数学新学案同步精致讲义选修21北师大版第三章 圆锥曲线与方程 4 41 Word版含答案.docx

1、数学新学案同步精致讲义选修21北师大版第三章 圆锥曲线与方程 4 41 Word版含答案曲线与方程曲线与方程学习目标.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.掌握根据已知条件求曲线方程的方法知识点一曲线的方程和方程的曲线的概念在直角坐标系中，如果某曲线(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：()曲线上点的坐标都是这个方程的解；()以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线知识点二坐标法思想及求曲线方程的步骤思考曲线上的点的坐标都

2、是方程(，)的解，能否说(，)是曲线的方程？试举例说明答案不能还要验证以方程(，)的解为坐标的点是否都在曲线上例如曲线为“以原点为圆心，以为半径的圆的上半部分”与方程“”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是.梳理()曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法曲线的点集和方程(，)的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上定义中的条件说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏()曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(，)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通

3、过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质()求曲线的方程的步骤如果曲线上的点的坐标满足方程(，)，则曲线的方程是(，).()方程(，)的曲线是.()坐标不满足方程(，)的点不在曲线上()坐标满足方程(，)的点都在曲线上()类型一曲线的方程与方程的曲线解读例()设方程(，)的解集非空，若命题“坐标满足方程(，)的点都在曲线上”是假命题，则下列命题为真命题的是()坐标满足方程(，)的点都不在曲线上曲线上的点的坐标不满足(，)坐标满足方程(，)的点有些在曲线上，有些不在曲线上一定有不在曲线上的点，其坐标满足(，)()“以方程(，)的解为坐标的点都是曲线上的点”是“曲线的方程是(，)”的()充分不必要条

4、件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案()()解析()命题“坐标满足方程(，)的点都在曲线上”为假命题，则命题“坐标满足方程(，)的点不都在曲线上”是真命题故选.()由曲线的方程是(，)，得以方程(，)的解为坐标的点都是曲线上的点，但反过来不成立，故选.反思与感悟()曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；()以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程跟踪训练分析下列曲线上的点与相应方程的关系：()过点()平行于轴的直线与方

5、程之间的关系；()与两坐标轴的距离的积等于的点与方程之间的关系；()第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程之间的关系考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用解()过点()平行于轴的直线上的点的坐标都是方程的解，但以方程的解为坐标的点不都在过点()且平行于轴的直线上因此，不是过点()且平行于轴的直线的方程()与两坐标轴的距离的积等于的点的坐标不一定满足方程，但以方程的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于.因此，与两坐标轴的距离的积等于的点的轨迹方程不是.()第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足；反之，以方程的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上因此，第二、四象限

6、两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是.类型二曲线与方程的应用例已知方程().()判断点(，)，(，)是否在上述方程表示的曲线上；()若点在上述方程表示的曲线上，求的值考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用解()()，()()，点(，)在方程()表示的曲线上，点(，)不在方程()表示的曲线上()点在方程()表示的曲线上，()，解得或.引申探究本例中曲线方程不变，若点()在圆外，求实数的取值范围解结合点与圆的位置关系，得()，即，解得或，故所求实数的取值范围为(，)(，)反思与感悟判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断跟踪训练若曲线过点(

7、，)()，求的取值范围考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用解曲线过点(，)，的取值范围是.类型三求曲线的方程命题角度直接法求曲线的方程例一个动点到直线的距离是它到点()的距离的倍求动点的轨迹方程考点求曲线方程的方法题点直接法求曲线方程解设(，)，则，则，化简，得，故动点的轨迹方程为.引申探究若本例中的直线改为“”，求动点的轨迹方程解设(，)，则到直线的距离，又，故，化简，得.故动点的轨迹方程为.反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法()关键：建立恰当的平面直角坐标系；找出所求动点满足的几何条件()方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点

