高等代数试题库.pdf

1、高等代数试题库高等代数试题库 一、填空题：一、填空题：1、在 C-1,1中，定义=11)()(dxxgxf,则向量 1 的长度为_，1 与 x 的夹角为_。2、二次型 f(x1,x2)=x12+4x1x2+3x22的矩阵是_。3、R3的子空间 W=（a,2a,3a）|aR则 dimW=_。4、设n阶矩阵A的特征根为1，2，n，则detA=_,Tr(A)=_。5、线性变换的属于本征值的特征子空间 V=_ 。6、设1，2，n是欧氏空间 V 的一个规范正交基，V 中向量在基1，2，n下的坐标可由内积表示为_。7、R2的线性变换在基1，2下的矩阵为 A=4321，则在基1+2，22下的矩阵为_。8、实

2、二次型 f 的典范形式由_和_唯一确定。9、实对称矩阵 A 正定当且仅当 A 与_合同。10、Rn空间中，向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是_。11、数域 F 上任意一个 n 维向量空间都与 同构。12、线性相关的充要条件是 。13、线性相关的充要条件是 。14、二次型 f(x1,x2,x3)=x1x2+x2x3的矩阵表达式为()321321xxxAxxx,则 A=_。15、设1是线性方程组 AX=B 的一个解，2是线性方程组 AX=0 的一个解，则1-2是_的一个解。16、设 n 阶可逆矩阵 A 的特征根为1，2，n，则 A-1的特征根为_。17、设W1、W2是V的两个子空间，则W1与

3、W2的和W1+W2=。18、二次型 f(x1,x2)=()21214321xxxx的矩阵为_ _。19、对任意向量空间 V，V 的平凡子空间是 和 。20、线性变换把线性相关向量变成 。21、方程032234=+xxx的有理根为 。22、含有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组，当其系数行列式 D0时，该方程组有 解。23、两矩阵乘积的行列式等于其矩阵行列式的 。24、设矩阵=300220111，的转置矩阵为T，则T 。25、n 阶可逆矩阵必等价于 。26、若阶矩阵的秩为，则的所有 阶子式都等于零。27、零多项式是 。28、若 p(x)是不可约多项式，而 f(x)是一个任意多项式，则当(p(

4、x),f(x)1时，有 。29、两本原多项式的乘积是 多项式。30、)321)1(nn 。31、设为 n 阶方阵，则A 。32、设三阶方阵，满足1 且710004100031 则 。33、若n阶行列式有多于n2-n个为零的元素，则行列式值为 。34、设一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别为 A 和 B，则有解的充要条件为 35、在实数域上，任意次数 多项式都可约。36、含有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组，当其系数行列式 D0时，其方程组有且仅有 解。37、任 n 个矩阵乘积的行列式等于其矩阵行列式的 。38、有理数域多项式存在 不可约多项式。39、n 阶可逆矩阵必等价于 。40、零多

5、项式是 。41、若阶矩阵的秩为 3，则的所有 阶子式都等于零。42、若 p(x)是不可约多项式，而 f(x)是一个任意多项式，则当 p(x)不能整除 f(x)时，有 。43、两本原多项式的乘积是 多项式。44、设为 4 阶方阵，则A3 。45、)321)1(nn 。46、设三阶方阵，满足1 且710004100031 则 。47、若一个线性方程组的系数矩阵的秩为 r，则其增广矩阵的秩为 和 。48、矩阵1112的逆矩阵是_.49、设A为nm矩阵，B是一个矩阵，且 BA 有意义，则B的列数等于_.50、设向量组12,r?与12,s?等价，它们的秩分别为,p q，则p与q的关系是_.51、设n级

