第四讲四边形专题训练学生版.docx
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第四讲四边形专题训练学生版
第四讲四边形专题训练
(一)
----平行四边形与特殊的平行四边形
【知识精讲】
1.主要概念
(1)平行四边形——有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
(2)矩形——有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
(3)菱形——有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(4)正方形——有一个角是直角的菱形叫做正方形(有一组邻边相等的矩形叫做正方形).
(5)梯形——只有一组对边平行的四边形叫做梯形.
(6)等腰梯形——两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
(7)直角梯形——有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.
(8)三角形中位线——连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.几种特殊四边形的关系
3.几种特殊四边形的主要特征
图形
边
角
对角线
平行四
边形
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
矩形
对边平行且相等
四个角都相等
对角线互相平分且相等
菱形
对边平行,
四边都相等
对角相等
对角线垂直平分,平分对角
正方形
对边平行,
四边都相等
四个角都相等
对角线垂直平分且相等,平分对角
等腰
梯形
两底平行,
两腰相等
同一底上的两个角相等
两条对角线相等
附:
矩形菱形正方形的性质和判定总表
矩形
菱形
正方形
性
质
边
对边平行且相等
对边平行,四边相等
对边平行,四边相等
角
四个角都是直角
对角相等
四个角都是直角
对角线
互相平分且相等
互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定
·有三个角是直角;
·是平行四边形且有一个角是直角;
·是平行四边形且两条对角线相等.
·四边相等的四边形;
·是平行四边形且有一组邻边相等;
·是平行四边形且两条对角线互相垂直。
·是矩形,且有一组邻边相等;
·是菱形,且有一个角是直角。
对称性
既是轴对称图形,又是中心对称图形
4.解决四边形问题常用的方法
(1)有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决.
(2)有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决.
(3)有时也可以运用平移、轴对称来构造图形,解决四边形问题.
考点分析:
四边形的内容是平行线与三角形两部分知识的应用和深化.是中考考查的重点内容,所占分值较高.考查内容主要是与四边形有关的角、周长、面积、线段、折叠、证明等问题,近年来又出现了许多与四边形有关的开放探索题、操作题,以及四边形与相似、函数知识结合的综合题.
【典型例题】一.矩形
矩形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,矩形也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,有两条对称轴;
矩形的性质:
(具有平行四边形的一切特征)
矩形性质1:
矩形的四个角都是直角.矩形性质2:
矩形的对角线相等且互相平分.
如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,由性质2有AO=BO=CO=DO=
AC=
BD.因此可以得到直角三角形的一个性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
矩形的判定方法.
矩形判定方法1:
对角钱相等的平行四边形是矩形.
矩形判定方法2:
有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形判定方法3:
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形判定方法4:
(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
例1已知:
如图,矩形ABCD,AB长8cm,对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
例2已知:
如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于F,若AE=BC.求证:
CE=EF.
例3.如图,已知矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.
例4、如图,在ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证:
AB=CF;
(2)当BC与AF满足什么数量关系时,四边形ABFC
是矩形,并说明理由.
二.菱形
【强调】 菱形
(1)是平行四边形;
(2)一组邻边相等.
菱形的性质
性质1菱形的四条边都相等;
性质2菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;
菱形的判定
菱形判定方法1:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
注意此方法包括两个条件:
(1)是一个平行四边形;
(2)两条对角线互相垂直.
菱形判定方法2:
四边都相等的四边形是菱形.
例1 已知:
如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.
求证:
∠AFD=∠CBE.
例2已知:
如图
ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.
求证:
四边形AFCE是菱形.
例3、如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F,求证:
四边形AFCE是菱形.
例4、已知如图,菱形ABCD中,E是BC上一点,AE、BD交于M,
若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。
求证:
AM=BE。
例5.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,
=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.
求线段
的长.
例6、如图,四边形ABCD是菱形,DE⊥AB交BA的延长线于E,DF⊥BC,交BC的延长线于F。
请你猜想DE与DF的大小有什么关系?
并证明你的猜想
例7、如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.
(1)求证:
△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.
