鲁棒控制理论第四章.pdf

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鲁棒控制理论鲁棒控制理论第四章不确定性和鲁棒性第四章不确定性和鲁棒性前言前言?

没有任何一个物理系统是可以用准确的数学模型来代表的。

由于这一原因，我们必须知道没有任何一个物理系统是可以用准确的数学模型来代表的。

由于这一原因，我们必须知道建模误差建模误差对控制系统的性能可能会产生怎样的不利影响。

对控制系统的性能可能会产生怎样的不利影响。

本章开始论述各种本章开始论述各种不确定对象的模型不确定对象的模型，进而用，进而用小增益定理小增益定理研究鲁棒稳定性，即在对象存在不确定性的情况下的稳定性问题。

最后一个专题是研究鲁棒稳定性，即在对象存在不确定性的情况下的稳定性问题。

最后一个专题是鲁棒性能鲁棒性能问题，在对象不确定的情形下确保跟踪目标的实现。

问题，在对象不确定的情形下确保跟踪目标的实现。

4.1对象的不确定性模型对象的不确定性模型?

建模基本方法：

集合模型（模型族）建模基本方法：

集合模型（模型族）?

用一个集合用一个集合P来代表对象的模型。

这个集合可以是结构化的或者是非结构化的。

来代表对象的模型。

这个集合可以是结构化的或者是非结构化的。

结构化不确定性模型结构化不确定性模型（StructuredUncertainty）?

描述不确定性的来源和位置明确的情况。

参数化不确定性：

以有限个参数的不确定性来表示集合模型。

参数化不确定性：

以有限个参数的不确定性来表示集合模型。

离散化不确定性：

以离散的对象模型的集合来表示集合模型。

离散化不确定性：

以离散的对象模型的集合来表示集合模型。

minmax21,1aaasas=+P2322111,111sebssasTssasas+=+P非结构化不确定性模型非结构化不确定性模型UnstructuredUncertainty?

描述描述“未建模动态未建模动态”造成的不确定性造成的不确定性?

乘积摄动模型乘积摄动模型设标称对象的传递函数为，实际对象的传递函数为当，或变形为构造乘积摄动模型设标称对象的传递函数为，实际对象的传递函数为当，或变形为构造乘积摄动模型（）Ps（）Ps?

（）（）（）211PssWsP=+=+?

（）（）21PsWsP=?

（）（）21PsWsP=+?

（）（）（）（）211PssWsPs=+?

P通常假定和是稳定的传递函数，而且的摄动不构成中不稳定极点的消除（和具有相同的不稳定极点），此时称是可容许的（allowable）。

为尺度因子。

（）s（）2Ws（）s（）Ps（）Ps（）Ps?

（）s（）s例例1：

乘积摄动模型建模实例：

乘积摄动模型建模实例?

根据试验，获得稳定对象的频率响应特性其中根据试验，获得稳定对象的频率响应特性其中i为频率点的编号，为频率点的编号，k为试验次数的编号选取标称对象传递函数，获得频率响应特性为试验次数的编号选取标称对象传递函数，获得频率响应特性?

选取，满足选取，满足（）11,kkmniiikiM=（）Ps（）1,miiiiM=（）2Ws（）21,1,1,ikkiiiiMeWjimknMe=?

（）21PWP=+?

iM（）Pj（）Pj?

M0（）2WjPuyi,kkiiM?

乘积摄动不确定性模型又称乘积摄动不确定性模型又称圆状不确定性模型圆状不确定性模型（Disk-likeUncertainty）对每个）对每个,上式表示一个以（上式表示一个以（1，j0）为圆心，为半径的圆。

为圆心，为半径的圆。

简单，规范，但较保守。

（）（）（）（）2211PjPWPWjPj=+?

（）2Wj1例例2：

模型嵌入方法：

模型嵌入方法?

结构化不确定性模型与非结构化不确定性模型之间的转换（结构化不确定性模型嵌入非结构化不确定性模型）结构化不确定性模型与非结构化不确定性模型之间的转换（结构化不确定性模型嵌入非结构化不确定性模型）?

