第5章z域分析.pdf

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第55章离散信号与系统的变换域分析12015年11月2日5.1离散时间傅里叶变换5.2LTI离散系统的频域分析5.3z变换的定义与收敛域5.4z变换的基本性质5.5反z变换5.6LTI离散系统的复频域分析5.7系统函数与系统特性DMU.BGX5.1离散时间傅里叶变换-DTFT2015年11月2日2DMU.BGX1.离散时间傅里叶变换的定义离散时间傅里叶变换的定义当,）（nnx则x（n）的Fourier变换存在nnjjenxnxeX）（）（DTFT）（-正变换d）（21）（IDTFT）（njjjeeXeXnx-反变换）（DTFT）（）（）（jjjeeXeXnx记为DTFT是将序列x（n）分解为不同角频率的复指数序列ejn的组合，X（ej）是不同分量的复振幅的相对大小，称为序列x（n）的频谱例1：

2015年11月2日3DMU.BGX1）,（）（anuanxnnnjjenxeX）（）（0nnjneajae11）（）（）sin（）cos（11jjeeXjaacos1sinarctan2）cos（211aajeaa）（jeXa11a112410a0）（02410an）（nx0123450an）（nx0123450a例2：

2015年11月2日4DMU.BGX）（）（）（）（NnununRnxNn）（）（4nRnx0123451nnjjenxeX）（）（10NnnjejNjee112/2/2/2/2/2/）（）（jjjNjNjNjeeeeee212sin2sinNjeN）（）（jjeeX）2sin（）2sin（）（NeXj2sin2sinarg21）（NN）（jeX240）（2043434N例3：

2015年11月2日DMU.BGX5为有理数00/2,）2

（2）（kjkeXd）（21）（njjeeXnxd）（2210njed）（00njenje0虚指数序列并不是绝对可和的，但当允许频域出现冲激脉冲时，其DTFT存在）/2（0为有理数当推广：

kkkn）2（）2（）cos（00DTFT0kkkjn）2（）2（）sin（00DTFT0其它典型序列的DTFT变换式2015年11月2日6DMU.BGX,1）（DTFTnckcckgnSac,）2（）（2DTFTkjkenu）2（11）（DTFTkk）2（21DTFTmjemnDTFT）（2.离散时间傅里叶变换与连续时间信号傅里叶变换的关系连续时间信号进行理想抽样，满足抽样定理，抽样间隔为Ts2015年11月2日DMU.BGX7,）（）（）（）（）（nssnssnTtnTxnTttxtxnnTjskssssenTxkXTX）（）

（1）（sssffTnTxnx2）,（）（令）（）（）

（1）（jnjnkssseXenxkXTX记为snTttxnx）（）（ksssTsjTkTXTXeXs21）（）（-数字数字（归一化归一化）角角频频率率离散时间序列的频谱是理想抽样信号的频谱经频率归一化后的结果由抽样定理，模拟信号最高允许频率为s/2，因此数字频率最高为离散时间信号的频谱是连续的，且以2为周期重复）（）（CTFTXtx理想抽样信号的频谱与序列的频谱示意图2015年11月2日DMU.BGX8DTFTn）（nxt）（txt）（txs）（Xt）（）（ttpTsT）（Ps）（sCTFTCTFTCTFT）（jXssT1sms2sss2）1（2sssT2sT）（jeXsT12403000例：

已知模拟信号2015年11月2日DMU.BGX9,8100sin）（ttx则连续周期）s（02.050/1T若抽样频率）,Hz（2001sf）s（005.0/111ssfT1）（）（1snTttxnx8100sin1snT82sinn序列周期45.021N则抽样间隔若抽样频率）,Hz（1002sf）s（01.0/122ssfT2）（）（2snTttxnx8100sinsnT8sinn序列周期222N则抽样间隔n）（1nx13412011）（tx2n）（2nx112011）（tx若抽样频率?

）Hz（502sf3.DTFT的性质2015年11月2日10周期连续性周期连续性,2,1,0,）（）（）2（kenxeXnnkjj设）（）（DTFTjeXnxDMU.BGX线性线性ijiiiiieXCnxC）（）（DTFT例：

1）,（）1（）（anuanuaanxnnn）（DTFT）1（DTFT）（nuanuaeXnnjjjjaeaeae11122cos211aaa1）1（DTFTnnjnneanua1nnjneajjaeae1时移性2015年11月2日DMU.BGX11mjjeeXmnx）（）（DTFT例：

2DTFT5）5.0sin（）5.2sin（）（jenR）5.0sin（）5.2sin（）2（DTFT5nRn）（）（51nRnx0123451n）2（）（52nRnx1233112）（1jeX250）（1205454）（2jeX250）（2204.04.04.08.0频移性2015年11月2日DMU.BGX12）（）（）（DTFT00jnjeXenx例：

DTFTDTFT）（）（1nSanxccn01234）（1jeX0221c）（）（）（）1（）（1DTFT11jjnneXnxenx）（）1（）（12nxnxnn01234DTFTDTFT）（2jeX0221c对称性2015年11月2日DMU.BGX13）（）（*DTFT*jeXnx）（）（DTFTjeXnx）（）（ReDTFTjeeXnx）（）（ImDTFTjoeXnxj）（Re）（DTFTjeeXnx）（Im）（DTFTjoeXjnx当x（n）是实序列）（）（*nxnx）（）（*jjeXeX当x（n）是实偶序列）（）（）（*nxnxnx当x（n）是实奇序列）（）（）（*nxnxnxDTFTDTFTDTFTDTFT）（）（）（*jjjeXeXeX）（）（）（*jjjeXeXeXDTFTDTFT频域微分性2015年11月2日DMU.BGX14例：

