弹性力学第七章.pdf

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第七章空间问题的基本理论目录目录7-1平衡微分方程7-3主应力最大与最小应力7-4几何方程及物理方程7-5轴对称问题的基本方程7-2物体内任一点的应力状态7-1平衡微分方程7-3主应力最大与最小应力7-4几何方程及物理方程7-5轴对称问题的基本方程7-2物体内任一点的应力状态在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。

空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。

因此，许多问题可以从平面问题推广得到。

取出微小的平行六面体，zyxvdddd考虑其平衡条件平衡条件:

0xF,0yF;0zF,0xM,0yM.0zM（a）（b）平衡条件7-1平衡微分方程7-1平衡微分方程由x轴向投影的平衡微分方程平衡微分方程,0,（,）.（c）yxxzxxfxyzxyz平衡微分方程0xF得因为x,y,z轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以x,y,z坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性对等性。

因此，式（a）的其余两式可通过式（c）的坐标轮换得到。

由3个力矩方程得到3个切应力互等定理切应力互等定理，0xMzyyz，（x,y,z）。

（d）空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量。

）dd（dzyx平衡微分方程思考题在图中，若点o的x向正应力分量为，试表示点A,B的x向正应力分量。

xxdzdxAdyoyBz在空间问题中，同样需要解决：

由直角坐标的应力分量在空间问题中，同样需要解决：

由直角坐标的应力分量，来求出斜面（法线为）上的应力。

，来求出斜面（法线为）上的应力。

xyz斜面应力n7-2物体内任一点的应力状态7-2物体内任一点的应力状态斜面的全应力p可表示为两种分量形式：

（,）.xyzppppp沿坐标向分量:

p沿法向和切向分量:

斜面应力（,）.nnp取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds,则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。

由四面体的平衡条件，得出坐标向的应力分量,1.求）,（0zyxFx,（,）.（a）xxyxzxplmnxyz）,（zyxppppzyxppp2.求）,（nnp将）,（zyxpppp向法向投影，即得zyxnnpmplpnn222222.（b）xyzyzzxxylmnmnnllm,222222nnzyxpppp22222.（c）nxyznpppn得由从式（b）、（c）可见,当六个坐标面上的应力分量确定之后，任一斜面上的应力也就完全确定了。

nn设在边界上，给定了面力分量则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。

斜面应力分量应代之为面力分量，从而得出空间问题的应力边界条件空间问题的应力边界条件:

3.在上的应力边界条件s,zyxfffs）,（zyxppp）,（zyxfff（）,（,）.（）（）xyxzxsxlmnfxyzSd在上应力边界条件式（d）只用于边界点上，表示边界面上的面力与坐标面的应力之间的关系，所以必须将边界面方程代入式（d）。

式（b）,（c）用于V内任一点，表示斜面应力与坐标面应力之间的关系；注意注意:

s1.1.假设面（l,m,n）为主面，则此斜面上n.,0pnn斜面上沿坐标向的应力分量为：

zyxppp,.,npmplpzyx斜面应力7-3主应力最大与最小的应力7-3主应力最大与最小的应力代入,得到：

考虑方向余弦关系式，有.1222nml结论：

式（a）,（b）是求主应力及其方向余弦的方程。

（b）,（a）.xyxzxyzyxyzxzyzlmnlmnlmnlmn2.求主应力求主应力将式（a）改写为：

。

0）（,0）（,0）（nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx求主应力上式是求解上式是求解l,m,n的齐次代数方程。

由于的齐次代数方程。

由于l,m,n不全为不全为0，所以其系数行列式必须为零，得，所以其系数行列式必须为零，得,0zyzxzzyyxyzxyxx展开，即得求主应力的方程求主应力的方程,求主应力32222（）（）xyzyzzxxyyzzxxy.0）2（222xyzxyzxyzzxyyzxzyx（c）3.3.应力主向设主应力的主向为。

代入式（a）中的前两式，整理后得1111,nml1111111111（）0,（d）（）0.yxzxxyzyxymnllmnll应力主向由上两式解出。

然后由式（b）得出1111,lnlm12211111.（e）1（）（）lmnll应力主向再求出及。

1m1n4.一点至少存在着三个互相垂直的主应力4.一点至少存在着三个互相垂直的主应力321,（证明见书上）。

5.应力不变量5.应力不变量若从式（c）求出三个主应力，则式（c）也可以用根式方程表示为，123（）（）（）0.（f）因式（c）和（f）是等价的方程，故的各幂次系数应相等，从而得出：

应力不变量321,1123212233122231232222.xyzyzzxxyyzzxxyxyzxyzyzxzxyyzzxxy,（g）应力不变量所以分别称为第一、二、三应力不变量。

这些不变量常用于塑性力学之中。

式（g）中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。

321,6.关于一点应力状态的结论：

6.关于一点应力状态的结论：

（1）6个坐标面上的应力分量完全确定一点的应力状态。

只要6个坐标面上的应力分量确定了，则通过此点的任何面上的应力也完全确定并可求出。

（2）一点存在着3个互相垂直的应力主面及主应力。

一点应力状态（3）3个主应力包含了此点的最大和最小正应力。

（4）一点存在3个应力不变量.321,（5）最大和最小切应力为，作用于通过中间主应力、并且“平分最大和最小正应力的夹角”的平面上。

13.2321设空间问题的几何方程，空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：

xux,yzwvyz）,;,（wvuzyx（a）几何方程7-4几何方程及物理方程7-4几何方程及物理方程）,;,（wvuzyx从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：

