高中数学知识点公式解题技巧大全集【强烈推荐】.ppt

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公式汇公式汇一一般般地地，曲曲线线y=f（x）上上一一点点P（x0，y0）的的切切线线的斜率的计算公式：

的斜率的计算公式：

利利用公式）点用公式）点P（x0，y0）关于直线）关于直线Ax+By+C=0的对称点的对称点Q的坐标为的坐标为一般地一般地：

点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=x的对称点为（的对称点为（y0，x0）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=-x的对称点为（的对称点为（-y0，-x0）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=x+b的对称点为（的对称点为（y0-b，x0+b）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=-x+b的对称点为（的对称点为（b-y0，-x0+b）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=0（即（即x轴）的对称点为（轴）的对称点为（x0，-y0）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线x=0（即（即y轴）的对称点为（轴）的对称点为（-x0，y0）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=m的对称点为（的对称点为（x0，2m-y0）点（点（x0，y0）关于直线）关于直线x=n的对称点为（的对称点为（2n-x0，y0）注：

注：

当对称轴的斜率为当对称轴的斜率为1或对称轴与或对称轴与坐标轴垂直坐标轴垂直时可用上时可用上述方法直接求出对称点的坐标。

述方法直接求出对称点的坐标。

数列通项an等差数列前n项和Sn等比数列定义通项前n项和性质知识结构等等差差数数列列等等比比数数列列定义定义通项公式通项公式中项公式中项公式前前nn项和项和公式公式an+1-an=d（常常数数）,nN*an+1/an=q（常常数数）,nN*an=a1+（n-1）dan=a1qn-1（a1,q0）若若a，A，b成等差成等差数数列，则列，则A=（a+b）/2.等差、等比数列的有关概念和公式等差、等比数列的有关概念和公式若若aa，GG，bb成等比数列成等比数列，则则GG22=abab（a,b0a,b0）判断（或证明）数列为等差判断（或证明）数列为等差（等比）的方法：

等比）的方法：

方法一（定义）方法一（定义）（an+1an=d或或anan1=d（n2）方法二方法二（等差中项等差中项）an+1+an1=2an（n2）1、等差数列：

、等差数列：

2、等比数列：

、等比数列：

等差数列与等比数列前等差数列与等比数列前nn项和项和注意公式的变形应用注意公式的变形应用

（1）

（2）若若则则（3）若数列）若数列是等差数列，则是等差数列，则也是等差数列也是等差数列等差数列的重要性质等差数列的重要性质若项数为n2则ndSS=-奇偶若项数为12-n则naSS=-偶奇（中间项）通项公式：

通项公式：

等差数列等差数列an的判定方法：

的判定方法：

等差数列性质等差数列性质：

若数列若数列an是公差为是公差为d的等差数列，则的等差数列，则前前nn和公式：

和公式：

等差数列等差数列aann说明：

说明：

利用这一特征，可以简化解题，减少运算量利用这一特征，可以简化解题，减少运算量.等差数列等差数列an的判定方法：

的判定方法：

设设数列数列的前的前项和，项和，即即则则知和求项知和求项:

等差数列和等比数列的比较等差数列和等比数列的比较11通项公式通项公式等差数列等差数列等比数列等比数列2前前n项和项和n的系数的系数k就是公差就是公差特特征征特特征征是关于是关于n的不含常的不含常数项的二次函数数项的二次函数a的的n次幂的系数与常次幂的系数与常数项互为相反数项互为相反数。

数。

底数底数a就是公比就是公比33性质性质等差数列等差数列等比数列等比数列基本不等式基本不等式

（2）一一“正正”二二“定定”三三“相相等等”重要结论：

重要结论：

调调和和平平均均数数几几何何平平均均数数算算术术平平均均数数平平方方平平均均数数11“直线定界、特殊点定域直线定界、特殊点定域”.22“同侧同号、异侧异号同侧同号、异侧异号”.知识串知识串等价转化思想等价转化思想2.直线方程：

