北京市朝阳区高二上期末数学试题理有答案.docx
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北京市朝阳区高二上期末数学试题理有答案
北京市朝阳区2015-2016学年高二上学期期末考试数学
一、选择题：
共10题
1．圆
被直线
截得的弦长为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的性质.由圆的方程可知，圆心坐标为（2,0）,半径r=2,则圆心到直线x=1的距离为d=1，由垂径定理可知，弦长为
2．抛物线
上与其焦点距离等于
的点的横坐标是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】本题主要考查抛物线的定义.设该点横坐标为x，由抛物线的定义可知，x+
=3，则x=
3．已知
则
是
的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题主要考查充分条件与必要条件.因为
，所以
因此，
且
，故
是
的充分而不必要条件.
4．已知两条不同的直线
三个不同的平面
下列说法正确的是
A.若
则
B.若
则
C.若
则
D.若
则
【答案】D
【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定与性质，考查空间想象能力.因为
，所以平面
内存在一条直线c与a平行，因为
所以b与c垂直，则b与
的位置关系不确定，故A错误；平行于同一条直线的两个平面不一定平行，故B错误；因为
所以
或
，故C错误；因此，D正确.
5．在圆
上任取一点
过点
作
轴的垂线段
为垂足,当点
在圆上运动时,线段
的中点
的轨迹方程是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】本题主要考查点的轨迹方程、圆的方程.设点P（s,t）,M（x,y）,D（s,0）,由题意可知，s=x，t=2y，且
，消去s、t，化简可得点M的轨迹方程为
6．如图,平行六面体
中,
与
的交点为
设
则下列向量中与
相等的向量是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】本题主要考查空间向量的应用.由题意可得，
7．若由方程
和
所组成的方程组至多有两组不同的实数解,则实数
的取值范围是
A.
或
B.
或
C.
D.
【答案】B
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.方程
表示两条直线，联立两个方程，消去x，化简可得2y2-2by+b2-2=0,由题意可知，判别式=4b2-8（b2-2）
所以
或
8．设
是坐标原点,若直线
与圆
交于不同的两点
且
则实数
的最大值是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】本题主要考查圆的性质、平面向量的平行四边形法则、菱形的性质、点到直线的距离公式.以
为邻边作菱形，由
分别表示菱形两条对角线所表示的向量，因为
所以
的夹角为直角或钝角，所以圆心到直线l的距离小于等于
，由点到直线的距离公式可得
所以
，则实数
的最大值是2
9．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该三棱锥的底面面积为
，高为4，所以，该三棱角的体积V=
10．已知动圆
位于抛物线
的内部（
）,且过该抛物线的顶点,则动圆
的周长的最大值是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】本题主要考查抛物线的简单几何性质、圆的方程与性质.设圆的方程为x2+（y-b）2=b2（b>0）,与
联立消去x可得y2+（4-2b）y=0,由题意可知，要使动圆
的周长最大，则圆的半径也最大，且圆与抛物线相切，则判别式=0，故b=2，所以动圆
的周长的最大值是
二、填空题：
共6题
11．写出命题
:
“任意两个等腰直角三角形都是相似的”的否定
:
______________;判断
是__________命题.（后一空中填“真”或“假”）
【答案】存在两个等腰直角三角形,它们不相似;假
【解析】本题主要拿考查全称命题与特称命题的否定、命题真假的判断.由全称命题的否定的定义可知：
命题
:
存在两个等腰直角三角形,它们不相似;显然命题
是假命题.
12．已知
,则
的外接圆的方程是 .
【答案】
【解析】本题主要考查圆的标准方程与圆的性质.由圆的性质可知，线段OA与线段OB的垂直平分线的交点即为圆心，所以圆心坐标为（3,4）,则半径r=5,所以，所求圆的标准方程为
13．中心在原点,焦点在
轴上,虚轴长为
并且离心率为
的双曲线的渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质.设双曲线的方程为
由题意可知，b=
，又因为e=3，所以c=3a，易求得a=1，所以双曲线方程为
，则渐近线方程为
14．过椭圆C:
的右焦点
的直线与椭圆C相交于A,B两点．若
则点
与左焦点
的距离
=_________.