若位移确定，则形变完全确定。

若位移确定，则形变完全确定。

几何方程从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。

-沿x,y,z向的刚体平移；若形变确定，则位移不完全确定。

若形变确定，则位移不完全确定。

由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。

若，还存在对应的位移分量，为：

0yzx）,（zyx0,yzuuzy（,;,）.xyzuvw（b）000,wvu几何方程zyx,-绕x,y,z轴的刚体转动。

若在边界上给定了约束位移分量，则空间问题的位移边界条件为：

空间问题的位移边界条件为：

uswvu,（）,suu（,）.uvw（c）位移边界条件zyxzyxzzyyxxzyxdddddd）d）（dd）（dd（d1）1）

（1）（1（zyx.zyx（d）其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。

其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。

体积应变体积应变体积应变定义为：

dvdvvd空间问题的物理方程空间问题的物理方程应变用应力表示，用于按应力求解方法：

应变用应力表示，用于按应力求解方法：

）,（1zyxxE2

（1）,yzyzE（x,y,z）.（e）物理方程可表示为两种形式：

应力用应变表示，用于按位移求解方法：

应力用应变表示，用于按位移求解方法：

）,21（1xxE,

（1）yzyzE（x,y,z）.（f）由物理方程可以导出,21E（g）是第一应力不变量，又称为体积应力。

21E-称为体积模量。

空间问题的应力，形变，位移等15个未知函数，它们都是（x,y,z）的函数。

这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。

结论：

结论空间轴对称问题空间轴对称问题采用柱坐标表示。

（,）z轴对称问题如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。

7-5轴对称问题的基本方程7-5轴对称问题的基本方程对于对于空间轴对称问题：

空间轴对称问题：

应力中只有应力中只有,zz。

0;0;0uzz（a）形变中只有形变中只有,zz位移中只有位移中只有,zuu轴对称问题所有物理量仅为（所有物理量仅为（,z,z）的函数。

）的函数。

而由,0F得出为。

0,0,（b）0,0.zzzzZzFfzFfz平衡微分方程：

平衡微分方程：

几何方程几何方程：

其中,00zu，几何方程为,（c）zzzzuuuzuuz。

物理方程：

物理方程：

应变用应力表示：

应变用应力表示：

。

，（zzZEzE）1

（2）,）（1（d）应力用应变表示：

应力用应变表示：

（）,）,112（e）.2

（1）zzEzE，（其中。

zuuuzz边界条件：

边界条件：

一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。

所以边界条件也十分简单。

在柱坐标中，坐标分量的量纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同的。

因此，相应的方程不具有对等性。

z,思考题试由空间轴对称问题的基本方程，简化导出平面轴对称问题的基本方程。

例题1试求图示空间弹性体中的应力分量。

（a）正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。

（b）半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。

qqooxxzz解：

图示的（a）,（b）两问题是相同的应力状态：

x向与y向的应力、应变和位移都是相同的，即等。

yx0yx0yx对于（a），有约束条件；对于（b），有对称条件。

则可解出：

0）（1,0）（1zxyyzyxxEE.11qzyx而两者的，因此，由物理方程：

qz例题2图示的弹性体为一长柱形体，在顶面z=0上有一集中力F作用于角点，试写出z=0表面上的边界条件。

xyobbaaz图7-5P解：

本题是空间问题，z=0的表面是小边界，可以应用圣维南原理列出应力的边界条件。

即在z=0的表面边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于面力的主矢量和主矩，两者数值相等，方向一致。

由于面力的主矢量和主矩是给定的，因此，应力的主矢量和主矩的数值，应等于面力的主矢量和主矩的数值；而面力主矢量和主矩的方向，就是应力主矢量和主矩的方向。

应力主矢量和主矩的正负号和正负方向，则根据应力的正负号和正负方向来确定。

对于一般的空间问题，列积分的应力边界条件时，应包括6个条件。

对于图示问题这6个积分的边界条件是：

.0dd）（）（:

dd）（:

dd）（:

;dd）（:

0dd）（:

0dd）（:

0000000yxyxMFayxxMFbyxyMFyxFyxFyxFzzxzaabbzyzzaabbzyzaabbzxzaabbzzzaabbzyyzaabbzxx第七章空间问题的基本理论例题3设物体的边界面方程为试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力应力边界条件是什么形式？

0）,（zyxF）,（zyxq第七章空间问题的基本理论,/kFnxx（x,y,z），其中1/2222,.xxyzFFxkFFF解：

当物体的边界面方程为时，它的表面法线的方向余弦为zyxnnn,0）,（zyxF第七章空间问题的基本理论当面力为法向分布拉力q时，,xflq（x,y,z）.因此，应力边界条件为,（）.xxyxyzzxxsFFFFqx,y,z代入应力边界条件，得,xxyyxzzxsxFFFkf（x,y,z）.