设标称模型为（如理想的直流电机，无阻尼）设实际对象含有时间滞后，即设标称模型为（如理想的直流电机，无阻尼）设实际对象含有时间滞后，即?

现将上述不确定性模型嵌入乘积摄动模型。

由画出选择由画出选择（）21Pss=（）2,0,0.1sePss=?

其中（）（）（）211,0,0.1jPjeWjPj=?

（）21jeWj和（）（）0,2121cos2,21jkek=+（）2Wj0.1=（）20.210.11sWss=+例例3：

模型嵌入方法：

模型嵌入方法?

设实际对象传递函数，其中现将它嵌入乘积摄动模型。

令标称对象选择，满足为取得最小上界，取则令标称对象选择，满足为取得最小上界，取则（）2kPss=?

0.1,10k（）02kPss=（）2Wj（）（）（）（）2PjPjWjPj?

011PkkP=?

00.1100105.050.15.054.95minmax15.055.055.05kkkk=（）24.955.05Ws=（）5.052Pss=（）（）（）（）21PssWsPs=+?

其他不确定性模型其他不确定性模型?

一些常用的不确定性模型一些常用的不确定性模型?

在用每一种模型时都要对和作适当的假设。

（）（）（）2222111WPPWPWPPW+?

2W4.2鲁棒稳定性鲁棒稳定性（RobustStability）?

定义：

鲁棒性定义：

鲁棒性?

给定不确定性系统的模型（模型族）给定不确定性系统的模型（模型族）?

给定控制器给定控制器C?

给定系统的性能指标给定系统的性能指标J?

若若,闭环系统性能满足闭环系统性能满足J，则称，则称C对于对于P在在J的意义下是鲁棒控制器，或闭环系统在的意义下是鲁棒控制器，或闭环系统在J的意义下具有鲁棒性的意义下具有鲁棒性?

定义：

鲁棒稳定性（乘积摄动）定义：

鲁棒稳定性（乘积摄动）?

设为系统的不确定性模型，则当控制器设为系统的不确定性模型，则当控制器C对于对于P中的每一个对象保持闭环系统内稳定时，则称系统是鲁棒稳定的。

中的每一个对象保持闭环系统内稳定时，则称系统是鲁棒稳定的。

三大要素PP?

（）211PWP=+?

PP?

Nyquist图图CPyrLPC=?

开环传递函数闭环传递函数ry1LTL=+闭环特征方程10FL=+=?

0ImRe（-1,j0）（）Fs极点零点js（）Fs的零点sj=+e鲁棒稳定性判据鲁棒稳定性判据?

考察如图的不确定性系统考察如图的不确定性系统?

定理定理1：

设对象不确定性满足乘积摄动模型，即设控制器使标称对象内稳定则控制器使内稳定其中为标称系统的补敏感函数：

设对象不确定性满足乘积摄动模型，即设控制器使标称对象内稳定则控制器使内稳定其中为标称系统的补敏感函数CP?

yr（）211PWP=+?

CPCP?

21WT?

T1PCTPC=+定理定理1的证明的证明?

充分性充分性已知，摄动系统的开环传递函数根据已知，摄动系统的开环传递函数根据Nyquist稳定性判据，由于标称系统内稳定稳定性判据，由于标称系统内稳定

（1）不通过点，而可容许的不通过点，而可容许的

（2）（）（）2211LPCWPCWL=+=+?

（）jL（）0,1j（）（）点也不通过0,1jjL（）（）（）（）（）（）1supsupsup2222=TWjTjWjjTjWjTW12TW令令（摄动系统的闭环特征多项式摄动系统的闭环特征多项式）（）（）（）（）（）（）FTWLTWLLLLWLLWLLWLF111111111122222+=+=+=+=+=+=221WTWT?

0ImRe1（）21WTj+?

位于以1为圆心，半径小于1的闭圆内，相位角变化360（）Lj?

围绕（-1,j0）的圈数=围绕（-1,j0）的圈数（）Lj则摄动系统内稳定?