【答案】
【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质、平面向量的共线定理.由题意，因为
所以AB与x轴垂直，将x=1代入椭圆方程求得|y|=
即|AF2|=
又因为
所以
=
15．下图为四棱锥
的表面展开图,四边形
为矩形,
.已知顶点
在底面
上的射影为点
四棱锥的高为
则在四棱锥
中,
与平面
所成角的正切值为_________.
【答案】
【解析】本题主要考查直线与平面所成的角、线面垂直，考查了空间想象能力.由题意可知，在四棱锥
中，PA与平面ABCD垂直，所以∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角，又因为
，所以AC=
，又PA=
，所以
与平面
所成角的正切值为tan∠PCA=
16．如图,正方体
的棱长为1,N为
中点,M为线段
上的动点（M不与B,
重合）有四个命题:
①
平面BMN;
②
//平面
;
③平面
平面
;
④三棱锥
的体积有最大值.
其中真命题的序号是_________.
【答案】②③
【解析】本题主要考查线面与面面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的体积空间向量的应用，考查了空间想象能力.如图所示，连接BD、DC1，易证AD1//BC1，显然CD1与AD1不垂直，即CD1与BC1不垂直，故
平面BMN不垂直，因此①错误;根据线面与面面平行的判定定理易证平面AB1D1与平面BDC1平行，则易知
//平面
，故②正确;利用线面与面面垂直的判定定理易证BD与平面
，则易得平面
平面
，故③正确;因为VD-MNC=VM-CDN，因为三角形CDN的面积为定值，点M为BC1上的动点，且与B、C1不重合，所以点M到平面CDN的距离没有最大值，因此，VD-MNC=VM-CDN没有最大值，故④错误.
三、解答题：
共3题
17．如图,长方体
中,
为
的中点,点
分别为棱
的中点
（Ⅰ）求证:
平面
//平面
;
（Ⅱ）求证:
平面
⊥平面
.
【答案】（Ⅰ）在长方体
中,点
和点
分别为所在棱的中点,
所以
且
从而四边形
为平行四边形.
所以
.
又因为
平面NMC,NC
平面NMC,
所以
平面NMC.
又点M是棱
的中点,
所以MN是
的中位线,所以
.
由于
平面NMC,MN
平面NMC,
所以
平面NMC.
又因为
平面
平面
所以平面
平面NMC.
（Ⅱ）在长方体
中,
平面ABCD,且
平面ABCD,
所以
.
在矩形ABCD中,
E为BC的中点,
则
从而
即
.
因为
平面
所以DE⊥平面
.
又DE
平面
所以平面
⊥平面
【解析】本题主要考查线面与面面平行与垂直的判定定理与性质定理，考查了空间想象能力.
（1）根据题意，先证明四边形
为平行四边形，即可证明
，易得
平面NMC，同理可证明
平面NMC，则结果易证;
（2）先证明
，
，易得DE⊥平面
，则结论即可证明.
18．如图,四棱锥
的底面
为直角梯形,
//
且
平面
底面
为
的中点,
为等边三角形,
是棱
上的一点,设
与
不重合）.
（Ⅰ）求证:
;
（Ⅱ）若
//平面
求
的值;
（Ⅲ）若二面角
的平面角为
求
的值.
【答案】（Ⅰ）因为
为等边三角形,
为
的中点,所以
.
因为平面
⊥平面
且平面
平面
平面
所以
平面
.
又
平面
所以
.
由已知得
所以
平面
.
且
平面
所以
.
（Ⅱ）连接
交
于
连接
.
因为
//平面
平面
平面
平面
所以
.
因为
//
所以
.
又
所以
.
所以
则
为
的中点,
.
（Ⅲ）方法一:
依题意,若二面角
的大小为
则二面角
的大小为
.
连接
过点
作
交
于
过
作
于
连接
.
因为
平面
所以
平面
.
又
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