强烈推荐七年级相交线和平行线的证明精华.pdf
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卓越个性化教案GFJW0901课题平行线和相交线的证明题教学目标掌握平行相关证明要领，熟悉几何语言的应用重点几何语言的描述，因果关系的衔接难点证明流程中因果关系的衔接几何证明题的基本结构和方法：
几何证明题的基本结构和方法：
1正确地进行证明，先要探求证明的思路：
这有三种方法：
一种方法是从结论着眼，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要的条件已经具备，当然这种逆推的过程中，要不断地向已知条件靠拢，这就是“执果索因”。
有时，这种逆推会遇到障碍，这时也可用另一种方法思考，即从已知条件入手，思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立，这就是“由因导果”，或者也可以顺推与逆推相结合，从问题的两头向中间靠拢，从而发现问题的突破口，这也叫“两头凑”。
2“执果索因”的方法也就是证明的思维方法中的“综合法”，“由因导果”的方法也就是证明的思维方法中的“分析法”。
“两头凑”的方法也就是证明的思维方法中的“分析综合法”。
3“综合法”、“分析法”，“分析综合法”是证明的思维方法中的直接证法。
注注：
今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法：
反证法和同一法。
这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们。
八思维方法的训练八思维方法的训练例例1已知如图，AOC为一直线，OB为任一射线，OP平分AOB，OE平分BOC，求证：
求证：
OEOP。
分析分析：
1、由逆推法分析要证明OEOP，由垂直定义只要证明EOP=90，而EOP由1、2所组成，只要证明1+2=90。
由于OE，OP分别是BOC和AOB的角平分线，1=BOC，2=AOB，又由于AOC为一直线，AOB+BOC=180，那么（AOB+BOC）=90，即1+2=90。
2由顺推法分析：
由AOC为直线推出AOB+BOC=180，由OP，OE分别为AOB，BOC平分线推得2=AOB，1=BOC，由POE=1+2=（AOB+BOC）推得POE=90再推得OPOE。
3上述分析中和的两个推理是并列的，因而在证明中先写或没有什么关系，但是和共同的结果，所以必须在和的后面。
证明：
证明：
（1）卓越个性化教学讲义2
（2）（3）POE=1+2（全量等于部分之和）=（AOB+BOC）（等量代换）=180（等量代换）=90OPOE（垂直定义）整个证明过程由3部分推理所组成，书写证明过程要用顺推法由前向后写。
例例2、已知如图，AOC，BOD为对顶角，OE平分AOC，OF平分BOD，求证：
OE，OF互为反向延长线。
分析：
分析：
（1）OE，OF互为反向延长线是指EOF为一条直线，即证明E、O、F三点共线。
证明这类问题首先要克服视觉给我们带来的干扰，如1和2并不能看成是一对对顶角，因为缺乏构成对顶角的必要条件。
OE与OF互为反向延长线，而这一点恰恰是本题证明的目标。
（2）证明E、O、F三点共线通常采用EOF=180，利用平角定义完成三点共线证明。
（3）为证明EOF=180，只要证明1+AOF=180，从已知AOC与BOD为对顶角，可推知A、O、B三点共线：
即AOF+2=180，只要证明1=2，题设中由AOC和BOD为对顶角又可知AOC=BOD，又由OE，OF分别为AOC和BOD平分线，正好创设了证明1=2的条件。
证明：
证明：
AOC，BOD为对顶角（已知）AOC=BOD（对顶角相等）OE平分AOC，OF平分BOD（已知）1=AOC，2=BOD（角平分线定义）1=2（等量之半相等）AOC，BOD为对顶角（已知）AB为直线（对顶角定义）AOF+2=180（平角定义）卓越个性化教学讲义3AOF+1=180（等量代换）EOF=180（等量代换）OE，OF互为反向延长线（平角定义）九剖析图形结构，挖掘等量关系九剖析图形结构，挖掘等量关系例例3、已知如图，OBOA，直线CD过O点，AOC=20，求证DOB的度数。
分析分析：
题设中的条件给出了许多的角的关系，由OBOA可知1+2=90；由CD过O点，可知2+BOD=180，再由AOC=20，很容易求得DOB的度数。
解：
解：
（不是证明题，不能写“证明”，而写“解”字）OBOA（已知）AOB=90（垂直定义）1+2=90（等量代换）2=90-1（等式性质）直线CD过O点（已知）COD=180（平角定义）BOD+2=180（等量代换）BOD=180-2（等式性质）=180-（90-1）（等量代换）=90+1（等式性质）1=20（已知）BOD=90+20（等量代换）=110（等式性质）答：
BOD的度数为110（求解题最后写答）例例4、已知如图，OAOC，OBOD，AOD=3BOC，求BOC的度数。
分析分析：
由题设条件（AOD=3BOC，这是有关BOC的关系式，由垂直条件可推出）AOB=90-BOC，COD=90-BOC，可见AOB，COD都与BOC相关，可运用代数方法，设元，用方程思想解题，直接设BOC=x，用x表示其余的相关角，分析其等量关系，得到关于x的方程，这样做，无论从叙述或思考都比较简捷。
解：
解：
设BOC=x卓越个性化教学讲义4AOD=3BOC（已知）AOD=3x又AOD=AOB+BOC+COD（全量等于部分之和）3x=AOB+x+COD（等量代换）2x=AOB+COD（等式性质）OAOC，OBOD（已知）AOB=90-x，COD=90-x（垂直定义）2x=90-x+90-x（等量代换）4x=180（等式性质）x=45即BOC=45答：
BOC的度数为45。
十例题：
十例题：
例例1如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，AOC=70，BOE=80，求DOF的度数。
精析精析：
AOC、COE、BOE组成一个平角，而AOC、BOE的度数为已知，所以，可以先求出COE的度数，再根据对顶角相等得到DOF的度数。
解：
解：
AB是直线（已知），AOC+COE+BOE=180（平角的定义），COE=180-AOC-BOEAOC=70，BOE=80（已知）COE=30，CD、EF相交于点O（已知）COE与DOF是对顶角（对顶角的定义）COE=DOF（对顶角相等）DOF=30。