必要性：

用反证法必要性：

用反证法设假定处，有则若取（满足），则在处，有由于，则在处，即通过设假定处，有则若取（满足），则在处，有由于，则在处，即通过（-1,j0）点则摄动系统不稳定。

点则摄动系统不稳定。

证毕。

21WTk=?

*0=（）（）*2WjTjk=?

1k=1*（）（）21110WjTjkk+=?

i（）21FWTF=+?

*（）*0Fj=?

（）Lj说明说明?

设系统不确定性满足以下模型给定控制器，设使标称对象内稳定，则若则称为乘积摄动模型下的稳定裕度。

（）（）21PWP=+?

CCP（）supsupsup,PCP=?

使得内稳定sup?

定理定理1可用于寻找乘积摄动模型下的稳定裕度由其中则由定理可用于寻找乘积摄动模型下的稳定裕度由其中则由定理1，即则可取，即则可取sup222sup1sup11WTWTWT=i（）（）22111PWPPWP=+=+?

221,WW=（）221WTWT=摄动系统的内稳定21WT图示鲁棒稳定性图示鲁棒稳定性条件也可以用图形来解释。

注意到-1L2WL最后一个不等式表明，在每一个频率下，临界点-1都位于以为圆心，以为半径的圆外，如图21WT（）（）（）（）（）（）22211,11,WjLjWTLjWjLjLj+设，且令，则对所有的如图所示的互连系统是适定而且是内稳定的，且1当且仅当当且仅当鲁棒稳定性检验小结鲁棒稳定性检验小结摄动条件（）21WP+21WT2PW+21WCS21WPS21WS（）21PWP+（）21PW+4.3鲁棒性能（鲁棒跟踪性）鲁棒性能（鲁棒跟踪性）?

假定对象传递函数属于集合。

鲁棒性能的一般含义是指集合中的所有元素都满足内稳定和一种特定的性能。

假定对象传递函数属于集合。

鲁棒性能的一般含义是指集合中的所有元素都满足内稳定和一种特定的性能。

定义：

鲁棒跟踪性定义：

鲁棒跟踪性?

设对象不确定性满足乘积摄动模型，即设对象不确定性满足乘积摄动模型，即?

对于给定的参考输入信号，当鲁棒稳定的控制器对于，有，称系统是鲁棒跟踪的，其中为摄动系统的敏感函数。

（）211PWP=+?

CP?

11WS?

11SPC=+?

分析分析?

为鲁棒稳定控制器的条件为其中为标称系统的补敏感函数为鲁棒稳定控制器的条件为其中为标称系统的补敏感函数?

对于摄动系统，为鲁棒跟踪控制器的条件为对于摄动系统，为鲁棒跟踪控制器的条件为?

其中其中?

则则鲁棒跟踪性的条件归结为鲁棒跟踪性的条件归结为?

（鲁棒稳定性鲁棒稳定性）?

（跟踪性跟踪性）C21WT1PCTPC=+C11WS?

（）（）（）22211111111111SSLWTPCWLLWT=+?

21WT21,:

11WSWT+鲁棒跟踪性判据鲁棒跟踪性判据?

定理定理2：

设对象不确定性满足乘积摄动模型，即则系统具有鲁棒跟踪性：

设对象不确定性满足乘积摄动模型，即则系统具有鲁棒跟踪性（）211PWP=+?

121WSWT+定理定理2的证明的证明?

充分性充分性121212212122112211,1111111,111WSWTWSWTWSWTWTWSWTWSWTWTWSWSWTWT+=设，该式等价于且，（鲁棒稳定性成立）从22222222112212111111,11121WTWTWTWTWTWTWTWTWSWSWTWTWSWT=+对于给定的，有（条件满足）则系统满足鲁棒跟踪性。

必要性必要性（）（）（）（）（）（）1212211*222221,1,1111,sup11110WSWTWSWTWTWSWjSjWTWjTjWTWTWT+=+?

设系统满足鲁棒跟踪性，即则设在处有寻找，满足即一个负实数（）（）（）（）（）（）（）（）（）*11*22*11*22112212111111,1,11WjSjWSWTWjTjWjSjWSWTjWjTjWSWSWTWTWSW

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