直线方程：

形形式式条条件件方方程程点斜式点斜式过点过点（x0,y0）,斜率为斜率为k斜截式斜截式在在y轴上的截距为轴上的截距为b,斜率为斜率为k两点式两点式过过P1（x1,y1）,P2（x2,y2）截距式截距式在在y轴上的截距为轴上的截距为b,在在x轴上的截距为轴上的截距为a一般式一般式A、B不同时为不同时为03.已知两已知两直线直线l1:

y=k1x+b1,l2:

y=k2x+b2时，时，则直线则直线l1l2k1=k2且且b1b2k1k2=1直线直线l1l2已知两直线已知两直线l1:

A1x+B1y+C1=0,l2:

A2x+B2y+C2=0且且A1B1C10,A2B2C20，则直线则直线l1l2l1l2直线直线l1与与l2重合重合直线直线l1与与l2相交相交4.与直与直线Ax+By+C=0平行的直平行的直线可可设为:

_；Ax+By+=0（C）与直与直线Ax+By+C=0垂直的直垂直的直线可可设为:

_；BxAy+=0过两直两直线l1:

A1x+B1y+C1=0,l2:

A2x+B2y+C2=0交点的直交点的直线可可设为:

_.A1x+B1y+C1+（A2x+B2y+C2）=05.两点两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）间的距离公式为间的距离公式为:

，点点P（x0，y0）到到直线直线l:

Ax+By+C=0的距的距离公式为离公式为:

两平行直线两平行直线l1:

Ax+By+C1=0,l2:

Ax+By+C2=0间的距离为间的距离为:

基础自查基础自查到定点的距离等于定长到定点的距离等于定长（a，b）x2y2r2求曲线的轨迹方程求曲线的轨迹方程1待定系数法待定系数法2定义法定义法3直接法直接法4相关点法相关点法5点差法点差法6向量法向量法7参数法参数法标准方程标准方程范范围围对称性对称性顶顶点点离心率离心率关于坐标轴对称、关于原点对称关于坐标轴对称、关于原点对称（-a,0）,（a,0）（0,-a）,（0,a）图图象象焦焦点点（-c,0）,（c,0）（0,-c）,（0,c）渐近线渐近线准准线线双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e=?

A1A2B1B2abcx0y几何意义几何意义F1F2焦半径公式：

焦半径公式：

同理可得焦点在同理可得焦点在y轴上的焦半径公式：

轴上的焦半径公式：

F1F2xy图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率x轴轴抛物线的几何性质抛物线的几何性质x轴轴y轴轴y轴轴方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0yRx0yRxRy0y0xRlFyxO关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）引例引例.yOx.ABF想想一一想想？

.当直线的斜率存在时，弦长公式：

当直线的斜率存在时，弦长公式：

（其中（其中（），（），（）是交点坐）是交点坐标）。

）。

抛物抛物线的焦点弦的焦点弦长公式公式其中其中为过焦点的直焦点的直线的的倾斜角。

斜角。

|AB|=基础自查基础自查1平面的基本性质平面的基本性质

（1）公公理理1：

如如果果一一条条直直线上上的的两两点点在在一一个个平平面面内内，那那么么这这条条直直线线上上所所有有的的点都点都在这个平面内在这个平面内

（2）公公理理2：

如如果果两两个个平平面面（不不重重合合的的两两个个平平面面）有有公公共共点点，那那么么它它们们还有其还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线（3）公理公理3：

经过：

经过的三点，有且只有一个平面的三点，有且只有一个平面推论推论1：

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面：

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论推论2：

经过两条相交直线，有且只有一个平面：

经过两条相交直线，有且只有一个平面推论推论3：

经过两条平行直线，有且只有一个平面：

经过两条平行直线，有且只有一个平面一个一个不在同一条直线上不在同一条直线上2空间两条直线空间两条直线

（1）空空间两条直两条直线的位置关系有的位置关系有、

（2）平行直线平行直线公理公理4：

平行于同一条直线的两条直线：

平行于同一条直线的两条直线等角定理：

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那等角定理：

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角么这两个角（3）异面直线异面直线定义：

异面直线是指定义：

异面直线是指的两条直线的两条直线性质：

两条异面直线既不相交又不平行性质：

两条异面直线既不相交又不平行判定定理：

过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线判定定理：

过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线是异面直线（4）异面直线所成的角异面直线所成的角已知两条异面直线已知两条异面直线a，b，经过空间任一点，经过空间任一点O作直线作直线aa，bb，由于，由于a和和b所成角的大小与点所成角的大小与点O的选择无关，我们把的选择无关，我们把a与与b所成的锐角所成的锐角（或直角或直角）叫做叫做异面直线异面直线a与与b所成的角所成的角（或夹角或夹角）如果两条异面直线所成的角是如果两条异面直线所成的角是，就说两条异面直线互相垂直，就说两条异面直线互相垂直相交相交平行平行异面异面互相平行互相平行相等相等不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内直角直角3斜二测画法斜二测画法

