高等代数试题库.pdf

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高等代数试题库高等代数试题库一、填空题：

一、填空题：

1、在C-1,1中，定义=11）（）（dxxgxf,则向量1的长度为_，1与x的夹角为_。

2、二次型f（x1,x2）=x12+4x1x2+3x22的矩阵是_。

3、R3的子空间W=（a,2a,3a）|aR则dimW=_。

4、设n阶矩阵A的特征根为1，2，n，则detA=_,Tr（A）=_。

5、线性变换的属于本征值的特征子空间V=_。

6、设1，2，n是欧氏空间V的一个规范正交基，V中向量在基1，2，n下的坐标可由内积表示为_。

7、R2的线性变换在基1，2下的矩阵为A=4321，则在基1+2，22下的矩阵为_。

8、实二次型f的典范形式由_和_唯一确定。

9、实对称矩阵A正定当且仅当A与_合同。

10、Rn空间中，向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是_。

11、数域F上任意一个n维向量空间都与同构。

12、线性相关的充要条件是。

13、线性相关的充要条件是。

14、二次型f（x1,x2,x3）=x1x2+x2x3的矩阵表达式为（）321321xxxAxxx,则A=_。

15、设1是线性方程组AX=B的一个解，2是线性方程组AX=0的一个解，则1-2是_的一个解。

16、设n阶可逆矩阵A的特征根为1，2，n，则A-1的特征根为_。

17、设W1、W2是V的两个子空间，则W1与W2的和W1+W2=。

18、二次型f（x1,x2）=（）21214321xxxx的矩阵为__。

19、对任意向量空间V，V的平凡子空间是和。

20、线性变换把线性相关向量变成。

21、方程032234=+xxx的有理根为。

22、含有n个未知量n个方程的线性方程组，当其系数行列式D0时，该方程组有解。

23、两矩阵乘积的行列式等于其矩阵行列式的。

24、设矩阵=300220111，的转置矩阵为T，则T。

25、n阶可逆矩阵必等价于。

26、若阶矩阵的秩为，则的所有阶子式都等于零。

27、零多项式是。

28、若p（x）是不可约多项式，而f（x）是一个任意多项式，则当（p（x）,f（x）1时，有。

29、两本原多项式的乘积是多项式。

30、）321）1（nn。

31、设为n阶方阵，则A。

32、设三阶方阵，满足1且710004100031则。

33、若n阶行列式有多于n2-n个为零的元素，则行列式值为。

34、设一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别为A和B，则有解的充要条件为35、在实数域上，任意次数多项式都可约。

36、含有n个未知量n个方程的线性方程组，当其系数行列式D0时，其方程组有且仅有解。

37、任n个矩阵乘积的行列式等于其矩阵行列式的。

38、有理数域多项式存在不可约多项式。

39、n阶可逆矩阵必等价于。

40、零多项式是。

41、若阶矩阵的秩为3，则的所有阶子式都等于零。

42、若p（x）是不可约多项式，而f（x）是一个任意多项式，则当p（x）不能整除f（x）时，有。

43、两本原多项式的乘积是多项式。

44、设为4阶方阵，则A3。

45、）321）1（nn。

46、设三阶方阵，满足1且710004100031则。

47、若一个线性方程组的系数矩阵的秩为r，则其增广矩阵的秩为和。

48、矩阵1112的逆矩阵是_.49、设A为nm矩阵，B是一个矩阵，且BA有意义，则B的列数等于_.50、设向量组12,r?

与12,s?

等价，它们的秩分别为,pq，则p与q的关系是_.51、设n级矩阵A的特征值为12,n?

，则A=_,Tr（）_A=.52、二次型（）11212222（,）21xfxxxxx=的矩阵为__.53、设12,m?

为n维向量，已知12,m?

线性无关，则m和n的关系是__.54、n维欧氏空间V中向量在标准正交基12,n?

下的坐标是（）12,nxxx?

，那么（,）_,_i=.55、在欧氏空间4R中，向量（1,2,2,4）,（0,2,2,2）=，那么与的夹角是_，（,）_d=.56、线性变换把线性相关向量变成_向量.57、nR空间中，向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是_.58、设A为正交矩阵，则_A=或_.59、设1a,2a不等于零，则12100aa=.60、设A、B均为n级对称矩阵，则AB也是对称矩阵的充要条件是_.61、设A为7级反对称矩阵，则_A=.62、设n级可逆矩阵A的特征值为12,n?

，则1A的特征值是_；（）fA的特征值是_；_A=.63、欧氏空间中对称变换的属于不同特征值的特征向量_.64、实对称矩阵的特征值都是_.65、当一个向量组的极大无关组不唯一时，其两个不同的极大无关组所含向量个数_.66、设12,s?

是n维线性空间中s个向量，则当s满足条件_时，12,s?

线性相关.67、数域P上任意一个n维线性空间都与同构.68、二次型f（x1,x2）=（）21214321xxxx的矩阵为__.69、设nnAP，（）f为A的特征多项式，则（）fA0.70、实对称矩阵A正定当且仅当A与_合同.71、设A为mn矩阵，秩（）Arn=，则齐次线性方程组0AX=的基础解系含_个解向量.72、在C-1,1中，定义=11dx）x（g）x（f,则向量1的长度为_，1与x的夹角为_。

