数学新学案同步精致讲义选修21北师大版第三章 圆锥曲线与方程 4 41 Word版含答案.docx

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数学新学案同步精致讲义选修21北师大版第三章圆锥曲线与方程441Word版含答案

§曲线与方程

．曲线与方程

学习目标.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.掌握根据已知条件求曲线方程的方法．

知识点一曲线的方程和方程的曲线的概念

在直角坐标系中，如果某曲线（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：

（）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，

那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线．

知识点二坐标法思想及求曲线方程的步骤

思考曲线上的点的坐标都是方程（，）＝的解，能否说（，）＝是曲线的方程？

试举例说明．

答案不能．还要验证以方程（，）＝的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线为“以原点为圆心，以为半径的圆的上半部分”与方程“＋＝”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是＋＝.

梳理（）曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线的点集和方程（，）＝的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．

（）曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对（，）建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．

（）求曲线的方程的步骤

如果曲线上的点的坐标满足方程（，）＝，则

．曲线的方程是（，）＝.（×）

．方程（，）＝的曲线是.（×）

．坐标不满足方程（，）＝的点不在曲线上．（√）

．坐标满足方程（，）＝的点都在曲线上．（×）

类型一曲线的方程与方程的曲线解读

例（）设方程（，）＝的解集非空，若命题“坐标满足方程（，）＝的点都在曲线上”是假命题，则下列命题为真命题的是（）

．坐标满足方程（，）＝的点都不在曲线上

．曲线上的点的坐标不满足（，）＝

．坐标满足方程（，）＝的点有些在曲线上，有些不在曲线上

．一定有不在曲线上的点，其坐标满足（，）＝

（）“以方程（，）＝的解为坐标的点都是曲线上的点”是“曲线的方程是（，）＝”的（）

．充分不必要条件．必要不充分条件

．充要条件．既不充分又不必要条件

考点曲线与方程的概念

题点点在曲线上的应用

答案（）（）

解析（）命题“坐标满足方程（，）＝的点都在曲线上”为假命题，则命题“坐标满足方程（，）＝的点不都在曲线上”是真命题．故选.

（）由曲线的方程是（，）＝，得以方程（，）＝的解为坐标的点都是曲线上的点，但反过来不成立，故选.

反思与感悟（）曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；

（）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．

跟踪训练分析下列曲线上的点与相应方程的关系：

（）过点（）平行于轴的直线与方程＝之间的关系；

（）与两坐标轴的距离的积等于的点与方程＝之间的关系；

（）第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程＋＝之间的关系．

考点曲线与方程的概念

题点点在曲线上的应用

解（）过点（）平行于轴的直线上的点的坐标都是方程＝的解，但以方程＝的解为坐标的点不都在过点（）且平行于轴的直线上．因此，＝不是过点（）且平行于轴的直线的方程．

（）与两坐标轴的距离的积等于的点的坐标不一定满足方程＝，但以方程＝的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于.因此，与两坐标轴的距离的积等于的点的轨迹方程不是＝.

（）第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足＋＝；反之，以方程＋＝的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是＋＝.

类型二　曲线与方程的应用

例已知方程＋（－）＝.

（）判断点（，－），（，）是否在上述方程表示的曲线上；

（）若点在上述方程表示的曲线上，求的值．

考点曲线与方程的概念

题点点在曲线上的应用

解（）∵＋（－－）＝，（）＋（－）＝≠，

∴点（，－）在方程＋（－）＝表示的曲线上，

点（，）不在方程＋（－）＝表示的曲线上．

（）∵点在方程＋（－）＝表示的曲线上，

∴＋（－－）＝，

解得＝或＝－.

引申探究

本例中曲线方程不变，若点（）在圆外，求实数的取值范围．

解结合点与圆的位置关系，

得＋（－）＞，即＞，

解得＜－或＞，

故所求实数的取值范围为（－∞，－）∪（，＋∞）．

反思与感悟判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．

跟踪训练若曲线－＋＋＝过点（，－）（∈），求的取值范围．

考点曲线与方程的概念

题点点在曲线上的应用

解∵曲线－＋＋＝过点（，－），

∴＋＋＋＝，

∴＝－－＝－＋，

∴≤，

∴的取值范围是.

类型三　求曲线的方程

命题角度直接法求曲线的方程

例一个动点到直线＝的距离是它到点（）的距离的倍．求动点的轨迹方程．

考点求曲线方程的方法

题点直接法求曲线方程

解设（，），则－＝，

则－＝，

化简，得＋＝，

故动点的轨迹方程为＋＝.

引申探究

若本例中的直线改为“＝”，求动点的轨迹方程．

解设（，），

则到直线＝的距离＝－，

又＝，

故－＝，

化简，得＋－＋－＝.

故动点的轨迹方程为＋－＋－＝.

反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法

（）关键：

①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．

（）方法：

求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：

建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．

特别提醒：

直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．

跟踪训练已知两点（－），（），且点使·，·，·成公差小于零的等差数列，求点的轨迹方程．

考点求曲线方程的方法

题点直接法求曲线方程

解设点（，），由（－），（），

得＝－＝（－－，－），

＝－＝（－，－），＝－＝（）．

∴·＝（＋），·＝＋－，

·＝（－）．

于是，·，·，·成公差小于零的等差数列等价于

即

∴点的轨迹方程为＋＝（>）．

命题角度相关点法求曲线的方程

例动点在曲线＋＝上移动，和定点（）连线的中点为，求点的轨迹方程．

考点求曲线方程的方法

题点坐标转移法求曲线方程

解设（，），（，），

因为为的中点，所以即

又因为在曲线＋＝上，

所以（－）＋＝.

