12 子集全集补集讲义.docx

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12子集全集补集讲义

1.2子集、全集、补集

要点一子集、真子集[重点]

在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：

正整数集中的所有元素都在自然数集中；

自然数集中的所有元素都在整数集中；

整数集中的所有元素都在有理数集中；

有利数集中的所有元素都在实数集中.

其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.

1．子集

（1）定义：

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若a∈A则a∈B），那么集合A成为集合B的子集，记作AB或BA，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A”.

（2）举例：

例如，{4，5}Z，{4，5}Q，ZQ，QR.AB可以用图1-2-1来表示.

（3）理解子集的定义要注意以下四点：

①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x∈B，例如{-1，1}{-1，0，1，2}.

②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属

于集合A本身，记作AA.

③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有A.

④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A=，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集.

以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.

（4）例题：

例1设集合A={1，3，a}，B={1，a2-a+1}，且AB，求a的值.

解：

∵AB，∴a2-a+1=3或a2-a+1=a，

由a2-a+1=3，得a=2或a=-1；由a2-a+1=a，得a=1.

经检验，当a=1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a的值为-1，2.

2．真子集

（1）定义：

如果AB，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记作AB或BA，读作

“A真包含于B”或“B真包含A”.

（2）举例：

{1，2}{1，2，3}.

（3）理解子集的定义要注意以下四点：

①空集是任何非空集合的真子集.

②对于集合A、B、C，如果AB，BC，那么AC.

③若AB，则

.

④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“”表示；集合

与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“”“”

“”和“=”.

（4）例题：

例2写出集合{a,b,c}的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集.

解：

{a,b,c}的所有子集是：

，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}.

其中除了{a，b，c}外，其余7个集合都是它的真子集.除了，{a，b，c}外，其余6个都是它的非空真子集.

练习：

1．判断下列命题的正误：

（1）{2，4，6}{2，3，4，5，6}；

（2）{菱形}{矩形}；

（3）{x|x2+1=0}{0}；（4）{（0，1）}{0，1}.

解题提示：

根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.

解：

根据子集的定义，

（1）显然正确；

（2）中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他

的菱形不是矩形；（3）中集合{x|x2+1=0}是，而是任何集合的子集；（4）中{（0，1）}

是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是

（1）（3），错误的是

（2）（4）.

判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合中.

2．写出集合A={p，q，r，s}的所有子集.

解题提示：

根据集合A的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉.

解：

集合A的子集分为5类，即

（1）；

（2）含有一个元素的子集：

{p}，{q}，{r}，{s}；

（3）含有两个元素的子集：

{p，q}，{q，r}，{r，s}，{s，p}，{p，r}，{q，s}；

（4）含有三个元素的子集有：

{p，q，r}，{p，q，s}，{q，r，s}，{p，r，s}；

（5）含有四个元素的子集有：

{p，q，r，s}．

综上所述：

集合A的子集有，{p}，{q}，{r}，{s}，{p，q}，{q，r}，{r，s}，{s，p}，{p，r}，{q，s}，{p，q，r}，{p，q，s}，{q，r，s}，{p，r，s}，{p，q，r，s}，共16个．

给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：

若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有（2m-1）个，非空真子集有（2m-2）个.

3．给出下列命题：

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若

A，则A≠．其中正确的序号有____④______．

解题提示：

从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断.

解析：

①错误，空集是任何集合的子集，；②错误，如空集的子集只有1个；③错误，不是的真子集；④正确，∵是任何非空集合的真子集.

求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：

（1）空集是任何集合的子

集，即对于任意一个集合A，有A.

（2）任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A，有AA.

4．满足集合{1，2，3}M{1，2，3，4，5}的集合M的个数是__2____．

解题提示：

根据所给关系式，利用{1，2，3}是M的真子集，且M真包含于{1，2，3，4，5}的关系判断集合M中的元素个数.

解析：

依题意，集合M中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M{1，2，3，4，5}，∴M={1，2，3，4}或{1，2，3，5}．

（1）解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M中含有元素的可能情况，然后根据集合M中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.

（2）若{a1，a2，…，am}A{a1，a2，…，am，am+1，…，an}，则A的个数为2n－m.

若{a1，a2，…，am}A{a1，a2，…，am，am+1，…，an}，则A的个数为2n－m-1.

若{a1，a2，…，am}A{a1，a2，…，am，am+1，…，an}，则A的个数为2n－m-2.

