高中数学人教B版必修五第三单元352 简单线性规划一.docx
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高中数学人教B版必修五第三单元352简单线性规划一
3.5.2 简单线性规划
（一）
学习目标
1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
思考 已知x，y满足条件
①
该不等式组所表示的平面区域如图，求2x＋3y②的最大值．
以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念．
知识点一 线性约束条件
在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的____次不等式，故又称线性约束条件．
知识点二 目标函数
在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量x、y的____次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数．
知识点三 线性规划问题
一般地，在线性约束条件下求________________的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．
知识点四 可行解、可行域和最优解
满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫________，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个__________，其中能使②式取最大值的可行解称为____________．
类型一 最优解问题
命题角度1 唯一最优解
例1
已知x，y满足约束条件
该不等式组所表示的平面区域如图，求2x＋3y的最大值．
反思与感悟
（1）图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤：
①确定线性约束条件，线性目标函数；
②作图——画出可行域；
③平移——平移目标函数对应的直线z＝ax＋by，看它经过哪个点（或哪些点）时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；
④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
跟踪训练1 已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．
命题角度2 最优解不唯一
例2 已知x，y满足约束条件
若目标函数z＝ax＋y的最大值有无数个最优解，求实数a的值．
反思与感悟 当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界（实线）重合，则此边界上所有点均为最优解．
跟踪训练2 给出平面可行域（如图），若使目标函数z＝ax＋y取最大值的最优解有无穷多个，则a等于（ ）
A.
B.
C．4D.
类型二 生活中的线性规划问题
例3 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少kg?
将已知数据列成下表：
食物/kg
碳水化合物/kg
蛋白质/kg
脂肪/kg
A
0.105
0.07
0.14
B
0.105
0.14
0.07
反思与感悟
（1）目标函数z＝ax＋by（b≠0）在y轴上的截距
是关于z的正比例函数，其单调性取决于b的正负．当b>0时，截距
越大，z就越大；当b<0时，截距
越小，z就越大．
（2）最优解和目标函数与边界函数的斜率大小有关．
跟踪训练3 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________．
货物
体积
重量
利润
（m3/箱）
（50kg/箱）
（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
1．若变量x，y满足约束条件
则x＋2y的最大值是（ ）
A．－
B．0C.
D.
2．设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝2x＋3y的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．23
3．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（ ）
A．－3B．3C．－1D．1
4．已知实数x、y满足约束条件
则z＝2x＋4y的
最大值为________．
1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）作图——画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；
（3）平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；
（4）求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．
答案精析
问题导学
知识点一
一
知识点二
一
知识点三
线性目标函数
知识点四
可行域 可行解 最优解
题型探究
类型一
命题角度1
例1 解 设区域内任一点
P（x，y），z＝2x＋3y，
则y＝－
x＋
，
这是斜率为定值－
，在y轴上的截距为
的直线，如图．
由图可以看出，
当直线y＝－
x＋
经过直线x＝4与直线x＋2y－8＝0的交点M（4,2）时，截距
的值最大，
此时2x＋3y＝14.
跟踪训练1 解 作出二元一次不等式组
所表示的平面区域（如图）即为可行域．
设z＝2x－3y，变形得y＝
x－
z，
则得到斜率为
，且随z变化的一组平行直线．
－
z是直线在y轴上的截距，
当直线截距最大时，z的值最小，
由图可知，
当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，
即z最小．
解方程组
得A的坐标为（2,3），
∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.
当直线z＝2x－3y经过可行域上的点B时，截距最小，
即z最大．
解方程组
得B的坐标为（2，－1）．
∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×（－1）＝7.
∴－5≤2x－3y≤7，
即2x－3y的取值范围是[－5,7]．
命题角度2
例2 解 约束条件所表示的平面区域如图，
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
当a＝0时，最优解只有一个，过A（1,1）时取得最大值；
当a＞0时，当y＝－ax＋z与x＋y＝2重合时，最优解有无数个，此时a＝1；
当a＜0时，当y＝－ax＋z与x－y＝0重合时，最优解有无数个，此时a＝－1.
综上，a＝1或a＝－1.
跟踪训练2 B
类型二
例3 解 设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么
⇒
目标函数为z＝28x＋21y.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，
把目标函数z＝28x＋21y变形为
y＝－
x＋
，
它表示斜率为－
，且随z变化的一组平行直线，
是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小．
如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，
截距最小，即z最小．
解方程组
得M点的坐标为
.
所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A
kg，食物B
kg.
跟踪训练3 4,1
解析 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x，y，则
目标函数z＝20x＋10y，画出可行域如图．
由
得A（4,1）．
易知当直线z＝20x＋10y平移经过点A时，z取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润．
当堂训练
1．C 2.B 3.A 4.8
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