概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案.pdf

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1概率论与数理统计概率论与数理统计第一章第一章课后习题及课后习题及参考参考答案答案1写出下列随机试验的样本空间

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）；

（2）一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；（3）某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标解：

（1）100,2,1；

（2）345,235,234,145,135,134,125,124,123；（3）,2,1；（4）|）,（22yxyx2在10,2,1，432，A，5,4,3B，7,6,5C，具体写出下列各式：

（1）BA；

（2）BA；（3）BA；（4）BCA；（5）CBA解：

（1）,9,101,5,6,7,8A，5BA；

（2）10,9,8,7,6,5,4,3,1BA；（3）法1：

10,9,8,7,6,2,1B，10,9,8,7,6,1BA，5,4,3,2BA；法2：

5,4,3,2BABABA；（4）5BC，10,9,8,7,6,4,3,2,1BC，4,3,2BCA，10,9,8,7,6,5,1BCA；2（5）7,6,5,4,3,2CBA，1,8,9,10CBA3设20|xx，121|xxA，2341|xxB，具体写出下列各式：

（1）BA；

（2）BA；（3）AB；（4）BA解：

（1）BBA，223,410|xxxBBA；

（2）BA；（3）AAB，21,210|xxxAAB；（4）231,2141|xxxBA4化简下列各式：

（1）（BABA；

（2）（CBBA；（3）（）（BABABA解：

（1）ABBABABA）（）（；

（2）ACBCABCBBA）（）（；（3）（）（）（BABBABABABAABABAABAA）（5A，B，C表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：

（1）CBACBACBA；

（2）BCACAB；（3）（CBA；（4）BCACAB解：

（1）A，B，C恰有一个发生；

（2）A，B，C中至少有一个发生；（3）A发生且B与C至少有一个不发生；（4）A，B，C中不多于一个发生6对于任意事件A，B，证明：

ABAAB）（3证：

ABBAABAABABAAB）（）（AAAA7把事件CBA表示为互不相容事件的和事件解：

）（）（CABAAACBACBA）（BCACBABAACABAACBABCABAA）（CBABAA8设0）（AP，0）（BP，将下列5个数）（AP，）（）（BPAP，）（BAP，）（）（BPAP，）（BAP按有小到大的顺序排列，用符号“”联结它们，并指出在什么情况下可能有等式成立解：

因为0）（AP，0）（BP，）（）（BPABP，故）（）（）（）（）（）（）（）（）（BPAPBAPAPBAPABPAPBPAP，所以）（）（）（）（）（）（）（BPAPBAPAPBAPBPAP

（1）若AB，则有）（）（）（BAPBPAP，）（）（BAPAP；

（2）若AB，则有）（）（APBAP，）（）（）（BPAPBAP9已知BA，3.0）（AP，5.0）（BP，求）（AP，）（ABP，）（BAP和）（BAP解：

（1）7.0）

（1）（APAP；

（2）BA，AAB，则3.0）（）（APABP；（3）2.0）（）（）（）（ABPBPABPBAP；（4）

（1）（）（BAPBAPBAP5.0）（）（）（1ABPBPAP10设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率

（1）只有1件次品；

（2）最多1件次品；（3）至少一件次品4解：

从10件产品中任取3件，共有310C种取法，

（1）记A从10件产品中任取3件，只有1件次品，只有1件次品，可从4件次品中任取1件次品，共14C中取法，另外的两件为正品，从6件正品中取得，共26C种取法则事件A共包含2614CC个样本点，21）（3102614CCCAP

（2）记B从10件产品中任取3件，最多有1件次品，C从10件产品中任取3件，没有次品，则CAB，且A与C互不相容没有次品，即取出的3件产品全是正品，共有36C种取法，则61）（31036CCCP，32）（）（）（）（CPAPCAPBP（3）易知C从10件产品中任取3件，至少有1件次品，则65）

（1）（CPCP11盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码，求：

（1）最小号码为5的概率；

（2）最大号码为5的概率解：

从10个球中任选3球，共有310C种选法，

（1）记A从10个球中任选3球，最小标号为5，事件A发生，则选出球的最小标号为5，另外两个球的标号只可从6，7，8，9，10这5个数中任选，共有25C种选法，则121）（31025CCAP

（2）记B从10个球中任选3球，最大标号为5，事件B发生，则选出球的最大标号为5，另外两个球的标号只可从1，2，3，4这4个数中任选，共有24C种选法，则5201）（31024CCBP12设在口袋中有a个白球，b个黑球，从中一个一个不放回地摸球，直至留在在口袋中的球都是同一种颜色为止求最后是白球留在口袋中的概率解：

设A最后是白球留在口袋中，事件A即把ba个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此概率显然为baaAP）（13一间学生寝室中住有6位同学，假定每个人的生日在各个月份的可能性相同，求下列事件的概率：

