组合数学总习题.pdf

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1第一章习题11）求小于10000的含1的正整数的个数2）求小于10000的含0的正整数的个数解：

1）小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有999916560个.含1的有：

99996560=3439个（另:

全部4位数有10个,不含1的四位数有94个,含1的4位数为两个的差:

10494=3439个）2）“含0”和“含1”不可直接套用，在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。

不含0的1位数有9个，2位数有92个，3位数有93个，4位数有94个。

不含0小于10000的正整数有9+92+93+94=9（194）/（19）=7380个含0小于10000的正整数有：

99997380=2619个2求200000到900000之间的奇数中由不同数字组成的六位数的个数。

解：

设这个六位数为abcdef，则9,7,5,3,1,8,7,6,5,4,3,2fa

（1）当7,5,3a时，f只有4种取法，此时有48481243pp=

（2）当8,6,4,2a时，f有5种取法，此时有48482054pp=因此，200000到900000之间的奇数中由不同数字组成的六位数有4832p。

3求能够除尽1400的正整数的个数。

解：

考察对于任一个正整数m的因数数，首先将其进行质因数分解，设为：

m的任一因数可以表示为如下形式：

于是，m的因数数为：

于是，可以将1400进行质因数分解：

为质数krkrrppppppmk,212121LL=kirspppiiskssk,1,0,2121=L）1（）1（）1（21+krrrL2能够除尽1400的正整数的个数为：

（31）（21）（11）244有5颗红珠子和3颗兰珠子装在圆板的四周，有多少种方案？

若兰珠子放在一起呢？

若兰珠子不相邻呢？

解：

若不加限制，即为圆排列，有Q887！

若兰珠子放在一起，先把兰珠子看成一个作圆排列，后对3个兰珠子作全排列，有Q66P335！

3！

若兰珠子不相邻，先把红珠子作圆排列，然后对3个兰珠子插入，有Q555434!

5435n（n3）个顶点，没有四点共面，问能够构成多少个三角形？

多少个四面体？

解：

在n个顶点任意取3个顶点，由于没有四点共面，故这三点不共线，从而可以确定一个三角形，于是在n个顶点任意取3个顶点，总有一个三角形与之对应。

反之，对于n个顶点确定的三角形中任意一个三角形，由于没有四点共面，从而总可以确定n个顶点中的3个顶点，于是，在n个顶点确定的三角形中任意一个三角形，总可以在n个顶点找到3个顶点与之对应。

由此可见，n个顶点确定的三角形与n个顶点中取3个顶点之间存在着一一对应关系，n个顶点确定的三角形数为C（n，3）。

对于四面体，一样讨论：

在n个顶点任意取4个顶点，由于没有四点共面，从而可以确定一个四面体，于是在n个顶点任意取4个顶点，总有一个四面体与之对应。

反之，对于n个顶点确定的四面体中任意一个四面体，由于没有四点共面，从而总可以确定n个顶点中的4个顶点，于是，在n个顶点确定的四面体中任意一个四面体，总可以在n个顶点找到4个顶点与之对应。

由此可见，n个顶点确定的四面体与n个顶点中取4个顶点之间存在着一一对应关系，n个顶点确定的四面体数为C（n，4）。

1237521400=36从1300中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？

解：

将1300分成3类：

A=i|i1（mod3）=1,4,7,298,B=i|i2（mod3）=2,5,8,299,C=i|i3（mod3）=3,6,9,300.要满足条件，有四种情况：

1）3个数同属于A；2）3个数同属于B；3）3个数同属于C；4）A,B,C各取一数。

故共有3C（100,3）+1003=485100+1000000=1485100从1，2，4n中选出4个数字，要求它们的和是4的倍数，有多少种不同的选法？

解：

将14n分成4类：

Ai|i0（mod4）=1,5,9,4n,B=i|i1（mod4）=1,5,9,4n-3,C=i|i2（mod4）=2,6,10,4n-2,D=i|i3（mod4）=3,7,11,4n-1.要满足条件，有十种情况：

或者4个数同属于A；或者4个数同属于B；或者4个数同属于C；或者4个数同属于D；或者1个数来自于A，2个来自于B,1个数来自于C；或者1个数来自于A，1个来自于C，2个数来自于D；或者2个数来自于A，1个来自于B，1个数来自于D；或者2个数来自于A，2个来自于C；或者1个数来自于B，2个来自于C，1个数来自于D；或者2个来自于B，2个数来自于D。

故共有4C（n,4）+4C（n,2）C（n,1）2+2C（n,2）2。

7某车站有6个入口处，每个入口处每次只能进一人，一组9个人进站的方案有多少？

解：

设一进站方案表示成：

00011001010100，其中“0”表示人，“1”表示两站之间的标志，任意进站方案可表示成类似上述14个元素的一个排列。

法一：

标号可产生5!

个14个元的全排列。

故若设x为所求方案，则x5!

=14!

，x=14!

/5!

=726485760法二：

在14个元的排列中先确定“1”的位置，有C（14,5）种选择，在确定人的位置，有9！

种选择。

故C（14,5）9!

