矩阵及其特征值计算.pdf

矩阵及其特征值计算.pdf

《矩阵及其特征值计算.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵及其特征值计算.pdf（105页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第第55章章矩阵及其特征值计算矩阵及其特征值计算第第55章章矩阵及其特征值计算矩阵及其特征值计算11特征值性质及其估计特征值性质及其估计2幂法及反幂法幂法及反幂法2幂法及反幂法幂法及反幂法3QR方法方法3QR方法方法矩阵计算的基本问题矩阵计算的基本问题线性方程组解线性方程组解?

线性方程组解线性方程组解?

超定方程组的二乘解超定方程组的二乘解bAx=2|bAxmin?

超定方程组的二乘解超定方程组的二乘解?

矩阵特征值和特征向量矩阵特征值和特征向量xAx=2|bAxmin?

矩阵特征值和特征向量矩阵特征值和特征向量xAx=一一、问题问题一一、问题问题矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用，矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用，如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域中方阵的对角化、偏微分方程组的求解等问题都会用到中方阵的对角化、偏微分方程组的求解等问题都会用到该理论该理论。

该理论该理论。

4矩阵特征值矩阵特征值AxAx=?

求绝对值最大的特征值?

求全部特征值5设设为为阶方阵阶方阵，如果存在数如果存在数和和维维非零非零向量向量二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量设设A为为n阶方阵阶方阵，如果存在数如果存在数和和n维维非零非零向量向量X则称数则称数为方阵为方阵A的的特征值特征值，非零使得，非零使得AX=X，向量向量X称为称为A的属于特征值的属于特征值的的特征向量特征向量。

注意注意

（1）特征值可以为零；比如，若X是矩阵A的属于特征值0的特征向量，

（2）属于同一个特征值的特征向量不是惟一的。

比如，若X是矩阵A的属于特征值0的特征向量，则也是A的属于特征值0的特征向量。

）0（kXk6定义1定义1已知n阶矩阵A=（aij），则（ij）det）det（）（2222111211aaaaaaAInnLLdet）det（）（21=aaaAILMOMM）2（）（1221121的项次数+=的项次数+=naaaaaannnnnnnnL称为A的特征多项式.A的特征方程一般有个根实的或复的，重根按重数计算称为的A的特征方程）1.1（0）det（）（=AI一般有n个根（实的或复的，重根按重数计算）称为A的特征值.用（A）表示A的所有特征值的集合.特征值用（）表示的所有特征值的集合注：

当A为实矩阵时，（）=0为实系数n次代数方程，其复根是共轭成对出现.8设为A的特征值，相应的齐次方程组设为A的特征值，相应的齐次方程组）2.1（0）（=xAI）（）（的非零解x称为矩阵A的对应于的特征向量.9例例1求A的特征值及特征向量，其中012例例1求A的特征值及特征向量，其中=210131A210解解矩阵A的特征方程为131012）det（）（AI解解矩阵的特征方程为210131）det（）（=AI.0）4）

（2）（1（814723=+=+=求得矩阵A的特征值为：

求得矩阵A的特征值为：

.4,2,1=对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：

对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：

111.12,10,11321=xxx111计算问题计算问题关于计算矩阵A的特征值问题，当n2,3时，我们还可按行列式展开的办法求（）=0的根.但当n较大们还可按行列式展开的办法求（）0的根.但当n较大时，如果按展开行列式的办法，首先求出（）的系数，再求的根，工作量就非常大，用这种办法求矩阵再求（）的根，工作量就非常大，用这种办法求矩阵的特征值是不切实际的，由此需要研究求A的特征值的特征值是不切实际的，由此需要研究求的特征值及特征向量的数值解法.下面叙述有关特征值的一些结论：