例：

d）（d）（DTFTjeXjnnxjnaenua11）（DTFT11）（DTFTjnaeddjnuna2）1（jjaeae卷积定理）（）（）（）（21DTFT21jjeXeXnxnx）（）（21）（）（21DTFT21jjeXeXnxnxParseval定理deXnxjn22）（21）（|X（ej）|2称为序列x（n）的能量密度谱函数例：

序列如图所示,2015年11月2日DMU.BGX15）（nxn2111201234567834）（）10jeX0）（nnjenx6-d）（）2jeX）0（2x-2d）（）3jeXnnx2）（2-2dd）（d）4jeXnnnx2）（2316284nnx）（0-d）（nnjjeeX5.2LTI离散系统的频域分析2015年11月2日DMU.BGX161.离散系统的频率响应LTI）（nhnjenjzsenhny）（）（mmnjemh）（）（njjeeH）（mmjnjemhe）（njjeeH）（本征信号-本征值nnjjenheH）（）（）1）（）（HjjeeH（系统幅频响应和相频响应）DTFTDTFT）（jeHd）（21）（njjeeXnxjjeeX）（jjjeeXeH）（）（信号分解信号响应d）（）（21）（njjjzseeXeHny）（）（）（jjjzseXeHeYDTFTDTFT）（）（）（）2jjzsjeXeYeH）（）（）（）（）（）（HXYjjjjjzseeXeHeeY）（）（）（nxnhnyzsDTFTDTFT频率响应频率响应频率响应仅与系统本身有关频率响应仅与系统本身有关频率响应表示系统对各频率分量加权频率响应表示系统对各频率分量加权2.正弦稳态响应2015年11月2日DMU.BGX17正余弦激励信号通过LTI系统时，其输出信号的频率不变，幅度和相位由本征值控制，是系统的稳态响应njjnjjseeHeeHny0000）（21）（21）（）cos（0n）（cos）（000HjneHLTInje0njjeeH00）（）（jeH2/）cos（）（000njnjeennxh（n）是实函数）（）（）（）（HHjjeHeHnjjnjjjeeeeeHHH00000）（）（）（21）（cos）（000HjneH若）cos（）（0kkknccnx）（cos）（）（）（00kHkkjkjsneHceHcnyk若3.数字滤波器2015年11月2日DMU.BGX18数字滤波器的最高频率为理想数字滤波器是非因果系统，不能物理实现）（jeH0C2）（jeH0C2）（jeH0L2H）（jeH0L2H理想数字滤波器的幅频特性理想低通理想高通理想带通理想带阻10p|H（ej）|s21-1通带过渡带阻带p：

通带边界频率s：

阻带边界频率1：

通带容限2：

阻带容限实际低通数字滤波器4.系统差分方程与频率响应激励为因果信号，响应的起始状态为零2015年11月2日DMU.BGX19MmmNkkmnxbknya00）（）（MmjjmmNkjjkkeXebeYea00）（）（DTFTDTFTNkjkkMmjmmjjjeaebeXeYeH00）（）（）（0101aeaeabebebjjNNjjMM频率响应与差分方程可相互转换频率响应与差分方程可相互转换例：

已知LTI因果系统2015年11月2日DMU.BGX201）,（）1（）（anxnaynyjjjjaeeXeYeH11）（）（）（cos1sinarctan2）cos（211aajeaa,10a当）（jeHa11a1120）（H20低通滤波器,01a当高通滤波器）（jeHa11a1120）（H20nnx）1

（2）（当）cos（1112）（naanys）,cos（2n稳态响应aeHaeHjj11）（,11）（0DTFTDTFT）（）（nuanhn5.3Z变换的定义与收敛域2015年11月2日DMU.BGX211.Z变换的定义jezzRezImzj1j1jz平面或1zjezjezz双边z变换nnznxnxzX）（）（）（Z）（）（ZTzXnx记为单边z变换0）（）（nnznxzX-正变换CnzzzXzXnxd）（j21）（）（11Z-反变换z变换是DTFT在z复平面的扩展（原函数）（像函数）2.Z变换的收敛域（ROC）对于任意有界序列，能使存在的z值范围称为收敛域2015年11月2日DMU.BGX22nnznx）（级数收敛充要条件：

即ROC与序列形态和z值有关例:

nnnznuazX）（）（101）（nnaz111az,azzaznnznx）（banuanubnxnuanxnuanxnnnn）,（）1（）（）,1（）（）,（）（32112）（nnnzazXzaza111,azzaz11）（nnza013）（nnnnnnzazazX,azzbzzbzajImz0-aaRezjImz0-aRezajImzRez-bb0-aa（X1）（X2）（X3）三类序列的收敛域0z零点ap极点0z零点ap极点2z,0z21ba零点ba21p,p极点Z变换的收敛域（续）z变换ROC的特性：

右边（因果）序列的收敛域为某一圆外区域（可能不含）左边（反因果）序列的收敛域为某一圆内区域（可能不含0）双边序列的收敛域为因果与反因果序列收敛域的公共（圆环）区域，或者不存在有限长序列的收敛域为有限z平面（0|z|）仅当收敛域确定时，原函数与像函数才一一对应收敛域内不能有z变换式的极点，但可以有零点（零极点的定义与标识与Lapla