全国大学生数学建模竞赛A题优秀论文.pdf

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欢迎访问湖南大学数学建模网更多资料分享尽在数模爱好者论坛2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承诺诺书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

四川理工学院参赛队员（打印并签名）：

1.毛洁2.杨旭3.黄发斌指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

刘自山日期：

2008年09月19日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

欢迎访问湖南大学数学建模网更多资料分享尽在数模爱好者论坛2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编号号专专用用页页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

欢迎访问湖南大学数学建模网更多资料分享尽在数模爱好者论坛数码相机精确定位模型摘要本文研究了数码相机定位问题，运用了Canny算子及最小二乘法、透镜成像、求重心的积分等原理，针对不同的问题，建立了相应的数学模型。

第一问，先通过对靶标标定方法的分析，建立了DLT线性模型；然后引入镜头畸变系数后，建立了非线性模型。

再利用透镜成像原理求出dydx,及CCD图的中心点像素坐标，确定内部参数；根据最小二乘法原理，计算出隐参数以确定外部参数。

再次利用最小二乘法算法，求出径向畸变系数，从而精确确定像平面上点的坐标。

第二问，根据一问的模型和算法思想，先基于Canny算子，通过VectorPhotoAlgoLab软件对图像矢量化，再基于求重心的积分原理，运用AUTOCAD软件求其重心，确定图像像素坐标，然后带入详细的靶标参数和相机参数，利用MATLAB软件对模型求解，求出靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。

第三问，结合牛顿迭代法和下山法，通过改进下山因子，设计出一种加速收敛的检验方法，对非线性模型进行检验。

通过检验结果的讨论，体现了检验方法精度较高，稳定性较好。

第四问，基于相机标定的非线性模型，根据双目定位原理，建立了双目相机模型，并给出相应的算法，从而确定出两部固定相机的相对位置。

本文采用由浅入深的建模思想，目标明确，层次清晰。

最后对结果进行了残差检验和数据分析，体现了数码相机标定的非线性模型的合理性；对模型的灵敏度分析，说明了模型具有较好的稳定性，并对模型进行了评价，具有较高的实用价值。

关键词:

靶标标定DLT模型非线性模型牛顿迭代法最小二乘法欢迎访问湖南大学数学建模网更多资料分享尽在数模爱好者论坛1、问题的提出数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。

所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。

最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。

对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。

只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。

于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。

标定的一种做法是：

在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。

然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。

实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。

而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。

图1靶标上圆的像有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。

以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。

用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。

图2靶标示意图图3靶标的像则根据以上信息，结合数码相机定位原理解决以下问题：

（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标,这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；

（2）对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标,该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位（1毫米约为3.78个像素单位），相机分辨率为1024768；（3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

欢迎访问湖南大学数学建模网更多资料分享尽在数模爱好者论坛2、基本假设1.假设各个方向上光强度较好，不影响图像成像质量。

2.假设题中所给图3为数码相机像平面真实图像。

3.以相机光学中心为原点，yx平面平行于像平面建立坐标系。

4.假设题中选用数码相机的内部参数相同。

5.假设软件能较精确的处理图像，不存在较大随机误差。

6.假设物体与物体通过相机所成图像间存在函数关系。

7.部分假设在题中给出。

3、建立模型3.1问题分析问题分析3.1.1相机成像原理相机成像原理调节相机的焦距，使照相机相对于被测点处于聚焦位置，并把照相机的像距和焦距作为已知，由透镜成像公式求得物距，这是聚焦法的基本原理1。

因为拍摄的是中远距离的物体，对于VfU111有Uf，所以数码相机的焦距f可以认为等于像距V，就相当于透镜的中心到感光器件CCD（Charge-CoupledDevice）或CMOS（ComplementaryMetal-OxideSemiconductor）的距离（如图4）。

根据等比三角形定理有fQfVq，所以QfQqV）（，再根据VfU111就可以得到物距qfQqU）（。

因此要求物距，则只需要知道感光器件上像的大小、焦距和物体的实际大小就行了。

所以当拍摄远近不同的景物时要调整选择不同的焦距，尽量使像点在感光器件上，从而得到较清晰的像。

图4透镜成像原理图欢迎访问湖南大学数学建模网更多资料分享尽在数模爱好者论坛3.1.2问题分析问题分析本题基于数码相机在实际中的运用，从不同方向研究物体与数码相机所成图像之间的变换问题。