（1）在已知在已知图形中取互相垂直的形中取互相垂直的轴Ox、Oy，画直观图时，把它画成对应的轴画直观图时，把它画成对应的轴Ox、Oy使使xOy45或或135，它们确定的平面表示水平，它们确定的平面表示水平面面

（2）已知图形中平行于已知图形中平行于x轴或轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴和轴和y轴的线段轴的线段（3）在直观图中，已知图形中平行于在直观图中，已知图形中平行于x轴的线段，轴的线段，；平行于；平行于y轴轴的线段，的线段，保持原长度不变保持原长度不变长度为原来的一半长度为原来的一半基础自查基础自查1直线和平面平行直线和平面平行

（1）定定义：

直：

直线和平面没有公共点和平面没有公共点，则称直线平行于平面，则称直线平行于平面

（2）判定定理：

如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这判定定理：

如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行条直线和这个平面平行用符号表示为：

用符号表示为：

.（3）性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，的平面和这个平的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行面相交，那么这条直线就和交线平行用符号表示为：

用符号表示为：

a，a，bab.经过这条直线经过这条直线a，b，且，且aba2两个平面平行两个平面平行

（1）定义：

两个平面没有公共点，称这两个平面平行定义：

两个平面没有公共点，称这两个平面平行

（2）判判定定定定理理：

如如果果一一个个平平面面内内都都平平行行于于另另一一个个平平面面，那那么么这这两两个平面平行个平面平行用符号表示：

用符号表示：

a，b，abM，a，b.（3）性质定理：

如果两平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行性质定理：

如果两平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行用符号表示：

用符号表示：

.有两条相交直线有两条相交直线，a，bab1直线与平面垂直直线与平面垂直

（1）判定直线和平面垂直的方法判定直线和平面垂直的方法定义法定义法利用判定定理：

一条直线和一个平面内的两条利用判定定理：

一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则该直线和直线都垂直，则该直线和此平面垂直此平面垂直推论：

如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也推论：

如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也于这个平面于这个平面

（2）直线和平面垂直的性质直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内直线垂直于平面，则垂直于平面内直线直线垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一直线的两平面垂直于同一直线的两平面相交相交垂直垂直任意任意平行平行平行平行2三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理定理：

在平面内的一条直定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它那么它也和这条斜线垂直也和这条斜线垂直逆定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和逆定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的这条斜线的垂直垂直3平面与平面垂直平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直的判定方法平面与平面垂直的判定方法定义法定义法利用判定定理：

一个平面过另一个平面的利用判定定理：

一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直，则这两个平面垂直

（2）平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于两平面垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面的直线垂直于另一个平面射影射影一条垂线一条垂线交线交线基础自查棱柱棱柱棱棱锥定定义有两个面互相有两个面互相，其余各面都，其余各面都是四是四边形，并且每相形，并且每相邻两个四两个四边形形的公共的公共边都互相平行，都互相平行，这些面些面围成成的几何体的几何体有一个面是多有一个面是多边形，其余各面形，其余各面是是的三角形，由的三角形，由这些面些面围成的几何体成的几何体底面底面互相平行的面互相平行的面多多边形形侧面面其余各面其余各面侧棱棱两个两个侧面的公共面的公共边顶点点侧面与底面的公共面与底面的公共顶点点各各侧面的公共面的公共顶点点高高两个底面两个底面间的距离的距离顶点到底面的距离点到底面的距离平行有一个公共顶点棱柱棱柱棱棱锥侧面面平行四平行四边形形三角形三角形侧棱棱平行且相等平行且相等交于一点交于一点平行于底面的截面平行于底面的截面与底面全等的多与底面全等的多边形形与底面相似的多与底面相似的多边形形纵截面截面平行四平行四边形形三角形三角形中心全等的等腰三角形相等平行四平行四边形面形面积之和之和斜高乘斜高乘积的一半的一半基础自查基础自查1多面体多面体

