点集拓扑学拓扑知识点.docx

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点集拓扑学拓扑知识点

第4章连通性重要知识点

本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉

及某些简单的应用•这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间.

§4.1连通空间

本节重点：

掌握连通与不连通的定义.

掌握如何证明一个集合的连通与否？

掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。

我们先通过直观的方式考察一个例子•在实数空间R中的两个区间（0,I）和］1,2）,

尽管它们互不相交，但它们的并（0,1）U:

1,2）=（0,2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0,1）和（1,2）,它们的并（0,1）U（1,2）是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0,I）有一个凝聚点1在］1,2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中.我们通过以下的定义，用

术语来区别这两种情形.

定义4.1.1设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果

（A-B）（B-A）二•一

则称子集A和B是隔离的.

明显地，定义中的条件等价于ArB=、和BrA二.一同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点.

应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0,1）和（1,2）是隔离的，

而子集（0,I）和［1,2）不是隔离的.

又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个

无交的子集都是隔离的.

定义4.1.2设X是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=AUB,则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间.

显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间.

定理4.1.1设X是一个拓扑空间.则下列条件等价：

（1）X是一个不连通空间；

（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得AAB=•一和AUB=X成立；

（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得AAB=•一和AUB=X成立；

（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集.

证明（I）蕴涵

（2）:

设

（1）成立.令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得

AUB=X，显然AAB=•_,并且这时我们有

B=B一X=B「（A一B）=（B一A）一（B一B）=B

因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明了集合A和B

满足条件

（2）中的要求.

（2）蕴涵（3）.如果X的子集A和B满足条件

（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A=B，和B=A，因此A、B也是开集，所以A和B也满足条件（3）中的要求.

（3）蕴涵（4）.如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所以A、B是开集，则由A=B■和B=A易见A和B都是X中的闭集，因此A、B是X中既开又闭的真

A、B丰、,AUB=X,•••A、B丰X）子集，所以条件（4）成立.

（4）蕴涵（l）.设X中有一个既开又闭的非空真子集A.令B=A.则A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得AUB=X.易见两个无交的闭子集必定是隔离的

（因为闭集的闭包仍为自己）.因此（I）成立.

例4.1.1有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间•这是因为对于任何一个无理数r€R-Q，集合（-3r）nQ=（-^,r]nQ是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集.

定理4.1.2实数空间R是一个连通空间.

证明我们用反证法来证明这个定理.

假设实数空间R是不连通空间.则根据定理4.1.1,在R中有两个非空闭集A和B

使得anB=和AUB=R成立.任意选取a€A和b€B，不失一般性可设avb.令A=An[a,b]，和B=Bn[a,b].于是A和B是R中的两个非空闭集分别包含a和b,并且使得An

B=0和AUB=[a,b]成立.集合A有上界b,故有上确界，设为b.由于A是一个闭集，所以~€A,并且因此可见~vb，因为~=b将导致b€AnB，而这与AnB=0矛盾.因此（b,b]uB.由于E3是一个闭集，所以b€B.这又导致b€AnB，也与AnB=0矛盾.

定义4.1.3设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集.

拓扑空间X的子集Y是否是连通的，按照定义只与子空间Y的拓扑有关（即Y的连通

与否与X的连通与否没有关系.）.因此，如果YZX，则丫是X的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集.这一点后面要经常用到.

定理4.1.3设Y是拓扑空间X的一个子集，A,BY.贝UA和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集.

因此，Y是X的一个不连通子集当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得A

UB=Y（定义）当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得AUB=Y.

证明因为

（Cy（A厂B）一（Cy（B）■A）二（（Cx（A厂丫厂B）一（（Cx（B厂丫厂A）二（Cx（A）-（丫一B））_•（Cx（B）-（丫一A））二（Cx（ATB）_•（Cx（B厂A）因此根据隔离子集的定义可见定理成立.

定理4.1.4设Y是拓扑空间X中的一个连通子集.如果X中有隔离子集A和B使

得YAUB，则或者YA，或者YB.

证明如果A和B是X中的隔离子集使得YAUB，贝U

（（A-Y）-B-Y）一（（B-Y）-A-Y）

（A-Y-B）一（B-Y-A）

=Y-（（A-B）（B-A）=..