在数码相机拍摄中，图像上每一点的位置与空间物体表面相应点的几何位置相关，这些位置的相互关系则由数码相机成像几何模型所决定。

该几何模型的参数包括数码相机的内部参数和相机与物之间的外部参数，这些参数必须由实验和计算来确定，实验与计算的过程称为数码相机定标2。

通过对数码相机定标系统的研究，则可以解决物体与数码相机所成图像之间的变化问题，再根据

（2）问中所给的数码相机的相关信息，从而求出靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。

优化并改进模型后，增加了模型的精度和稳定性，就可以较好地处理在实际生活中的问题（如医学方面、交通领域、生物技术和电子计算机）。

因此对以上问题的探讨具有中重要的实际意义。

3.2模型（模型（线性线性模型）的建立模型）的建立数码相机成像过程，是对图像信息的识别和转化的过程，数字图像处理中，成像期间像素决定了数码相机拍出照片的水平方向和垂直方向的图像信息量3。

如图3.1所示，在所成图像上定义直角坐标系vu,，则坐标）,（vu是以像素为单位的图像坐标系中的坐标。

然而不能用物理单位描述该像素在图像中的位置，因而需进一步建立以物理单位（毫米）表示的图像坐标系。

此坐标系以图像内某一点1O为原点，x轴与y轴分别与vu,轴平行，如图5所示。

图5图像坐标系在yx,坐标系中，原点1O定义在数码相机光轴与图像平面的交点，该点一般位于图像中心处，但由于数码相机制作的原因，也会有些偏离，若1O在vu,坐标系中的坐标为（00,vu），每一个像素在x轴与y轴方向上的物理尺寸为yxdd,，则图像中任意一个像素在两个坐标系下的坐标有以下关系：

0udxuxd，0vdyvyd（3.1）0Ouxvy1O）,（00vu欢迎访问湖南大学数学建模网更多资料分享尽在数模爱好者论坛由式（3.1）变换得到数码相机线性模型（DLT模型），即模型为：

）（）（00vvdyuudxydxd（3.2）其中，）,（ddyx表示实际的图像点在yx,坐标系的坐标；）,（vu表示实际的图像点在vu,坐标系中的像素坐标。

3.3模型模型（非线性模型非线性模型）的建立）的建立当我们拍摄物体时，可能会使物体周围拍成卷翘或膨鼓的现象，在使用焦距长的镜头不易做到，但用广角镜头，则较明显。

其中产生像差的一种畸变，是由于透镜的放大率随光束和主轴间所成角度改变而引起。

光线离主轴越远，畸变越大，但是若与主轴正交并通过主轴，则不发生畸变。

当放大率随入射角度增加而增大时称正畸变，反之为负畸变。

基于线性模型不能较正确地描述成像几何关系，尤其要使用到广角镜头时，在远离图像中心处会有较大的畸变所以需要对模型进行修改，加入一个畸变系数从而得到实际物体的真实像坐标。

可用下列公式Atkison1980,weng1990描述非线性畸变：

）,（）,（yxyyyxxxyduxdu（3.3）其中，）,（uuyx为由小孔线性模型计算出来的图像点在像平面坐标的理想值；）,（ddyx是实际的图像点在像平面的坐标，x与y是非线性畸变值，它与图像点在像平面中的位置有关，可利用以下公式表达：

）（）2）3（）（）,（）（）2）3（）（）,（22212222222222212211yxsxypyxpyxykyxyxsxypyxpyxxkyxyx（3.4）其中，212121,ssppkk为非线性畸变参数。

x或y的第一项为像平面的径向畸变，第二项为离心畸变（decentering），第三项为薄棱畸变（thinprism）。

通过以上处理，就把非线性模型转化为线性模型与畸变参量的叠加。

上述非线性模型的第一项径向畸变已能足够描述非线性畸变，TsaiTsai1986曾指出，由于在考虑非线性畸变时对数码相机定标需要使用非线性优化算法，引入过多的非线性参数（如上述模型的第二项与第三项）往往不仅不能提高精度，反而引起解的不稳定。

当只考虑径向畸变，由式（3.3）和式（3.4）得到数码相机非线性模型，即模型为：

）1（）1（2221dduddurkyyrkxx（3.5）其中，222dddyxr。

该式表明：

x方向与y方向的畸变相对值）/,/（yxyx与径向半径的平方成正比，即在图像边缘处的畸变较大。

线性模型的参数与非线性畸变参数一起欢迎访问湖南大学数学建模网更多资料分享尽在数模爱好者论坛构成了非线性模型的摄像机内部参数。

3.4模型模型（双目双目相机定位相机定位模型模型）的建立的建立针对问题四，建立双目相机定位模型，即模型的建立。

一般条件下的双目摄像机模型如图6所示，主要参考的是马颂德老师双目摄像机模型2。

设左摄像机坐标系为1111_zyxo，有效焦距是1f，右摄像机坐标系为2222_zyxo，有效焦距是2f。

空间）,（wwwZYXP在左摄像机坐标系下的坐标为）,（111zyx，在右摄像机坐标系下的坐标为）,（222zyx，左右摄像机之间的转换关系为：

TzyxRzyx111222（3.6）有:

21211121,ccccccTRRTTRRR（3.7）其中，21,c