8、满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化跟踪训练已知两点()，()，且点使，成公差小于零的等差数列，求点的轨迹方程考点求曲线方程的方法题点直接法求曲线方程解设点(，)，由()，()，得(，)，(，)，()()，()于是，成公差小于零的等差数列等价于即点的轨迹方程为()命题角度相关点法求曲线的方程例动点在曲线上移动，和定点()连线的中点为，求点的轨迹方程考点求曲线方程的方法题点坐标转移法求曲线方程解设(，)，(，)，因为为的中点，所以即又因为在曲线上，所以().所以点的轨迹方程为().反思与感悟相关点法求解轨迹方程的步骤()设动点(，)

9、，相关动点(，)()利用条件求出两动点坐标之间的关系()代入相关动点的轨迹方程()化简、整理，得所求轨迹方程跟踪训练已知圆：().过原点作圆的弦，求的中点的轨迹方程考点求曲线方程的方法题点相关点法求曲线方程解设(，)，(，)，由题意，得即又因为点在圆上，所以()，所以，即().若命题“曲线上点的坐标都是方程(，)的解”是真命题，则下列命题为真命题的是()方程(，)所表示的曲线是曲线方程(，)所表示的曲线不一定是曲线(，)是曲线的方程以方程(，)的解为坐标的点都在曲线上考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案解析“曲线上点的坐标都是方程(，)的解”，但以方程(，)的解为坐标的点不一定在曲线上

10、，故，都为假命题，为真命题已知直线：及曲线：()()，则点()()在直线上，但不在曲线上在直线上，也在曲线上不在直线上，也不在曲线上不在直线上，但在曲线上考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案解析将()代入直线和曲线的方程，由于，()()，所以点既在直线上，又在曲线上，故选.等腰三角形底边的两个顶点分别是()，(，)，则另一个顶点的轨迹方程是()() () ()考点求曲线的方程的方法题点直接法求曲线方程答案解析设(，)，依题意，知，所以，化简得.又因为，三点不能共线，所以，故选.到直线的距离为的点的轨迹方程为考点求曲线的方程的方法题点几何法求曲线方程答案和解析设该点坐标为(，)，则，即，

11、所求轨迹方程为和.为直线：上的一动点，()为一定点，又点在直线上运动，且，求动点的轨迹方程考点求曲线方程的方法题点坐标转移法求曲线方程解设点，的坐标分别为(，)，(，)，由题设及向量共线条件可得所以因为点(，)在直线上，所以，即，从而点的轨迹方程为.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题一、选择题方程表示的曲线是()一条直线一个正方形一个圆四条直线考点曲线和方程的概念题点由方程研究曲线的对称性答案解析由，得()()，即

12、或，因此该方程表示四条直线已知，点(，)在曲线()上，则的值为()或或考点曲线和方程的概念题点点在曲线上的应用答案解析由()，得.又因为，所以或.方程表示的图形是下图中的()考点曲线和方程的概念题点由方程研究曲线的对称性答案解析由知，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线已知两定点()，()，若动点满足，则点的轨迹所围成的面积为()考点曲线与方程的意义题点曲线与方程的综合应用答案解析设(，)，()()，()，点的轨迹为以()为圆心，以为半径的圆，所围成的面积.在平面直角坐标系中，动点(，)到两条坐标轴的距离之和等于它到点()的距离，记点的轨迹为曲线，则有下列命题：曲线关于原点对称；曲线关

13、于轴对称；曲线关于轴对称；曲线关于直线对称其中真命题的个数是()考点曲线与方程的意义题点曲线与方程的综合应用答案过三点()，()，(，)的圆交轴于，两点，则等于()考点求曲线方程的方法题点几何法求曲线方程答案解析由已知，得(，)，(，)，则()()()，所以，即，故过三点，的圆以为直径，得其方程为()()，令得()，解得，所以，故选.已知两点(，)，(，)，点为平面内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，且，则动点的轨迹方程为()考点求曲线方程的方法题点定义法求曲线方程答案解析设动点的坐标为(，)，则点的坐标为(，)，()，(，)，(，)，.由，得，所以所求动点的轨迹方程为.二、填空题方程()表示的是考点讨论方程的曲线类型题点其他类型的曲线与方程答案点() 解析由()，知()且，即且，所以()