（1）多面体的概念多面体的概念若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点的顶点把一个多面体的任何一个面伸展为平面，如果其他各面都在这个平面的同侧，把一个多面体的任何一个面伸展为平面，如果其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体这样的多面体叫做凸多面体一个凸多面体至少有一个凸多面体至少有面，多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、面，多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等六面体等

（2）正多面体正多面体每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为端点都有相同数目的棱的每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为端点都有相同数目的棱的凸多面体叫做正多面体凸多面体叫做正多面体4个个垂直垂直直径直径法向量法向量1、平面图形的直观图画法、平面图形的直观图画法

（1）画轴.

（2）确定平行线段）确定平行线段.xyo（450或1350）xyo平行平行x轴的线段平行于轴的线段平行于x轴轴平行平行y轴的线段平行于轴的线段平行于y轴轴（3）确定线段长度）确定线段长度.平行平行x轴的线段的长度保持不变轴的线段的长度保持不变.平行平行y轴的线段的长度变为原来的一半轴的线段的长度变为原来的一半.确定点位置的画法确定点位置的画法:

在斜坐标系里在斜坐标系里横坐标保持不变横坐标保持不变,纵坐标变为原来的纵坐标变为原来的一半一半.特殊的平行投影画法特殊的平行投影画法斜二测画法斜二测画法无无平面外平面外此平面内此平面内aa,bb,且且aabbaa【知识梳理知识梳理】1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定类别类别语言表述语言表述应应用用判判定定如果一条直线和一个平面内的任何一如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直条直线都垂直,那么这条直线和这个那么这条直线和这个平面垂直平面垂直证直线和平面垂证直线和平面垂直直如果一条直线和一个平面内的两条相如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直交直线都垂直,那么这条直线垂直于那么这条直线垂直于这个平面这个平面证直线和平面垂证直线和平面垂直直如果两条平行直线中的一条垂直于一如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面个平面,那么另一条也垂直于同一个平那么另一条也垂直于同一个平面面证直线和平面垂证直线和平面垂直直【知识梳理知识梳理】2直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质baba类别语言表述言表述图示示字母表示字母表示应用用性性质如果一条直如果一条直线和和一个平面垂直一个平面垂直,那么那么这条直条直线和和这个平面内的任个平面内的任何一条直何一条直线都垂都垂直直ab证两两条直条直线垂垂直直如果两条直如果两条直线同同垂直于一个平面垂直于一个平面,那么那么这两条直两条直线平行平行ab证两两条直条直线平平行行【知识梳理知识梳理】2两个平面平行的判定两个平面平行的判定aPbaaPbab类类别别语言表述语言表述图图示示字母表示字母表示应应用用判判定定如果一个平面内有如果一个平面内有两条相交直线都平两条相交直线都平行于另一个平面，行于另一个平面，那么这两个平面平那么这两个平面平行行证证两两平平面面平平行行如果一个平面内有如果一个平面内有两条相交直线分别两条相交直线分别平行于另一个平面平行于另一个平面内的两条直线，那内的两条直线，那么这两个平面平行么这两个平面平行垂直于同一条直垂直于同一条直线的两个平面平行的两个平面平行【知识梳理知识梳理】3两个平面平行的性质两个平面平行的性质aaba类别类别语言表述语言表述图图示示字母表示字母表示应应用用性性质质如果两个平面平如果两个平面平行，那么其中一行，那么其中一个平面内的直线个平面内的直线必平行于另一个必平行于另一个平面平面a证直线证直线和平面和平面平行平行如果两个平行平如果两个平行平面同时和第三个面同时和第三个平面相交，那么平面相交，那么它们的交线平行它们的交线平行ab证两条证两条直线平直线平行行性性质质一条直线垂直于一条直线垂直于两个平行平面中两个平行平面中的一个平面，它的一个平面，它也垂直于另一个也垂直于另一个平面平面.a证直线证直线和平面和平面垂直垂直a,bab=Pa/b/面面平行的判定定理面面平行的判定定理符号语言符号语言线不在多线不在多贵在相交贵在相交面面平行面面平行线面平行线面平行线线平行线线平行？

