高考数学不等式试题汇编.docx

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高考数学不等式试题汇编

2014年高考数学不等式试题汇编

数学

E单元不等式

E1不等式的概念与性质

5．，，2014•山东卷]已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）

A.1x2＋1＞1y2＋1B.ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）

C.sinx＞sinyD.x3＞y3

5．D

4．2014•四川卷]若a>b>0，cA.ac>bdB.acC.ad>bcD.ad4．D

E2绝对值不等式的解法

9．、2014•安徽卷]若函数f（x）＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为（）

A．5或8B．－1或5

C．－1或－4D．－4或8

9．D解析]当a≥2时，

f（x）＝3x＋a＋1（x>－1），x＋a－1－a2≤x≤－1，－3x－a－1x由图可知，当x＝－a2时，fmin（x）＝f－a2＝a2－1＝3，可得a＝8.

当a－a2，－x－a＋1－1≤x≤－a2，－3x－a－1（x由图可知，当x＝－a2时，fmin（x）＝f－a2＝－a2＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8.

E3一元二次不等式的解法

2．、2014•全国卷]设集合M＝{x|x2－3x－4A．（0，4]B．0，4）

C．－1，0）D．（－1，0]

2．B

12．、2014•新课标全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝3sinπxm，若存在f（x）的极值点x0满足x20＋f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）

A．（－∞，－6）∪（6，＋∞）

B．（－∞，－4）∪（4，＋∞）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

12．C

E4简单的一元高次不等式的解法

E5简单的线性规划问题

5．2014•安徽卷]x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）

A.12或－1B．2或12

C．2或1D．2或－1

5．D

6．2014•北京卷]若x，y满足x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，y≥0，

且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为（）

A．2B．－2C.12D．－12

6．D

11．2014•福建卷]若变量x，y满足约束条件x－y＋1≤0，x＋2y－8≤0，x≥0，则z＝3x＋y的最小值为________．

11．1

3．2014•广东卷]若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝（）

A．5B．6

C．7D．8

3．B

14．2014•湖南卷]若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤4，y≥k，且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.

14．－2

14．2014•全国卷]设x，y满足约束条件x－y≥0，x＋2y≤3，x－2y≤1，则z＝x＋4y的最大值为________．

14．5

9．、2014•新课标全国卷Ⅰ]不等式组x＋y≥1，x－2y≤4的解集记为D，有下面四个命题：

p1：

∀（x，y）∈D，x＋2y≥－2，

p2：

∃（x，y）∈D，x＋2y≥2，

p3：

∀（x，y）∈D，x＋2y≤3，

p4：

∃（x，y）∈D，x＋2y≤－1.

其中的真命题是（）

A．p2，p3B．p1，p2

C．p1，p4D．p1，p3

9．B

9．2014•新课标全国卷Ⅱ]设x，y满足约束条件x＋y－7≤0，x－3y＋1≤0，3x－y－5≥0，则z＝2x－y的最大值为（）

A．10B．8C．3D．2

9．B

9．2014•山东卷]已知x，y满足约束条件x－y－1≤0，2x－y－3≥0，当目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为（）

A.5B.4C.5D.2

9．B

18．，2014•陕西卷]在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．

（1）若PA→＋PB→＋PC→＝0，求|OP→|；

（2）设OP→＝mAB→＋nAC→（m，n∈R），用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．

18．解：

（1）方法一：

∵PA→＋PB→＋PC→＝0，

又PA→＋PB→＋PC→＝（1－x，1－y）＋（2－x，3－y）＋（3－x，2－y）＝（6－3x，6－3y），

∴6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2，

即OP→＝（2，2），故|OP→|＝22.

方法二：

∵PA→＋PB→＋PC→＝0，

则（OA→－OP→）＋（OB→－OP→）＋（OC→－OP→）＝0，

∴OP→＝13（OA→＋OB→＋OC→）＝（2，2），

∴|OP→|＝22.

（2）∵OP→＝mAB→＋nAC→，

∴（x，y）＝（m＋2n，2m＋n），

∴x＝m＋2n，y＝2m＋n，

两式相减得，m－n＝y－x，

令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.