=726485760即所求法三：

把全部选择分解成若干步，使每步宜于计算。

不妨设9个人编成1至9号。

1号有6种选择；2号除可有1号的所有选择外，还可（也必须）选择当与1号同一门时在1号的前面还是后面，故2号有7种选择；3号的选择方法同2号，故共有8种。

以此类推，9号有14种选择。

4故所求方案为67891011121314=72648576059有5夫妇出席一个宴会，围着一个圆桌坐下，有多少种方案？

若每对夫妇坐在一起呢？

解：

1.若不加限制，即有Q10109！

2.若每对夫妇坐在一起，先把每对作圆排列，后对每对作全排列，有：

Q55254!

2510（本题满分15分）一副扑克牌（除了大小王外的52张）中：

（1）从这52张牌中选出5张，使得它们正好成为三带二；

（2）从这52张牌中选出5张，使得它们成为两对（不包括4张同值的）和一个单张；（3）从这52张牌中选出5张，使得它们正好成为四带一。

问各有多少种选法？

（每步5分）解：

（1）从这52张牌中选出5张，使得它们正好成为三带二共有：

2411234113CCCC

（2）从这52张牌中选出5张，成为两对和一个单张共有：

141112424213CCCCC（3）从这52张牌中选出5张，使得它们正好成为四带一共有：

1411244113CCCC11求恰好有28个因数的最小正整数。

6121000！

后面有多少个0？

713有n个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数。

问有多少种方案？

解：

设取的第一组数有a个，第二组有b个，而要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出m个数（设m=a+b），从大到小取a个作为第一组，剩余的为第二组。

此时方案数为C（n,m）。

从m个数中取第一组数共有m-1中取法。

总的方案数为=nmmnCm2）,（）1（。

14试求从1到1000000的整数中，1和0各出现了多少次？

解：

考察000000到999999中在每个数都可表示为六位数d1d2d3d4d5d6，di（i=1,2,6）可以在09中任意取，这样的“六位数”共有106个，而每个“六位数”由6个数字组成，故共有6106个数字，考虑到每个数字出现的概率相同，于是000000到999999中1出现了6106/106105次，从而从1到1000000的整数中，1出现了61051600001次。

对于0同样讨论，考虑到000000和1000000中的0一样多，并且在六位数d1d2d3d4d5d6中有一些无效0：

59490390029000190000，于是0出现了6105（59490390029000190000）488895次。

15n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？

若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？

解：

把n个男、n个女分别进行全排列，然后按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该再乘2，即方案数为2（n!

n！

）。

若围成一个圆桌坐下，根据圆排列法则，方案数为2（n!

n！

）/（2n）n!

（n1）！

。

16试证一整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数的数目为奇数。

证：

设一整数m可以表示为：

krkrrpppm=L2121，kppp,21L为质数，于是除尽m的数的数目为t=（r1+1）（r2+1）（rk+1）。

8要使m为某整数的平方，r1，r2，rk必须为偶数，从而t为k个奇数乘积，因此，一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的数的数目为奇数。

17凸n（n3）边形C的内部任意三条对角线不共点，这凸n边形的对角线在C内部有多少个交点？

解：

凸n边形有n个顶点。

对于凸n边形的任意四个顶点，总可以确定两条对角线，并且这两条对角线在这凸n（n3）边形C的内部交于一点，于是，对于凸n边形的任意四个顶点，总可以在这凸n（n3）边形C的内部找到一个对角线的交点与之对应。

反之，对于凸n（n3）边形C的内部的任意一个对角线的交点，由于凸n边形C的内部任意三条对角线不共点，所以该交点是两条对角线的交点，从而确定凸n边形的四个顶点，于是对于凸n（n3）边形C的内部的任意一个对角线的交点，总可以在凸n边形上找到四个顶点与之对应。

由此可见，凸n边形的对角线在C内部的交点与凸n边形上取四个顶点之间存在着一一对应关系，凸n边形的对角线在C内部交点数为C（n，4）。

18在n个不同的元素中取出r个进行组合，若允许重复，则组合数为：

证：

设这n个不同元素分别为1,2,n。

从中任取r个作允许重复组合a1,a2,ar.，1a1a2arn,令bi=ai+i-1,i=1,2,r.则b1,b2,br满足1b1b2brn+r-1b1,b2,br相当于从1,2,n+r-1取r个作不允许重复组合。

于是，从1,2,n这n个中任取r个作允许重复组合，总可以从1,2,n+r-1这n+r-1个中取r个作不允许重复组合与之对应。

反之，从1,2,n+r-1这n+r-1个中任取r个作不允许重复组合b1,b2,br.1b1b2brn+r-1,a1,a2,ar相当于从1,2,n取r个作允许重复组合。

于是，从1,2,n+r-1这n+r-1个中任取r个作不允许重复组合，总可以从rrnc1+91,2,n这n个中取r个作允许重复组合与之对应。

因此，在n个不同的元素中取出r个进行允许重复的组合与在nr1个不同的元素中取出r个进行不允许重复的组合之间存在着一一对应关系，故有结论。

19从1,2,9中选出不同的7个数字组成7位数，要求5和6不相邻，共有多少种选法？

解：

设A表示由从1,2,9中选出不同的7个数字组成7位数的数的集合，B表示由从1,2,9中选出不同的7个数字组成7位数中5和6相邻