例例2如图所示，直线AB与CD相交于O点，OE平分AOC，射线OFCD于点O，且BOF=24，求COE的度数。
解：
解：
OFCD，BOF=24，卓越个性化教学讲义5AOC=180-COF-BOF=180-90-24=66又OE平分AOCCOE=AOC=66=33即COE的度数为33。
以下两题和平行有关，等学习平行之后再看。
以下两题和平行有关，等学习平行之后再看。
例例3如图所示，AB/EF，求证：
BCF=B+F。
精析精析：
过点C作CD/AB，则B=1，由平行公理还可推出CD/EF，2=F，有BCF=B+F。
证明：
证明：
过点C作CD/AB，则B=1（两条线平行，内错角相等）AB/EF（已知），CD/ABCD/EF（平行公理推论）F=2（两直线平行，内错角相等）1+2=B+F即BCF=B+F。
例例4如图所示，已知ABBC于B，EF分别交AC、BC于E、F，A+AEF=180，求证：
EFBC。
精析精析：
由A与AEF互补可推得AB/EF，然后由ABBC可推出EFBC。
这样就把推论两条直线垂直的问题转化成证明两条直线平行的问题。
证明：
证明：
A+AEF=180（已知）AB/EF（同旁内角互补，两直线平行）B=EFC（两直线平行，同位角相等）卓越个性化教学讲义6ABBC（已知）B=90（垂线定义）EFC=90（等量代换）EFBC（垂线定义）。
课堂练习：
课堂练习：
一、一、平行线之间的基本图平行线之间的基本图1、如图已知，ABCD.,AFCF分别是EAB、ECD的角平分线，F是两条角平分线的交点；求证：
12FAEC.2、已知AB/CD，此时A、AEF、EFC和C的关系又如何？
你能找出其中的规律吗？
ABEFCD33、将题变为如下图：
AB/CDABEFDC此时A、AEF、EFD和D的关系又如何？
你能找出其中的规律吗？
4、如图，AB/CD，那么AECCA与、有什么关系？
ABCDEABCDEABCDEDBCAFE卓越个性化教学讲义7ABDCE二、二、两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】1.已知：
如图，CD平分ACB，ACDE，DCE=FEB，求证：
EF平分DEB3、已知：
如图2-96,DEAO于E,BOAO,FCAB于C，1=2,求证：
DOAB.3、如图，已知EFAB，3=B，1=2，求证：
CDAB。
4、已知ADBC，FGBC，垂足分别为D、G，且1=2，猜想BDE与C有怎样的大小关系？
试说明理由.ADFBEC卓越个性化教学讲义8三、两组平行线构造平行四边形三、两组平行线构造平行四边形1已知：
如图，AB是一条直线，C=1，2和D互余，BEFD于G求证：
ABCD2、如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，1=2，C=D，求证DFAC3、如图，M、N、T和A、B、C分别在同一直线上，且1=3，P=T，求证：
M=R。
四、证特殊角四、证特殊角1、ABCD，BAC的平分线和ACD的平分线交于点E，则AEC的度数是2、ABCD，直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分AEF，过点F作PFEP垂足为P，若PEF300，则PFC_图7图8ABCDEF1423（第22题）21GFEDBCA卓越个性化教学讲义9MNADBCb21aE3、如图，已知：
DEAC，CD平分ACB，EF平分DEC，1与2互余，求证：
DGEF.4已知：
如图，ABDE，CM平分BCE，CNCM求证：
B2DCN5.如图已知直线ab，AB平分MAD，AC平分NAD，DEAC于E，求证：
1=24、求证：
三角形内角之和等于180五、寻找角之间的关系五、寻找角之间的关系1、如图2-97,已知：
1=2，3=4，5=6.求证:
ADBC.2、已知，如图，BCE、AFE是直线，ABCD，1=2，3=4。
求证：
ADBE。
ADBCEF1234卓越个性化教学讲义103如图12，ABD和BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，1+2=90求证：
（1）ABCD；
（2）2+3=90六、翻折六、翻折1、如图1，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D，C的位置若EFB55，则AED的度数为。
2、如图2，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250，则B的度数等于。
EDBCFCDA图13、如图
（1），已知矩形ABCD，将BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C，若ADC=20，则DBC=的度数为_。
ABCD第16题C44、如图，在RtABC中，C90，A20按图中所示方法将BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C处，则BDC=_5、（20102010江苏宿迁）江苏宿迁）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中四个三角形的周长之和为6.如图是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图，再沿BF折叠成图.
（1）若DEF=200，则图中CFE度数是多少？
（2）若DEF=，把图中CFE用表示.C图图10123ABDFEA12BC（第1题）CADCB20卓越个性化教学讲义11七、综合证明：
七、综合证明：
1已知，如上左图，ADBC，DAAB，DB平分ADC，ABD30，求C的度数.2已知，如上中图，DBFGEC，ABD60，ACE36，AP平分BAC，求PAG的度数.3已知，如上右图，AD平分BAC，点F在BD上，FEAD交AB于G，交CA的延长线于E，求证：
AGEE.【作业作业】1.如下左图，EBDC，C=E，请你说出A=ADE的理由。
2.如上中左图AD是EAC的平分线
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