6、矩 阵A的 特 征 值 为12,n?，则A=_,Tr()_A=.52、二次型()11212222(,)21xf x xxxx=的矩阵为_ _.53、设12,m?为n维向量，已知12,m?线性无关，则m和n的关系是_ _.54、n维欧氏空间V中向量在标准正交基12,n?下的坐标是()12,nx xx?，那么(,)_,_i=.55、在欧氏空间4R中，向量(1,2,2,4),(0,2,2,2)=，那么与的夹角是_，(,)_d=.56、线性变换把线性相关向量变成_向量.57、nR空间中，向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是_.58、设A为正交矩阵，则_A=或_.59、设1a,2a不等于零，则121

7、00aa=.60、设A、B均为n级对称矩阵，则AB也是对称矩阵的充要条件是_.61、设A为 7 级反对称矩阵，则_A=.62、设n级可逆矩阵A的特征值为12,n?，则1A的特征值是_；()f A的 特 征 值 是 _；_A=.63、欧 氏 空 间 中 对 称 变 换 的 属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量_.64、实对称矩阵的特征值都是_.65、当一个向量组的极大无关组不唯一时，其两个不同的极大无关组所含向量个数_.66、设12,s?是n维线性空间中s个向量，则当s满足条件_时，12,s?线性相关.67、数域P上任意一个n维线性空间都与 同构.68、二次型 f(x1,x2)=()2

8、1214321xxxx的矩阵为_ _.69、设n nAP，()f为A的特征多项式，则()f A 0.70、实对称矩阵A正定当且仅当A与_合同.71、设A为mn矩阵，秩()Arn=，则齐次线性方程组0AX=的基础解系含_个解向量.72、在 C-1,1中，定义=11dx)x(g)x(f,则向量 1 的长度为_，1 与 x 的夹角为_。73、二次型 f(x1,x2)=x12+6x1x2+2x22的矩阵是_。74、R3的子空间 W=（a,2a,3a）|aR则 dimW=_。75、线 性 变 换 的 属 于 特 征 根 的 特 征 子 空 间V=_。76、设1，2，n是欧氏空间 V 的一个标准正交基，V

9、 中向量在基1，2，n下的坐标可由内积表示为_。77、R2的线性变换在基1，2下的矩阵为 A=4321，则在基1+2，22下的矩阵为_。78、实二次型 f 的典范形式由_和_唯一确定。79、若 C=AB，则矩阵 C 的秩与矩阵 A、B 的秩的关系为_。80、Rn空间中，向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是，_。81、设 A 为 n 阶可逆矩阵，则|A-1|=_。82、实对称矩阵 A 正定当且仅当 A 与_合同。83、已知矩阵 A、B、C=(cij)mn，满足 AC=CB，则 A 和 B 分别是_阶和_阶矩阵。84、二次型 f(x1,x2,x3)=x1x2+x2x3的矩阵表达式为()3213

10、21xxxAxxx,则 A=_。85、设1是线性方程组 AX=B 的一个解，2是线性方程组 AX=0 的一个解，则1-2是_的一个解。86、设 n 阶可逆矩阵 A 的特征根为1，2，n，则 A-1的特征根为_。87、线性变换的属于特征根的特征子空间 V=_。88、在 Rn空间中，向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是_。89、R2的线性变换在基1，2下的矩阵为 A=4321，则在基1+2，22下的矩阵为_。90、实二次型 f 的典范形式由_和_唯一确定。91、若 C=AB，则矩阵 C 的秩与矩阵 A、B 的秩的关系为_。92、二次型 f(x1,x2)=()21214321xxxx的矩阵为_。

11、93、设 A 为 n 阶矩阵，且 n1，|A|=d，则|A|=_。94、实对称矩阵 A 正定当且仅当 A 与_合同。95、已知=13210131131001X，则 X=_。96、零次多项式是一个_。97、p(x)是不可约多项式，f(x)为任意多项式，则 p(x)与 f(x)的关系为_或 。98、实数域上的不可约多项式只有 和 。99、映射的合成不满足_。100、若 n 阶行列式有多于 n2-n 个为零的元素，则其行列式值等于_。101、nija)(表示的 n 阶行列式是_项的代数和，其一般项是 ，符号是_。102、若一个 n 元线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩都等于 r，且 rn 则该方程组