三、基本性质三、基本性质定理1设为ARnn的特征值,且Ax=x（x0），下面叙述有关特征值的一些结论：

则有为的A特征值（0为常数）；-p为A-pI的特征值，即（A-pI）x=（-p）x；c为的cA特征值（c0为常数）；-p为A-pI的特征值，即（A-pI）x（-p）x；k为Ak的特征值，即Akx=kx；为的特征值，即；设A为非奇异矩阵，那么0,且-1为A-1的特征值，即A-1x=-1x.定理2设i（i=1,2,L,n）为n阶矩阵A=（aij）的特征值，则有则有）（Atraniiinii=11称为A的迹；ii=11.nAL21=定理3设ARnn，则有定理3设AR，则有.）（）（AAT=定理4设A为分块上三角矩阵，即定理4设A为分块上三角矩阵，即mAAAL11211,=mAAAMOL222mmA其中每个对角块Aii均为方阵，则.）（）（iiniAAU1=15定理5设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵P使B=P-1AP），则使BP-AP），则A与B有相同的特征值；如果是的特征向量，则是的特征向量如果y是B的特征向量，则Py是A的特征向量.定理5说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征值不变值不变.定理6ARnn可对角化，即存在非奇异矩阵定理6ARnn可对角化，即存在非奇异矩阵P使=APP211,=nAPPO的充分必要条件是A具有n个线性无关的特征向量.n如果ARnn有m个（mn）不同的特征值1,2,L,m，则对应的特征向量x1,x2,L,xm线性无关.定理7（对称矩阵的正交约化）设AR为对称定理7（对称矩阵的正交约化）设ARnn为对称矩阵，则A的特征值均为实数；A有n个线性无关的特征向量；存在一个正交矩阵P使的1A有n个线性无关的特征向量；,=TAPPO2且为A的特征值，而P（uuu）列向量n且1,2,L,n为A的特征值，而P（u1,u2,L,un）列向量uj为A的对应于j的单位特征向量.下面讨论矩阵特征值界的估计四、特征值估计四、特征值估计定义3设n阶矩阵A=（a），令下面讨论矩阵特征值界的估计.定义3设n阶矩阵A（aij），令）（niarnL21=；）.,（niarijjijiL211=；集合称为复平面上以a为圆心，以r为半径的n阶矩阵A的n）,（,|niCzrazzDiiiiL21=为复平面上以aii为圆心，以ri为半径的n阶矩阵A的n个Gerschgorin（格什戈林）圆盘.定理8（Gerschgorin圆盘定理）定理8（Gerschgorin圆盘定理）设n阶矩阵A（a），则A的每一个特征值必属n设n阶矩阵A（aij），则A的每一个特征值必属于下面某个圆盘之中）.,（niaranijjijiiiL211=ij或者说A的特征值都在n个圆盘的并集中.如果A有个圆盘组成一个连通的并集S，且S如果A有m个圆盘组成一个连通的并集S，且S与余下n-m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的m个特特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离征值.特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离（即孤立圆盘），则Di中精确地包含A的一个特征值.这说明，A的每一个特征值必位于A的一个圆盘中，并且相应的特征值一定位于第k个圆盘中（其中k中，并且相应的特征值一定位于第k个圆盘中（其中k是对应特征向量x绝对值最大的分量的下标）.21利用相似矩阵性质，有时可以获得A的特征值进一步的估计，即适当选取非奇异对角阵一步的估计，即适当选取非奇异对角阵111,121=DO1n并做相似变换适当选取jijaADD1）21（niL=并做相似变换.适当选取可使某些圆盘半径及连通性发生变化.nnijjADD=1）,2,1（niiL=例估计矩阵的特征值范围，其中014例2估计矩阵A的特征值范围，其中.411101=A411解矩阵A的3个圆盘为.24:

2:

14:

