黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学选修11同步练习单元测评二A附答案873624.docx

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黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学选修11同步练习单元测评二A附答案873624

单元测评

（二）A

　　本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷　（选择题　共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）

1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，若|PF1|＝4，则|PF2|＝（　　）

A．3B．4C．5D．6

2．定义点P到图形C上每一个点的距离的最小值为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A（A在圆C内且不与圆心C重合）的距离相等的点的轨迹是（　　）

A．直线B．圆　　

C．椭圆D．双曲线的一支

3．平面内有两定点A，B及动点P，设命题p：

||PA|－|PB||是常数，命题q：

点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，那么p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．已知双曲线－＝1的右焦点为（3，0），则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（　　）

A.B．4

C．3D．5

5．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是（　　）

A．2B．2C.D．1

6．抛物线y2＝ax（a≠0）的准线方程是（　　）

A．x＝－B．x＝

C．x＝D．x＝－

7．已知椭圆与双曲线－＝1有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

8．已知双曲线M的焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，如果直线y＝－x是双曲线M的一条渐近线，那么双曲线M的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

9．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋的值为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

10．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，则满足△PF1F2的周长为6＋2的动点P的轨迹方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1（x≠0）

C.＋＝1D.＋＝1（x≠0）

11．设点P是椭圆＋＝1（a＞b＞0）与圆x2＋y2＝3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则椭圆的离心率为（　　）

A.B.　

C.D.

12．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于　（　　）

A.B．6C.D．3

请将选择题答案填入下表：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

总分

答案

第Ⅱ卷　（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为________．

14．设点P在椭圆x2＋＝1（m>0）上，点Q在直线y＝x＋4上，若|PQ|的最小值为，则m＝________．

15．有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一个抛物线构成，如图C2A1所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.25m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为________m．（精确到0.1m）

图C2A1

16．椭圆Γ：

＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝（x＋c）与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：

（1）长轴长等于20，离心率为；

（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x.

18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点M（4，－），点N（3，m）．

（1）求双曲线的方程；

（2）求△F1NF2的面积．

19.（12分）已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），椭圆上两点坐标分别为A（a，0），B（0，b），若△ABF2的面积为，∠BF2A＝120°.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点O（O为坐标原点）作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，证明：

点O到直线MN的距离为定值．

20．（12分）如图C2A2，过点C（0，1）的椭圆＋＝1（a>b>0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（－a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.

（1）当直线l过椭圆的右焦点时，求线段CD的长；

（2）当点P异于点B时，求证：

·（O为坐标原点）为定值．

图C2A2

21．（12分）如图C2A3所示，已知直线l：

y＝kx－2与抛物线C：

x2＝－2py（p>0）交于A，B两点，线段AB的中点坐标为（－2，－6）．

（1）求直线l和抛物线C的方程；

（2）求线段AB的长；

（3）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．

图C2A3

22．（12分）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（－1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．

（1）求椭圆C的标准方程．

（2）求k的取值范围．

（3）在y轴上，是否存在定点E，使·恒为定值？

若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．

单元测评

（二）A

1．A　[解析]∵P是椭圆＋＝1上一点，a＝，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，|PF1|＝4，∴|PF2|＝2×－|PF1|＝7－4＝3.

2．C　[解析]如图，设动点为P，点A在圆内不与圆心C重合，连接CP并延长，交于圆上一点B，由题意知|PB|＝|PA|，又|PB|＋|PC|＝R（R为圆C的半径），∴|PA|＋|PC|＝R，即P的轨迹为椭圆．

3．B　[解析]若||PA|－|PB||为小于|AB|的常数，则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线；反之，若动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，则||PA|－|PB||是常数．故选B.

4．A　[解析]由题意知焦点在x轴上，且a2＝4，c2＝9，∴b2＝c2－a2＝9－4＝5，

渐近线方程为y＝±x，∴该双曲线的焦点到其渐近线的距离d＝＝.

5．D　[解析]抛物线y2＝8x的焦点为F（2，0），该点到直线x－y＝0的距离d＝＝1.

6．A　[解析]根据抛物线的定义可得抛物线y2＝ax（a≠0）的准线方程是x＝－.

7．B　[解析]∵椭圆与双曲线－＝1有共同的焦点，∴椭圆的焦点为，即c＝，又＝，∴a＝5，b＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1.