12、有 解。103、每一个对换都改变排列的 。104、若一个整系数多项 f(x)在有理数域上不可约,则 f(x)有理根。105、若是一个整系数多项式 f(x)的系数_，则称 f(x)是一个本原多项式。106、一个含有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组，当其系数行列式_时，有且只有一个解。107、设 f(x)=4x4-7x2-5x-1，则 f(x)的有理根为 。108、设 f(x),g(x)不是零多项式，在 f(x)与 g(x)的一切公因式中，最大公因式是次数 者。109、当且仅当 f(x)是 多项式时，任意多项式 g(x)与 f(x)的最大公因式都是 g(x)。110、设 f:AB,g:AB

13、都是集合 A 到 B 的映射，则 f=g 是指 。111、排列 2k,1,2k-1,2,k+1,k 的反序数是 。112、|（aij）n|表示的 n 阶行列式是_项的代数和，其一般项是_，符号是_。113、若一个线性方程组的系数矩阵的秩为 r，则其增广矩阵的秩为_或_。114、每一个对换都改变排列的_。115、设f(x)=x5-x4-2x3+2x2+x-1，则f(x)的 典 型 分 解 式为 。116、若一个齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数，则该方程组有 解。117、一个含有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组，当其系数行列式_时，有且只有一个解。118、设 f(x)=xn+1，则 f

14、(x)重因式。119、零多项式是指_。120、p(x)是不可约多项式，f(x)为任意多项式，若（p(x)，f(x)），则 。121、f(x)、g(x)是本原多项式，则 f(x)g(x)本原多项式。122、若是 f(x)的 k 重根，则是 f(x)一阶导数的 重根。123、映射的合成不满足_ _。124、nija)(表示的 n 阶行列式是_项的代数和，其一般项是 ，符号是_。125、若一个 n 元线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩都等于 r，且 r0。6、正交变换在任意基下的矩阵都是正交矩阵。7、实数域是复数域上向量空间。8、向量组1，2，n中的向量两两线性无关，则向量组1，2，n也线性无关。9

15、、已知1，2都是线性变换的属于本征值的本征向量，则1，2的任意线性组合也是的属于本征值的本征向量。10、设 A，B 是两个 n 阶正定矩阵，则 A 与 B 必合同。11、V=|()=中每一个向量都是的属于本征值的本征向量。13、Fn+1x是 Fnx的子空间。14、设 A、B 为 n 阶对称矩阵，则 AB 为对称矩阵的充要条件为 ABBA。15、相似矩阵有相同的特征向量。16、线性变换把线性无关向量组变成线性无关向量组。17、实二次型 f(x1,x2,xn)=AXX正定的充要条件是 A 的主子式都大于。18、对称变换在任意基下的矩阵都是对称矩阵。19、存在数域 F 上恰好含有两个向量的向量空间。

16、20、已知1，2是齐次线性方程组 AX=0 的两个解，则 k11+k22是 AX=0 的解，其中 k1,k2为任意数。21、任意多项式在数域 P 上至多有 n 个根。22、数域 P 上的任意多项式都可分解成不可约多项式的乘积。23、若 n 阶行列式 D 恰有个 n 元素非零，则 D 不为 0 24、任意一个包含零向量的向量组必线性相关。25、设 A，B 都是可逆方阵，则 A+B 也是可逆矩阵。26、初等矩阵都是可逆矩阵。27、任 n 个矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩。28、数域 P 上的多项式只有两类，即可约多项式和不可约多项式。29、齐次线性方程组永远有解。30、零多项式能整除任意多项式。31、任意多项式在数域 P 上至 n 多有个根。32、数域 P 上的任意多项式都可分解成不可约多项式的乘积。33、若 n 阶行列式 D 恰有个 n 元素非零，则 D 不为 0 34、任意一个包含零向量的向量组必线性相关。35、设 A，B 都是可逆方阵，则 A1+B 也是可逆矩阵。36、齐次线性方程组永远有解 37、任 n 个矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩。38、数域 P 上的多项式只有两类，即可