要点二补集、全集[重点]

1．补集

设AS，由S中不属于A的所有

元素组成的集合称为S的子集A的补集，

记作SA（读作“A在S中的补集”），即

SA={x|x∈S，且xA}.CSA可用图1-2-2中的阴影部分来表示.

2．全集.

（1）定义：

如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.

（2）举例：

例如，在实数范围内讨论集合时，R便可看做一个全集U，在自然数范围内讨论集合时，N便可看做一个全集U.

3．理解补集、全集要注意以下两点：

（1）对全集概念的理解：

全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集R看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这是平面是全集的一个子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.

（2）求子集A在全集U中的补集的方法：

从全集U中去掉所有属于A的元素，剩下的元素组成的集合即为A在U中的补集.如已知U=a，b，c，d，e，f，A=b，f，

求CUA.该题中显然AU，从U中除去子集A的元素b、f，乘下的

a、c、d、e组成的集合即为UA=a，c，d，e.另外，原题若是无限集，在实数范围内求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R，A=xx>3，求UA.用数轴表示如图1-2-3，可知UA=xx>3.

4．例题

例2不等式组

的解集为A，U=R.试求A及CUA，并把它们分别表示在数轴上.

解：

A=x2x-1>0且3x–6≤0=

，在数轴上表示如图1-2-4

（1）.

CUA=

，在数轴上表示如图1-2-4

（2）.

练习

5．已知全集U=R，集合A={x|1

解题提示：

在数轴上标出集合A，结合补集的定义求解.

解：

根据补集的定义，在实数集R中，由所有不属于A的实数组成的集合，就是CUA，如图1-2-5，结合数轴可知，CUA={x|1

涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取舍.

6．已知全集U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x|x∈A，且x<1}，C={x|x-1A，且x∈U}.

（1）判断A、B的关系；

（2）求CUB、CUC，并判断其关系.

解题提示：

根据题意，先写出全集U，按所给集合B、C的含义，写出B、C，并求其补集后求解第

（2）题.

解：

由题意知U={0，1，2，3，4，5}，B={0}，又集合C中的元素必须满足以下两

个条件：

x∈U，x-1A.

若x=0，此时0-1=-1A，∴0是C中的元素；

若x=1，此时1-1=0∈A，∴1不是C中的元素；

若x=2，此时2-1=1∈A，∴2不是C中的元素；

同理可知3，4，5是集合C中的元素，∴C={0，3，4，5}.

（1）∵A={0，1}，B={0}，∴BA；

（2）CUB={1，2，3，4，5}，CUC={1，2}，∴CUCCUB.

若给定具体的数的集合，判断其两个子集的补集之间的关系时，应先求集合的补集.

7．设全集U={1，2，x2-2}，A={1，x}，求CUA.

解题提示：

要求CUA，必须先确定集合A，实际上就是确定x的值，从而需要分类讨论.

解：

由条件知AU，∴x∈U={1，2，x2-2}，又x≠1，∴x=2或x=x2-2.

若x=2，则x2-2=2，此时U={1，2，2}，这是与互异性矛盾，舍去.

由x=x2-2得x2-x-2=0，解得x=-1或x=2（舍去）.

此时U={-1，1，2}，A={1，-1}，∴CUA={2}.

求解此题首先确定参数x的值，然后确定出U和A的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集合元素的特征，并且特别注意互异性，以免产生增根.

8．已知A={x|x<5}，B={x|x

（1）BA；

（2）AB.

解题提示：

紧扣子集、全集、补集的定义，利用数轴，数形结合求出a范围.

解：

（1）因为BA，B是A的子集，如图1-2-6

（1），故a≤5.

（2）因为AB，B是A的子集，如图1-2-6

（2），故a≥5．

9．已知M={x|x=a2+1，a∈N*}，P={y|y=b2-6b+10，b∈N}，判断集合M与P之间的关系.

解法一：

集合P中，y=b2-6b+10=（b-3）2+1

当b=4，5，6，…时，与集合M中a=1，2，3，…时的值相同，而当b=3时，y=1∈P，1M，∴MP.

解法二：

对任意的x0∈M，有x0=a20+1=（a0+3）2-6（a0+3）+10∈P（∵a0∈N*，∴a0+3∈

N），∴MP，又b=3时，y=1，∴1∈P.

而1<1+a20+1=（a0∈N*），∴1M，从而MP.

10．已知全集U，集合A={1，3，5，7，9}，CUA={2，4，6，8}，CUB={1，4，6，8，9}，求集合B.

解题提示：

求集合B，需根据题意先求全集U，由于集合A及CUA已知，因此可用Venn图来表示所给集合，将A及CUA填入即可得U