（1）6个人中至少有1人的生日在10月份；

（2）6个人中有4人的生日在10月份；（3）6个人中有4人的生日在同一月份解：

设iB生日在i月份，则iB生日不在i月份，12,2,1i，易知121）（iBP，1211）（iBP，12,2,1i

（1）设A6个人中至少有1人的生日在10月份，则A6个人中没有一个人的生日在10月份，6610）1211

（1）

（1）

（1）（BPAPAP；

（2）设C6个人中有4人的生日在10月份，则62244621041046121115）1211（）121（）（）（）（CBPBPCCP；（3）设D6个人中有4人的生日在同一月份，则52112121115）（）（CPCDP14在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的长度成正比，求任意画的弦的长度大于R的概率解：

设弦与该直径的交点到圆心的距离为x，已知，当Rx23，弦长大于半径6R，从而所求的概率为232232RRP15甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同一昼夜内到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1h，乙船的停泊时间是2h，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率解：

设A两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出，则A一艘船到达泊位时必须等待，分别用x和y表示第一、第二艘船到达泊位的时间，则10,20|）,（xyyxyxA，从而1207.0242221232124）（）（）（2222AAP；8993.0）

（1）（APAP16甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？

解：

设A甲击中目标，B乙击中目标，C目标被击中，则BAC，由题设知A与B相互独立，且6.0）（AP，5.0）（BP，所以）（）（）（）（）（ABPBPAPBAPCP8.0）（）（）（）（BPAPBPAP，从而43）（）（）（）（）|（CPAPCPACPCAP17某地区位于河流甲与河流乙的汇合点，当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛滥的概率是0.1，河流乙泛滥的概率是0.2，又当河流甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为0.3，求在该时期内这个地区被淹没的概率，7又当河流乙泛滥时，引起河流甲泛滥的概率是多少？

解：

A甲河流泛滥，B乙河流泛滥，C该地区被淹没，则BAC，由题设知1.0）（AP，2.0）（BP，3.0）|（ABP，从而）（）（）（）（）（ABPBPAPBAPCP27.0）|（）（）（）（ABPAPBPAP，15.0）（）|（）（）（）（）|（BPABPAPBPABPBAP18设n件产品中有m件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率解：

设A有一件产品是不合格品，B另一件产品也是不合格品，iD取出的两件产品中有i件不合格品，2,1,0i，显然，21DDA，21DD，2DBAB从n件产品种任取两件，共有2nC种取法；若1D发生，即取出的两件产品中有1件不合格品，则该不合格品只能从m件不合格品中取得，共有1mC种取法；另一件为合格品，只能从mn件合格品中取得，共有1mnC种取法，则事件1D中共有11mnmCC个样本点，）1（）

（2）（2111nnmnmCCCDPnmnm，类似地，）1（）1（）（222nnmmCCDPnm，所以）1（）1（）

（2）（）（）（）（2121nnmmmnmDPDPDDPAP，）1（）1（）（）（2nnmmDPABP，于是所求概率为121）（）（）|（mnmAPABPABP81910件产品中有3件次品，每次从其中任取一件，取出的产品不再放回去，求第三次才取得合格品的概率解：

设iA第i次取得合格品，3,2,1i，则所求概率为12878792103）|（）|（）（）（213121321AAAPAAPAPAAAP20设事件A与B互不相容，且1）（0BP，证明：

）

（1）（）|（BPAPBAP证：

事件A与B互不相容，则0）（ABP，）

（1）（）

（1）（）（）

（1）（）（）（）|（BPAPBPABPAPBPBAPBPBAPBAP21设事件A与B相互独立，3.0）（AP，45.0）（BP，求下列各式的值：

（1）|（ABP；

（2）（BAP；（3）（BAP；（4）|（BAP解：

事件A与相互独立，事件A与B也相互独立，

（1）45.0）（）|（BPABP；

（2）（）（）（）（ABPBPAPBAP）（）（）（）（BPAPBPAP615.0；（3）385.0）

（1）

（1）（）（）（BPAPBPAPBAP；（4）7.0）（）|（APBAP22某种动物活到10岁的概率为0.92，活到15岁的概率为0.67，现有一只10岁的该种动物，求其能活到15岁的概率解：

设A该种动物能活到10岁，B该种动物能活到15岁，显然AB，由题设可知92.0）（AP，67.0）（BP，所以9267）（）（）（）（）|（APBPAPABPABP923某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%，已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂的次品率为5%一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率解：

设A电灯泡是次品，1B电灯泡由甲厂生产，2B电灯泡由乙厂生产，则A电灯泡是合格品由题设可知6.0）（1BP，4.0）（2BP，04.0）|（1BAP，05.0）|（2BAP，044.0）|（）（）|（）（）（2211BAPBPBAPBPAP，所以956.0）

（1）（APAP24已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解：

设A选出的人是色盲患者，B选出的人是男性，B选出的人是女性，由题设可知21）（）（BPBP，05.0）|（BAP，0025.0）|（BAP，则2120）|（）（）|（）（）|（）（）|（BAPBPBAPBPBAPBPABP25甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为0.4，0.5和0.7，又设敌机被击中1次、2次、3次而坠毁的概率分别为0.2，0.6和1现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率解：

设1A，2A，3A分别表示甲、乙、丙射击击中敌机，iB敌机被击中i次，3,2,1i，C敌机坠毁，则