偶性；
（2）求f（x）的最小正周期；
（3）求f（x）的单调区间；
（4）若a＞0，求f（x）在
上的值域．
解
（1）∵f（x）＝－atanx（a≠0），x∈
，
∴f（－x）＝－atan（－x）＝atanx＝－f（x）．
又∵定义域
关于原点对称，
∴f（x）为奇函数．
（2）f（x）的最小正周期为π.
（3）∵y＝tanx在
（k∈Z）上单调递增，
∴当a＞0时，f（x）在
（k∈Z）上单调递减，
当a＜0时，f（x）在
（k∈Z）上单调递增．
（4）当a＞0时，f（x）在
上单调递减，故x＝
时，f（x）max＝－a，无最小值．
∴f（x）的值域为（－∞，－a]．
规律方法 1.比较同名三角函数值的大小，实质上是将两个角利用周期性放在同一个单调区间内，利用单调性比较大小．
2．对于形如y＝tan（ωx＋φ）（ω、φ为非零常数）的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解.
课堂达标
1．函数y＝3tan（2x＋
）的定义域是（ ）
A．{x|x≠kπ＋
，k∈Z}B．{x|x≠
π－
，k∈Z}
C．{x|x≠
π＋
，k∈Z}D．{x|x≠
π，k∈Z}
解析 由2x＋
≠kπ＋
（k∈Z），解得x≠
＋
.
答案 C
2．函数f（x）＝tan（x＋
）的单调递增区间为（ ）
A．（kπ－
，kπ＋
），k∈Z
B．（kπ，（k＋1）π），k∈Z
C．（kπ－
，kπ＋
），k∈Z
D．（kπ－
，kπ＋
），k∈Z
解析 由kπ－
＜x＋
＜kπ＋
，k∈Z.
解之得kπ－
＜x＜kπ＋
，故选C.
答案 C
3．已知点P（tanα，cosα）在第二象限，则α的终边在第________象限．
解析 由P点在第二象限．∴tanα＜0，cosα＞0，
∴α在第四象限．
答案 四
4．若角θ的终边经过点A
，且tanθ＝
，则m＝________.
解析 由tanθ＝
＝
＝
.
∴m＝－
.
答案 －
5．函数y＝tan（2x＋θ）图像的一个对称中心为
，若－
＜θ＜
，求θ的值．
解 因为函数y＝tan（2x＋θ）的一个对称中心为
，
∴2·
＋θ＝
，k∈Z.∴θ＝
－
π，k∈Z.
又∵－
＜θ＜
，
∴当k＝2时，θ＝
；当k＝1时，θ＝－
.
∴满足题意的θ为
或－
.
课堂小结
1．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－
，x＝
，然后描出三个点（0,0），（
，1），（－
，－1），用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．
2．正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质时应注意它们的区别．
（1）正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1,1]，正切函数是无界函数，值域为R.
（2）正弦、余弦函数的图像是连续的，定义域为R，正切函数的图像是不连续的，定义域为
.
（3）正弦、余弦函数均是既有增区间又有减区间，而正切函数在每一个区间
（k∈Z）上都是增加的.
基础过关
1．已知sinθ·tanθ＜0，那么角θ是（ ）
A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角
解析 若sinθ＞0，tanθ＜0，则θ在第二象限；若sinθ＜0，tanθ＞0，则θ在第三象限．
答案 B
2．若已知角α满足sinα＝
，cosα＝
，则tanα＝（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 由三角函数定义可知tanα＝
.
答案 B
3．函数f（x）＝
tan
，x∈R的最小正周期为（ ）
A.
B．π
C．2πD．4π
解析 由
＝2π，故选C.
答案 C
4．使函数y＝2tanx与y＝cosx同时为单调递增的区间是________________．
解析 由y＝2tanx与y＝cosx的图像知，同时为单调递增的区间为（2kπ－
，2kπ]（k∈Z）和[2kπ＋π，2kπ＋
）（k∈Z）．
答案 （2kπ－
，2kπ]（k∈Z）和[2kπ＋π，2kπ＋
）（k∈Z）
5．函数y＝tanx
的值域是________．
解析 ∵y＝tanx在区间
上单调递增．
tan
＝－tan
＝－1，tan
＝
，
∴y＝tanx在
上的值域是
.
答案 [－1，
]
6．求函数y＝tan
的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
解 由3x－
≠kπ＋
，k∈Z，
得x≠
＋
，k∈Z.
所以所求定义域为
.
值域为R，周期T＝
，是非奇非偶函数．
在区间
（k∈Z）上是增函数．
7．利用函数图像，解不等式－1≤tanx≤
.
解 作出函数y＝tanx的图像，如图所示．观察图像可得：
在
内，满足条件的x为－
≤x≤
，由正切函数的周期性可知，
满足不等式的x的解集为
.
能力提升
8．关于函
升级会员 