三.正方形
正方形是在平行四边形的前提下定义的,它包含两层意思:
①有一组邻边相等的平行四边形(菱形)
②有一个角是直角的平行四边形(矩形)
正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形.
正方形定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,正方形又是轴对称图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线,共有四条对称轴;
因为正方形是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它的性质是它们性质的综合,正方形的性质总结如下:
边:
对边平行,四边相等;
角:
四个角都是直角;
对角线:
对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.
注意:
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质.
正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.
正方形的判定方法:
•
(1)有一个角是直角的菱形是正方形;
•
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形.
•注意:
1、正方形概念的三个要点:
•
(1)是平行四边形;
(2)有一个角是直角;(3)有一组邻边相等.2、要确定一个四边形是正方形,应先确定它是菱形或是矩形,然后再加上相应的条件,确定是正方形.
例1已知:
如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.
求证:
OE=OF.
例2已知:
如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.
求证:
四边形PQMN是正方形.
例3、如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB.
(1)求证:
①PE=PD;②PE⊥PD;
(2)设AP=x,△PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值.
例4.(2006年河南省)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,E为底边BC的中点,且DE∥AB,试判断△ADE的形状,并给出证明.
例5:
(2008深圳)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,DB平分∠ADC,过点A作AE∥BD,交CD的延长线于点E,且∠C=2∠E.
(1)求证:
梯形ABCD是等腰梯形.
(2)若∠BDC=30°,AD=5,求CD的长.
【方法总结】
1.化归思想贯穿于本章学习内容的始终,对于四边形的性质和识别,往往通过变四边形为三角形,变一般四边形为平行四边形进行研究.
2.巧作辅助线,常见的辅助线有:
(1)过四边形的一个顶点作垂线;
(2)作四边形的一边的平行线;
(3)作四边形对角线的平行线;
(4)过三角形(或梯形)一边中点作平行于另一边(或底边)的平行线.
【同步拓展训练】
一.选择题
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是()
A.对角线相等B.对角线互相垂直且平分
C.四条边都相等D.对角线平分一组对角
2.菱形的周长为40,两邻边所夹锐角为30°,则菱形的面积为()
A.30B.40C.50D.60
3.如图所示,平行四边形ABCD中,DB=DC,∠C=70°,AE⊥BD于E,则∠DAE等于()
A.20°B.25°C.30°D.35°
4.△ABC中,∠B=∠C,AD⊥BC于D,E为AC中点,AB=6,则DE等于()
A.6B.3C.2D.1
二.填空题
1.四边形的内角和等于__________°,外角和等于__________°.
2.正方形的面积为4,则它的边长为__________,一条对角线长为__________.
3.一个多边形,若它的内角和等于外角和的3倍,则它是__________边形.
*4.如果四边形ABCD满足____________________条件,那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直(只需填写一组你认为适当的条件).
5.已知菱形的一条对角线长为12,面积为30,则这个菱形的另一条对角线的长为__________.
*6.如图所示,平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥DC于F,BC=5,AB=4,AE=3,则AF的长为__________.
7.已知,如图所示,△ABC三边的中点分别为D、E、F,如果AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,那么△DEF的周长是__________cm.
*8.如图:
矩形纸片ABCD,AB=2,点E在BC上,且AE=EC.若将纸片沿AE折叠,点B恰好落在AC上,则AC的长是__________.
【思维能力提升】
三.解答题
1.已知:
如图所示,平行四边形ABCD中,延长AB到E,延长CD到F,使BE=DF.试说明AC与EF互相平分.
2.如图所示,正方形ABCD中,AC、BD交于点O,OE=OF,连结BE,连结CF并延长交BE于点G,试说明∠ACG=∠DBG.
3
**3.如图所示,已知平行四边形ABCD中,AQ,BN,CN,DQ分别是∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠CDA的平分线,AQ与BN交于P,CN与DQ交于M,在不添加其它条件的情况下,试写出一个由上述条件推出的结论,并说明理由(要求:
推理过程要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件).
【家庭作业】
一.选择题
1.已知平行四边形ABCD,下列结论中不一定成立的是()
A.AB=CDB.AC=BD
C.当AC⊥BD时,它是菱形D.当∠ABC=90°时