73、二次型f（x1,x2）=x12+6x1x2+2x22的矩阵是_。

74、R3的子空间W=（a,2a,3a）|aR则dimW=_。

75、线性变换的属于特征根的特征子空间V=_。

76、设1，2，n是欧氏空间V的一个标准正交基，V中向量在基1，2，n下的坐标可由内积表示为_。

77、R2的线性变换在基1，2下的矩阵为A=4321，则在基1+2，22下的矩阵为_。

78、实二次型f的典范形式由_和_唯一确定。

79、若C=AB，则矩阵C的秩与矩阵A、B的秩的关系为_。

80、Rn空间中，向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是，_。

81、设A为n阶可逆矩阵，则|A-1|=_。

82、实对称矩阵A正定当且仅当A与_合同。

83、已知矩阵A、B、C=（cij）mn，满足AC=CB，则A和B分别是_阶和_阶矩阵。

84、二次型f（x1,x2,x3）=x1x2+x2x3的矩阵表达式为（）321321xxxAxxx,则A=_。

85、设1是线性方程组AX=B的一个解，2是线性方程组AX=0的一个解，则1-2是_的一个解。

86、设n阶可逆矩阵A的特征根为1，2，n，则A-1的特征根为_。

87、线性变换的属于特征根的特征子空间V=_。

88、在Rn空间中，向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是_。

89、R2的线性变换在基1，2下的矩阵为A=4321，则在基1+2，22下的矩阵为_。

90、实二次型f的典范形式由_和_唯一确定。

91、若C=AB，则矩阵C的秩与矩阵A、B的秩的关系为_。

92、二次型f（x1,x2）=（）21214321xxxx的矩阵为_。

93、设A为n阶矩阵，且n1，|A|=d，则|A|=_。

94、实对称矩阵A正定当且仅当A与_合同。

95、已知=13210131131001X，则X=_。

96、零次多项式是一个_。

97、p（x）是不可约多项式，f（x）为任意多项式，则p（x）与f（x）的关系为_或。

98、实数域上的不可约多项式只有和。

99、映射的合成不满足_。

100、若n阶行列式有多于n2-n个为零的元素，则其行列式值等于_。

101、nija）（表示的n阶行列式是_项的代数和，其一般项是，符号是_。

102、若一个n元线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩都等于r，且rn则该方程组有解。

103、每一个对换都改变排列的。

104、若一个整系数多项f（x）在有理数域上不可约,则f（x）有理根。

105、若是一个整系数多项式f（x）的系数_，则称f（x）是一个本原多项式。

106、一个含有n个未知量n个方程的线性方程组，当其系数行列式_时，有且只有一个解。

107、设f（x）=4x4-7x2-5x-1，则f（x）的有理根为。

108、设f（x）,g（x）不是零多项式，在f（x）与g（x）的一切公因式中，最大公因式是次数者。

109、当且仅当f（x）是多项式时，任意多项式g（x）与f（x）的最大公因式都是g（x）。

110、设f:

AB,g:

AB都是集合A到B的映射，则f=g是指。

111、排列2k,1,2k-1,2,k+1,k的反序数是。

112、|（aij）n|表示的n阶行列式是_项的代数和，其一般项是_，符号是_。

113、若一个线性方程组的系数矩阵的秩为r，则其增广矩阵的秩为_或_。

114、每一个对换都改变排列的_。

115、设f（x）=x5-x4-2x3+2x2+x-1，则f（x）的典型分解式为。

116、若一个齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数，则该方程组有解。

117、一个含有n个未知量n个方程的线性方程组，当其系数行列式_时，有且只有一个解。

118、设f（x）=xn+1，则f（x）重因式。

119、零多项式是指_。

120、p（x）是不可约多项式，f（x）为任意多项式，若（p（x），f（x）），则。

121、f（x）、g（x）是本原多项式，则f（x）g（x）本原多项式。

122、若是f（x）的k重根，则是f（x）一阶导数的重根。

123、映射的合成不满足__。

124、nija）（表示的n阶行列式是_项的代数和，其一般项是，符号是_。

125、若一个n元线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩都等于r，且r0。

6、正交变换在任意基下的矩阵都是正交矩阵。

7、实数域是复数域上向量空间。

8、向量组1，2，n中的向量两两线性无关，则向量组1，2，n也线性无关。

9、已知1，2都是线性变换的属于本征值的本征向量，则1，2的任意线性组合也是的属于本征值的本征向量。

10、设A，B是两个n阶正定矩阵，则A与B必合同。

11、V=|（）=中每一个向量都是的属于本征值的本征向量。

13、Fn+1x是Fnx的子空间。

14、设A、B为n阶对称矩阵，则AB为对称矩阵的充要条件为ABBA。

15、相似矩阵有相同的特征向量。

16、线性变换把线性无关向量组变成线性无关向量组。

17、实二次型f（x1,x2,xn）=AXX正定的充要条件是A的主子式都大于。

18、对称变换在任意基下的矩阵都是对称矩阵。

19、存在数域F上恰好含有两个向量的向量空间。

20、已知1，2是齐次线性方程组AX=0的两个解，则k11+k22是AX=0的解，其中k1,k2为任意数。

21、任意多项式在数域P上至多有n个根。

22、数域P上的任意多项式都可分解成不可约多项式的乘积。

23、若n阶行列式D恰有个n元素非零，则D不为024、任意一个包含零向量的向量组必线性相关。

25、设A，B都是可逆方阵，则A+B也是可逆矩阵。

26、初等矩阵都是可逆矩阵。

27、任n个矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩。

28、数域P上的多项式只有两类，即可约多项式和不可约多项式。

29、齐次线性方程组永远有解。

30、零多项式能整除任意多项式。

31、任意多项式在数域P上至n多有个根。

32、数域P上的任意多项式都可分解成不可约多项式的乘积。

33、若n阶行列式D恰有个n元素非零，则D不为034、任意一个包含零向量的向量组必线性相关。

35、设A，B都是可逆方阵，则A1+B也是可逆矩阵。

36、齐次线性方程组永远有解37、任n个矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩。

38、数域P上的多项式只有两类，即可