321+DDD）.,（niaranijiiiL21=）.,（niaraijjijiii211=由定理，可知的个特征值位于个圆盘的并由定理8，可知A的3个特征值位于3个圆盘的并集中，由于D1是孤立圆盘，所以D1内恰好包含A的一集中，由于D1是孤立圆盘，所以D1内恰好包含A的一个特征值1（为实特征值），即53.531的其它两个特征值包含在的并集中A的其它两个特征值2,3包含在D2,D3的并集中.24现在取对角阵现在取对角阵0100011D,9.0000101=D做相似变换014.490900191011=ADDAA49.09.0矩阵A1的3个圆盘为.8.14:

919:

14:

321+EEE显然，3个圆盘都是孤立圆盘，所以，每一个圆盘都包含A的一个特征值（为实特征值），且有估计盘都包含A的一个特征值（为实特征值），且有估计,531,919919,21.2.28.5993定义4设ARnn为对称矩阵，对于任一非零向量x，称,）（）,（）（xAxxR=）,（xx为对应于向量x的瑞利（Rayleigh）商.为对应于向量的瑞利（yg）商定理9设ARnn为对称矩阵（其特征值次序记定理9设ARnn为对称矩阵（其特征值次序记为12Ln），则1.（对任何非零xRn）；1）,（）,（xxxAxn2.；）,（）,（maxxxxAxxRxn01=x03.）,（）,（minxxxAxxRxnn0=x0281特征值性质及其估计特征值性质及其估计2幂法及反幂法幂法及反幂法2幂法及反幂法幂法及反幂法3QR方法方法3QR方法方法幂法与反幂法都是求实矩阵的特征值和特征向量幂法与反幂法都是求实矩阵的特征值和特征向量的向量迭代法，幂法幂法是计算矩阵的主特征值（矩阵按模最大的特征值称为主特征值，其模就是该矩阵的谱半径）和相应特征向量的一种向量迭代法，反幂法反幂法则是计算非奇异可逆矩阵按模最小的特征反幂法反幂法则是计算非奇异（可逆）矩阵按模最小的特征值和相应特征向量的一种向量迭代法下面分别介值和相应特征向量的一种向量迭代法.下面分别介绍幂法与反幂法.一、幂法（又称乘幂法）一、幂法（又称乘幂法）设实矩阵A=（aij）有一个完全的特征向量组，即A有n个线性无关的特征向量，设矩阵A的特征值为A有n个线性无关的特征向量，设矩阵A的特征值为1,2,L,n,相应的特征向量为x1,x2,L,xn.已知A的主特征值1是实根，且满足条件）12（|）,2,1（nixAxiiiL=）1.2（|,|21nL现讨论求1及x1的方法.）,2,1（nixAxiii实例实例：

实例实例：

31A矩阵=,22A矩阵：

.23-111-4，：

；它对应的特征向量为，特征值：

21机向量我们对矩阵乘以一个随=55x假如：

325110531,011001055223101=Axx,15.02020100102231022=xAx617010311200223,7670607020102231033=xAx,26252602507031044=xAx33,126260260602204xAx?

幂法是利用矩阵的高次幂乘上一个向量，它一般将随着幂次的增大而转化成特征向量。

随着幂次的增大而转化成特征向量。

?

幂迭代的动机是通过乘以一个矩阵来把向量朝主特征向量方向移动。

征向量方向移动。

34幂法的基本思想是:

任取非零的初始向量v0由矩幂法的基本思想是:

任取非零的初始向量v0,由矩阵A构造一向量序列vk,201=vAAvvAvv）2.2（.,012=vAAvv,011=+=+vAAvvkkk称为迭代向量，由假设，v0可唯一表示为.）3.2（）,0（122110+=axaxaxavnn设设L称为迭代向量，由假设，0可唯一表示为于是于是22211101kkkkkkxaxaxavAAvv+=L）（）/（22211101knkknnnkkxaxaxaxaxaxavAAvv+=+）.（）/（11121111kiiiixaxaxa+=其中）/（nk其中.）/（21=iikiikxa由假设故从而）32（1/niL=,0lim=k由假设故从而）,3,2（1/1nii=|2|