ab图形语言图形语言如果一个有两如果一个有两条条直线分别直线分别于另一个平面于另一个平面相交相交，那么这两个平面平行。

那么这两个平面平行。

PP转转化化转转化化平面内平面内平行平行a,bab=Pa/b/面面平行的判定定理面面平行的判定定理符号语言符号语言线不在多线不在多贵在相交贵在相交ab图形语言图形语言如果一个平面内有两如果一个平面内有两条条直线分别直线分别平行于另一个平面平行于另一个平面相交相交，那么这两个平面平行。

那么这两个平面平行。

PP面面平行面面平行线面平行线面平行线线平行线线平行？

转转化化转转化化判定定理判定定理如果一条直线和一个平面内的如果一条直线和一个平面内的两条相交两条相交直线直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.Bmnl三垂线定理三垂线定理在在平面内平面内的一条直线，如果它和这个平面的的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直PPPPAAAAOOOOaPPPPAAAAOOOOa三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直内的射影垂直作二面角的平面角的常用方法作二面角的平面角的常用方法点点P在棱上在棱上点点P在一个半平面上在一个半平面上点点P在二面角内在二面角内lPABABPABOlP定义法定义法三垂线三垂线（逆逆）定理法定理法垂面法垂面法CQAPBl指出下列各图中的二面角的平面角：

指出下列各图中的二面角的平面角：

BACDAABCCDDB二面角二面角BBBBC-AC-AADBCl二面角二面角-l-l-AClBDlOEOO二面角二面角A-BC-DA-BC-DD14随机事件的概率随机事件随机事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件定义定义0P1P=1P=0概率概率频率频率求法求法事件事件的概率事件的关系包含包含并并交交互斥互斥对立对立加法公式加法公式

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件出现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等我们将具有这两个特点的概率模型称为我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模古典概率模型型，简称古典概型。

，简称古典概型。

P（A）=A包含的基本事件的个数包含的基本事件的个数基本事件总数基本事件总数当且仅当所描述的基本事件的出现是当且仅当所描述的基本事件的出现是等可能性等可能性时才成立时才成立古典概型古典概型在几何概型中,事件A的概率计算公式如下:

P（A）=构成事件构成事件A的区域长度（面积或体积）的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）当且仅当所描述的基本事件的出现是当且仅当所描述的基本事件的出现是等可能性等可能性时才成立时才成立

（1）试验总所有可能出现的基本事件有无限个；试验总所有可能出现的基本事件有无限个；

（2）每个基本事件出现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等我们将具有这两个特点的概率模型称为我们将具有这两个特点的概率模型称为几何概几何概率模型率模型，简称几何概型。

，简称几何概型。

几何概型画频率分布直方图的步骤画频率分布直方图的步骤:

第一步第一步:

求极差求极差:

（数据组中最大值与最小值的差距数据组中最大值与最小值的差距）第二步第二步:

决定组距与组数决定组距与组数:

（强调取整）（强调取整）第三步第三步:

将数据分组将数据分组（给出组的界限给出组的界限）第四步第四步:

列频率分布表列频率分布表.（包括分组、频数、频率（包括分组、频数、频率、频率、频率/组组距距）第五步第五步:

画频率分布直方图画频率分布直方图（在频率分布表的基础上绘制，横（在频率分布表的基础上绘制，横坐标为样本数据尺寸，纵坐标为频率坐标为样本数据尺寸，纵坐标为频率/组距组距.）组距组距：

指每个小组的两个端点的距离，组距指每个小组的两个端点的距离，组距组数组数：

将数据分组，当数据在将数据分组，当数据在100个以内时，个以内时，按数据多少常分按数据多少常分5-12组。

组。

回忆：

绘制频率分布直方图有哪几个步骤呢？

绘制频率分布直方图有哪几个步骤呢？

例例11某赛季甲乙两篮球运动员每场比赛得分原始记录如下：

某赛季甲乙两篮球运动员每场比赛得分原始记录如下：

甲：

甲：

13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,3913,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39乙：

乙：

49,24,12,31,5