5．，2014•四川卷]执行如图11所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）

图11

A．0B．1C．2D．3

5．C

2．2014•天津卷]设变量x，y满足约束条件x＋y－2≥0，x－y－2≤0，y≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为（）

A．2B．3C．4D．5

2．B

13．2014•浙江卷]当实数x，y满足x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．

13.1，32

E6基本不等式

16．、2014•辽宁卷]对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，3a－4b＋5c的最小值为________．

16．－2

14．，2014•山东卷]若ax2＋bx6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．

14．2

10．，2014•四川卷]已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA→•OB→＝2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）

A．2B．3C.1728D.10

10．B

14．，2014•四川卷]设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则|PA|•|PB|的最大值是________．

14．5

E7不等式的证明方法

20．2014•北京卷]对于数对序列P：

（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），记

T1（P）＝a1＋b1，Tk（P）＝bk＋max{Tk－1（P），a1＋a2＋…＋ak}（2≤k≤n），

其中max{Tk－1（P），a1＋a2＋…＋ak}表示Tk－1（P）和a1＋a2＋…＋ak两个数中最大的数．

（1）对于数对序列P：

（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；

（2）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：

（a，b），（c，d）和P′：

（c，d），（a，b），试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；

（3）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值．（只需写出结论）

20．解：

（1）T1（P）＝2＋5＝7，

T2（P）＝1＋max{T1（P），2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.

（2）T2（P）＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，

T2（P′）＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．

当m＝a时，T2（P′）＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.

因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2（P）≤T2（P′）．

当m＝d时，T2（P′）＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.

因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2（P）≤T2（P′）．

所以无论m＝a还是m＝d，T2（P）≤T2（P′）都成立．

（3）数对序列P：

（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2）的T5（P）值最小，

T1（P）＝10，T2（P）＝26，T3（P）＝42，T4（P）＝50，T5（P）＝52.

19．、、2014•天津卷]已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，

集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．

（1）当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.

（2）设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：

若an19．解：

（1）当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2•2＋x3•22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．

（2）证明：

由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及ans－t＝（a1－b1）＋（a2－b2）q＋…＋（an－1－bn－1）qn－2＋（an－bn）qn－1

≤（q－1）＋（q－1）q＋…＋（q－1）qn－2－qn－1

＝（q－1）（1－qn－1）1－q－qn－1

＝－1所以sE8不等式的综合应用

9．、2014•安徽卷]若函数f（x）＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为（）

A．5或8B．－1或5

C．－1或－4D．－4或8

9．D

13．2014•福建卷]要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________（单位：

元）．

13．160

21．，，，2014•陕西卷]设函数f（x）＝ln（1＋x），g（x）＝xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．

（1）令g1（x）＝g（x），gn＋1（x）＝g（gn（x）），n∈N＋，求gn（x）的表达式；

（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（3）设n∈N＋，比较g

（1）＋g

（2）＋…＋g（n）与n－f（n）的大小，并加以证明．

21．解：

由题设得，g（x）＝x1＋x（x≥0）．

（1）由已知，g1（x）＝x1＋x，

g2（x）＝g（g1（x））＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，

g3（x）＝x1＋3x，…，可得gn（x）＝x1＋nx.

下面用数学归纳法证明．

①当n＝1时，g1（x）＝x1＋x，结论成立．

②假设n＝k时结论成立，即gk（x）＝x1＋kx.

那么，当n＝k＋1时，gk＋1（x）＝g（gk（x））＝gk（x）1＋gk（x）＝x1＋kx1＋x1＋kx＝x1＋（k＋1）x，即结论成立．

由①②可知，结论对n∈N＋成立．

（2）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1＋x）≥ax1＋x恒成立．

设φ（x）＝ln（1＋x）－ax1＋x（x≥0），

则φ′（x）＝11＋x－a（1＋x）2＝x＋1－a（1＋x）2，

当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x＝0，a＝1时等号成立），

∴φ（x）在0，＋∞）上单调递增，又φ（0）＝0，

∴φ（x）≥0在0，＋∞）上恒成立，

∴a≤1时，ln（1＋x）≥ax1＋x恒成立（仅当x＝0时等号成立）．

当a>1时，对x∈（0，a－1]有φ′（x）∴φ（x）在（0，a－1]上单调递减，

∴φ（a－1）即a>1时，存在x>0，使φ（x）故知ln（1＋x）≥ax1＋x不恒成立．

综上可