所以点的轨迹方程为（－）＋＝.

反思与感悟相关点法求解轨迹方程的步骤

（）设动点（，），相关动点（，）．

（）利用条件求出两动点坐标之间的关系

（）代入相关动点的轨迹方程．

（）化简、整理，得所求轨迹方程．

跟踪训练已知圆：

＋（－）＝.过原点作圆的弦，求的中点的轨迹方程．

考点求曲线方程的方法

题点相关点法求曲线方程

解设（，），（，），

由题意，得即

又因为点在圆上，所以＋（－）＝，

所以＋＝，

即＋＝（≠）.

．若命题“曲线上点的坐标都是方程（，）＝的解”是真命题，则下列命题为真命题的是（）

．方程（，）＝所表示的曲线是曲线

．方程（，）＝所表示的曲线不一定是曲线

．（，）＝是曲线的方程

．以方程（，）＝的解为坐标的点都在曲线上

考点曲线与方程的概念

题点点在曲线上的应用

答案

解析“曲线上点的坐标都是方程（，）＝的解”，但以方程（，）＝的解为坐标的点不一定在曲线上，故，，都为假命题，为真命题．

．已知直线：

＋－＝及曲线：

（－）＋（－）＝，则点（）（）

．在直线上，但不在曲线上

．在直线上，也在曲线上

．不在直线上，也不在曲线上

．不在直线上，但在曲线上

考点曲线与方程的概念

题点点在曲线上的应用

答案

解析将（）代入直线和曲线的方程，由于＋－＝，（－）＋（－）＝，所以点既在直线上，又在曲线上，故选.

．等腰三角形底边的两个顶点分别是（），（，－），则另一个顶点的轨迹方程是（）

．－＋＝（≠）．＝－

．＋＋＝（≠）．＋＋＝（≠）

考点求曲线的方程的方法

题点直接法求曲线方程

答案

解析设（，），依题意，知＝，

所以＝，

化简得＋＋＝.

又因为，，三点不能共线，所以≠，故选.

．到直线＋－＝的距离为的点的轨迹方程为．

考点求曲线的方程的方法

题点几何法求曲线方程

答案＋－＝和＋＝

解析设该点坐标为（，），则

＝，即＋－＝，

∴所求轨迹方程为＋－＝和＋＝.

．为直线：

－＋＝上的一动点，（）为一定点，又点在直线上运动，且＝，求动点的轨迹方程．

考点求曲线方程的方法

题点坐标转移法求曲线方程

解设点，的坐标分别为（，），（，），由题设及向量共线条件可得所以

因为点（，）在直线－＋＝上，

所以×－＋＝，

即－＋＝，

从而点的轨迹方程为－＋＝.

．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．

．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．

一、选择题

．方程＋＝＋表示的曲线是（）

．一条直线．一个正方形

．一个圆．四条直线

考点曲线和方程的概念

题点由方程研究曲线的对称性

答案

解析由＋＝＋，得（－）（－）＝，即＝±或＝±，因此该方程表示四条直线．

．已知≤α<π，点（α，α）在曲线（－）＋＝上，则α的值为（）

π或π或

考点曲线和方程的概念

题点点在曲线上的应用

答案

解析由（α－）＋α＝，得α＝.

又因为≤α<π，

所以α＝或α＝π.

．方程－＝表示的图形是下图中的（）

考点曲线和方程的概念

题点由方程研究曲线的对称性

答案

解析由－＝知，＝±，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线．

．已知两定点（－），（），若动点满足＝，则点的轨迹所围成的面积为（）

．π．π．π．π

考点曲线与方程的意义

题点曲线与方程的综合应用

答案

解析设（，），∵＝，

∴（＋）＋＝（－）＋，∴（－）＋＝，

∴点的轨迹为以（）为圆心，以为半径的圆，

∴所围成的面积＝π·＝π.

．在平面直角坐标系中，动点（，）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（）的距离，记点的轨迹为曲线，则有下列命题：

①曲线关于原点对称；

②曲线关于轴对称；

③曲线关于轴对称；

④曲线关于直线＝对称．

其中真命题的个数是（）

．．．．

考点曲线与方程的意义

题点曲线与方程的综合应用

答案

．过三点（），（），（，－）的圆交轴于，两点，则等于（）

．．．．

考点求曲线方程的方法

题点几何法求曲线方程

答案

解析由已知，得＝（，－），＝（－，－），则·＝×（－）＋（－）×（－）＝，所以⊥，即⊥，故过三点，，的圆以为直径，得其方程为（－）＋（＋）＝，令＝得（＋）＝，解得＝－－，＝－＋，所以＝－＝，故选.

．已知两点（，），（－，），点为平面内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，且·＝，则动点的轨迹方程为（）

．＋＝．－＝

．－＝．－＝

考点求曲线方程的方法

题点定义法求曲线方程

答案

解析设动点的坐标为（，），

则点的坐标为（，），

＝（－），＝（－，－），

＝（－－，－），·＝－＋.

由·＝，得－＋＝，

所以所求动点的轨迹方程为－＝.

二、填空题

．方程（－）＋＝表示的是．

考点讨论方程的曲线类型

题点其他类型的曲线与方程

答案点（）

解析由（－）＋＝，知（－）＝且＝，即＝且＝，所以（－）＋＝