初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第20章同余试题新人教版doc.docx
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初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第20章同余试题新人教版doc
第20章同余
20.1.1★
（1）证明：
任意平方数除以4，余数为0或1；
（2）证明：
任意平方数除以8，余数为0、1或4．
解析
（1）因为
奇数
2
22k14k24k11（mod4），
偶数
2
22k4k20（mod4），
所以，正整数
21（mod4）,n;
为奇数
n
0（mod4）,n为偶数.
（2）奇数可以表示为2k1，从而
奇数
24k24k14kk11．
因为两个连续整数k、k1中必有一个是偶数，所以4kk1是8的倍数，从而
奇数
28i11mod8．
又，偶数
2
22
2k4k（k为整数）．
22
若k偶数2t，则4k16t0mod8．
若k奇数2t1，则
2
22
4k42t116tt44（mod8）．
0mod8,
所以，平方数1mod8,
4mod8.
评注事实上，我们也可以这样来证：
因为对任意整数a，有a0，±1，2（mod4），所以，a0，
1（mod4）；又a0，±1，±2，±3，4（mod8），所以，
2
a0，1，4mod8．
20.1.2★求证：
一个十进制数被9除所得的余数，等于它的各位数字被9除所得的余数．
解析设这个十进制数Aanan1a2a1a0．
因101（mod9），故对任何整数k≥1，有
kk
1011mod9
．
因此
Aaaaaa
nn1210
nn1
a10a10a10a
nn110
aa1a1a0mod9．
nn
即A被9除所得的余数等于它的各位数字之和被9除所得的余数．
评注
（1）特别地，一个数能被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除．
（2）算术中的“弃
九
验算法”就是依据本题的结论．
20.1.3★★求证：
（1）
1999
85517；
（2）
2n
837
；
（3）
1000
17191．
解析
（1）因551mod8，所以
1999
551mod8，
1999
5517117160mod8，
于是
1999
8（5517）．
（2）因为
2
391（mod8），
2n
31（mod8）
，所以
2n
37170mod8
，即
2n
837
．
（3）因为192mod17，
44
192161mod17，所以
250250
10004
191911mod17，
于是
1000
17191．
nnnn
20.1.4★★对任意的正整数n，证明：
2903803464261
A能被1897整除．
解析18977271，7与271互质．因为
29035mod7，8035mod7，
4642mod7，2612mod7，
nnnnnnnn
所以A290380346426155220mod7，故7|A
又因为
2903193mod271，
803261mod271，
464193mod271，
所以
2
A
nnnn
2903803464261
nnnn
1932611932610mod271
，故271|A
因（7，271）=1，所以1897整除A．
20.1.5★证明：
22225555
55552222能被7整除．
解析因为55554mod7，
3
4641mod7，
所以
2222222222220
5555444162mod7．
因为22223mod7，
2
32mod7，
2
31mod7，所以
5555555555550
2222333
925
226
3333223
5mod7．
于是
22225555
5555222225mod70mod7，
即
22225555
7|55552222．
20.1.6★★求最大的正整数n，使得
解析因为
1024
n整除．
31能被2
10245122561128
31313313131，①
而对于整数k≥1，有
2
k
2
k
31112mod4
，
所以，①式右边的11个括号中，（3+1）是4的倍数，其他的10个都是2的倍数，但不是4的倍数．故
n的最大值为12．
n
20.1.7★求使21为7的倍数的所有正整数n．
3
解析因为281mod7，所以对n按模3进行分类讨论．
（1）若n3k，则
k
n3kk
212181110mod7
；
（2）若n3k1，则
k
n3k
21221281
k
2111mod7
;
（3）若n3k2，则
k
n23k
21221481
k
4113mod7
．
3
n
所以，当且仅当3|n时，21
为7的倍数．
20.1.8★设n是正整数，求证：
7不整除4n1．
解析因为
1
44mod7，
2
42mod7，
3
41mod7．所以
当n3k时，
k
n3
4141112mod7
；
当n3k1时，
k
n3
41441415mod7
；
当n3k2时，
k
n3
4141611613mod7
．
n所以，对一切正整数n，7不整除41
．
20.1.9★今天是星期日，过
100
3天是星期几?
解析
3
3271mod7，所以
3333
1003
3331334mod7．
因此，过
100
3天是星期四．
20.1.10★★求
3326
（25746）被50除所得的余数．
解析2577mod50，
3333
2577mod50．
又
2
7491mod50，所以
4
71mod50．
8
334
7777mod50．
即
33
2577mod50．
从而
33
257467463mod50．
332626
（25746）3mod50．
由于
5
32437mod50．
10
3491mod50，所以
20
31mod50．于是
26205
3333732129mod50．
故
3326
（25746）除以50所得的余数为29．
20.1.11★
（1）求33除
1998
2的余数；
（2）求8除
2n1
71的余数．
4
解析
（1）先找与1mod33同余的数．因为
5
2321mod33，
所以
10
21mod33．
199
19981053
2222825mod33．
故所求的余数为25．
（2）因为71mod8，所以
2n121
n，711mod8
2n1
7126mod8
．
即余数为6．
20.1.12★求
55555
12399100除以4所得的余数．
5
解析因为2n0mod4，
5
2n12n1mod4，所以
55555
12399100
2
13599500mod4．
20.1.13★形如
k
2
F21，n0，1，2，⋯的数称为费马数．证明：
当n≥2时，Fn的末位数字是7．
n
解析当n≥2时，2
n是4的倍数，故令2n4t．
于是
F
n
21
k
2
4ttt
21161617mod10
．
即
F的末位数字是7．
n
评注费马数的头几个是F03，F15，F217，F3257，F465537，它们都是素数．费马便猜
测：
对所有的正整数n，
F都是素数．然而，这一猜测是错误的．首先推翻这个猜测的是欧拉，他证
n
明了下一个费马数F5是合数．有兴趣的读者可以自己去证明．
20.1.14★★已知n191919191919，求n被9除后所得商的个位数字是多少?
19191919
个
解析因为
n191919191919
19191919
个
19191919
5
191920224mod9．
所以9|n4．又n4的个位数字是5，故n被9除后所得商的个位数字是5．
20.1.15★★求
解析因为
999
2的末两位数．
10
210mod25，
10
21mod25，
100100
10
211mod25，
1000
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