8．D　[解析]椭圆＋＝1的焦点坐标是，设双曲线M的方程为－＝1（a＞0，b＞0），∵双曲线M的焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，∴a2＋b2＝9①，∵y＝－x是双曲线M的一条渐近线，∴＝②，解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝6，∴双曲线M的方程为－＝1.

9．D　[解析]设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，|F1F2|＝2c，则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得4a＝r＋r＋2r1r2，4a＝r－2r1r2＋r.在△F1PF2中，由余弦定理得4c2＝r＋r－r1r2，消去r1，r2，得a＋3a＝4c2，即＋＝4.故选D.

10．B　[解析]∵双曲线的方程为－＝1，∴a2＝2，b2＝3，可得c2＝a2＋b2＝5，因此双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2.∵△PF1F2的周长为6＋2，＝2，∴＋＝6，∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆（上、下顶点除外）．由椭圆的定义得，椭圆长轴长为6，长半轴长为3，∴该椭圆的短半轴长为2，∴点P的轨迹方程为＋＝1（x≠0）．

11．D　[解析]依据椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，又∵|PF1|＝3|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a，∵圆x2＋y2＝3b2的半径r＝b，∴在三角形POF2（O为原点）中，由余弦定理可得

＝（b）2＋c2－2cbcos∠POF2，在三角形PF1O中，＝（b）2＋c2＋2cbcos∠POF2，∴可得7a2＝8c2，得e＝＝.

12．D　[解析]F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则F为△ABC的重心，∴A，B，C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于，∴||＋||＋||＝＋＋＝3.

13．2　[解析]根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y＝－1，根据抛物线定义，知yp＋1＝3，解得yp＝2，代入抛物线方程求得xp＝±2，∴点P到y轴的距离为2.

14．3　[解析]根据题意，椭圆x2＋＝1（m＞0），与直线y＝x＋4平行且距离为的直线方程为y＝x＋2或y＝x＋6（舍去），则消去y，得（m＋1）x2＋4x＋4－m＝0，令Δ＝16－4（m＋1）（4－m）＝0，解得m＝3.

15．4.3　[解析]如图，以抛物线的对称轴为y轴，长方形的上边为x轴，建立平面直角坐标系，由已知可得，抛物线顶点的坐标为（0，6），与x轴的一个交点为（8，0），设抛物线的方程为y＝ax2＋6，把（8，0）代入解析式，得a＝－，∴抛物线的方程为y＝－x2＋6，当x＝6时，y＝2.625，2.625＋2－0.25＝4.375，∴慢车道的限制高度为4.3m.

16.－1　[解析]在△MF1F2中，∠MF1F2＝60°，所以∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.又|F1F2|＝2c，所以|MF1|＝c，|MF2|＝c.根据椭圆的定义，得2a＝|MF1|＋|MF2|＝c＋c，得e＝＝＝－1.

17．解：

（1）依题意，所求曲线为椭圆，设所求椭圆的方程为＋＝1（a>b>0）或＋＝1（a>b>0）．由已知，得解得a＝10，b＝8，c＝6.所以所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.

（2）所求曲线为双曲线，当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为－＝1（a>0，b>0），由题意，得解得a＝3，b＝，所以焦点在x轴上时，双曲线的方程为－＝1.同理可求得焦点在y轴上时，双曲线的方程为－＝1.

18．解：

（1）由离心率e＝＝，解得a＝b，设双曲线的方程为x2－y2＝λ（λ≠0），又双曲线过点M（4，－），∴16－10＝λ，解得λ＝6，∴双曲线方程为－＝1.

（2）由点N（3，m）在双曲线上，得－＝1，解得|m|＝，又|F1F2|＝2c＝2＝4，所以△F1NF2的面积S＝×4×＝6.

19．解：

（1）由题意，易知a＝2c，b＝c，SΔABF2＝×（2c－c）×c＝c2＝，

∴c＝1，a＝2，b＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.

（2）证明：

设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，此时△MNO为等腰直角三角形，∴|y1|＝|x1|，又＋＝1，解得|x1|＝＝，即点O到直线MN的距离d＝.

当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，与椭圆＋＝1联立消去y得（3＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴x1＋x2＝－