这说明any和Bny也是隔离子集.然而

（AnY）u（BnY）=（AUB）nY=Y

因此根据定理4.1.3，集合AnY和BnY中必有一个是空集.如果anY=,据上式

立即可见丫二B，如果BnY=、，同理可见丫二A.

定理4.1.5设Y是拓扑空间X的一个连通子集，ZX满足条件YZ丫.则Z也是X的一个连通子集.

证明假设Z是X中的一个不连通子集.根据定理4.1.3，在X中有非空隔离子集

A和B使得Z=AUB.因此YAUB.由于Y是连通的，根据定理4.1.4,

或者丫二A,Z二丫二A=Z-B二A-B-.一一B=Z-B=

或者YB,同理，A=:

；一。

这两种情形都与假设矛盾.

定理4.1.6设｛Y｝二是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果

八三厂丫】-心，则.三厂丫是X的一个连通子集.

证明设A和B是X中的两个隔离子集，使得.三厂丫，=AUB.任意选取x€…三厂丫,不失一般性，设x€A•对于每一个丫€『，由于丫连通，根据定理4.1.4,或者丫A或者Y：

.B；由于x€YnA，所以Y：

A=-X一AB=..根据定理4.1.3,这就证明了•三厂丫是连通的.

定理4.1.7设Y是拓扑空间X中的一个子集.如果对于任意x,y€Y存在X中

的一个连通子集Yxy使得x,y€YxyY，则Y是X中的一个连通子集.

证明如果丫=•一，显然Y是连通的.下设Y工•一，任意选取a€Y,

容易验证Y=-yxYxy并且a€'yyYay.应用定理4.1.6,可见Y是连通的.

我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见§2.2）.所谓拓扑不

变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质.事实上，

如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其它概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质.

拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质.由于同胚是连续的满射，所

以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质’

拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具

有，则称这个性质是一个可商性质.由于拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质.

以下定理4.1.8指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质）是一个在连续映射下保持不变的性质.因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质.

定理4.1.8设f:

XtY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f（X）是Y的一个连通子集.

证明如果f（X）是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A和B使得

11

f（X）=AUB.于是f（A）和f（B）是X的非空子集，并且

（f」（A）-f伽）一（f'（B）-f」（A））

（f」（A）十（B））-（f」（B）-f」（A））

二f^（（A一B）一（B一A））卞

所以f」（A）和f二（B）是X的非空隔离子集.此外，

1111

f（A）Uf（B）=f（AUB）=f_（f（X））=X

这说明X不连通.与定理假设矛盾.

拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n>0个拓扑空间X1,X2,...Xn都

具有性质p,蕴涵着积空间XjmX2工...^Xn也具有性质p.

例如，容易直接证明，如果拓扑空间X1,X2,...Xn都是离散空间（平庸空间），则积空

间X1X2...Xn也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质.

根据定理3.2.9以及紧随其后的说明可见：

假设已知拓扑空间的某一个性质p是一个拓扑不变性质.为了证明性质p是一个有限可积性质我们只要证明任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质p的拓扑空间.

定理4.1.9设X1,X2,...Xn是n个连通空间.则积空间X^X^<..^Xn也是连通

空间.

证明根据前一段中的说明，我们只要对于n=2的情形加以证明.

首先我们指出：

如果x=（X1,X2）,y=（y1,y2），X1X2两个点有一个坐标相同，则

X1X2有一个连通子集同时包含X和y

不失一般性，设x^y1

定义映射k：

X2>X1X2使得对于任何z

由于

p1k:

X2>X1是取常值X1的映射，

P2k:

X2>X2为恒同映射，

它们都是连续映射，其中P1，P2分别是XiX2到第1和第2个坐标空间的投射•因

此，k是一个连续映射.根据定理4.1.8,k（x2）是连通的.此外易见，k（X2^{x1}X2,因此它同时包含x和y.

现在来证明：

XiX2中任何两个点x=（Xi,X2）,y=（yi,y2），XiX同时属于

XiX2的某一个连通子集.这是因为这时若令z=（Xi,y2）・XiX2，则根据前段结论，

可见有XiX2的一个连通子集Yi同时包含x和乙也有XiX2