初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第20章同余试题新人教版doc.docx

1、初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第20章同余试题新人教版doc第 20 章 同 余20.1.1 (1)证明：任意平方数除以 4，余数为0 或 1；(2)证明：任意平方数除以 8，余数为0、1 或 4解析 (1) 因为奇数22 2k 1 4k2 4k 1 1(mod 4) ，偶数22 2k 4k2 0(mod 4) ，所以，正整数2 1(mod 4), n ;为奇数n0(mod 4), n为偶数 .(2) 奇数可以表示为2k 1，从而奇数2 4k2 4k 1 4k k 1 1因为两个连续整数 k 、 k 1中必有一个是偶数，所以 4k k 1 是 8 的倍数，从而奇数2 8i 1 1 mod8

2、 又，偶数22 22k 4k ( k为整数 ) 2 2若 k 偶数 2t ，则4k 16t 0 mod 8 若 k 奇数 2t 1，则22 24k 4 2t 1 16 t t 4 4(mod8) 0 mod8 ,所以，平方数 1 mod8 ,4 mod8 .评注 事实上，我们也可以这样来证：因为对任意整数 a ，有 a 0 ， 1，2( mod4 ) ，所以， a 0 ，1( mod4) ；又 a 0， 1， 2， 3，4( mod8) ，所以，2a 0，1， 4 mod8 20.1.2 求证：一个十进制数被 9 除所得的余数，等于它的各位数字被 9 除所得的余数解析设这个十进制数 A ana

3、n 1 a2a1a0 因 10 1( mod9) ，故对任何整数 k 1，有k k10 1 1 mod9因此A a a a a an n 1 2 1 0n n 1a 10 a 10 a 10 an n 1 1 0a a 1 a1 a0 mod9 n n即 A 被 9 除所得的余数等于它的各位数字之和被 9 除所得的余数评注 (1) 特别地，一个数能被 9 整除的充要条件是它的各位数字之和能被 9 整除 (2) 算术中的“弃九验算法”就是依据本题的结论20.1.3 求证： (1)19998 55 17 ；(2)2 n8 3 7；(3)100017 19 1 解析 (1) 因55 1 mod8 ，

4、所以199955 1 mod8 ，199955 17 1 17 16 0 mod8 ，于是19998 (55 17) (2) 因为23 9 1(mod8) ，2n3 1(mod8)，所以2n3 7 1 7 0 mod8，即2n8 3 7(3) 因为 19 2 mod17 ，4 419 2 16 1 mod17 ，所以 250 2501000 419 19 1 1 mod17 ，于是100017 19 1 n n n n20.1.4 对任意的正整数 n ，证明： 2903 803 464 261 A 能被 1897 整除解析 1897 7 271，7 与 271 互质因为2903 5 mod7

5、，803 5 mod7 ，464 2 mod7 ， 261 2 mod7 ，n n n n n n n n所以 A 2903 803 464 261 5 5 2 2 0 mod7 ，故 7| A又因为2903 193 mod271 ，803 261 mod271 ，464 193 mod271 ，所以2An n n n2903 803 464 261n n n n193 261 193 261 0 mod271，故 271| A因(7 ，271)=1 ，所以 1897 整除 A 20.1.5 证明：2222 55555555 2222 能被 7 整除解析 因为5555 4 mod7 ，34 6

6、4 1 mod7 ，所以2222 2222 2 22205555 4 4 4 16 2 mod 7 因为2222 3 mod7 ，23 2 mod7 ，23 1 mod7 ，所以5555 5555 5 55502222 3 3 39252 2 63 3 3 3 2 2 35 mod7 于是2222 55555555 2222 2 5 mod 7 0 mod 7 ，即2222 55557 | 5555 2222 20.1.6 求最大的正整数 n ，使得解析 因为1024n 整除3 1 能被 21024 512 256 1 1283 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 ，而对于整数 k 1，有

7、2k2k3 1 1 1 2 mod4，所以，式右边的 11 个括号中， (3+1) 是 4 的倍数，其他的 10 个都是 2 的倍数，但不是 4 的倍数故n 的最大值为12n20.1.7 求使 2 1为7 的倍数的所有正整数 n 3解析 因为2 8 1 mod7 ，所以对n按模 3进行分类讨论(1) 若 n 3k ，则kn 3 k k2 1 2 1 8 1 1 1 0 mod7；(2) 若 n 3k 1，则kn 3 k2 1 2 2 1 2 8 1k2 1 1 1 mod 7;(3) 若 n 3k 2，则kn 2 3 k2 1 2 2 1 4 8 1k4 1 1 3 mod 73n所以，当且仅

8、当 3| n 时， 2 1为 7 的倍数20.1.8 设 n是正整数，求证： 7 不整除 4n 1 解析 因为14 4 mod7 ，24 2 mod 7 ，34 1 mod 7 所以当 n 3k 时，kn 34 1 4 1 1 1 2 mod7；当 n 3k 1时，kn 34 1 4 4 1 4 1 5 mod7；当 n 3k 2时，kn 34 1 4 16 1 16 1 3 mod7n 所以，对一切正整数 n ，7 不整除 4 120.1.9 今天是星期日，过1003 天是星期几 ?解析33 27 1 mod 7 ，所以 33 33100 33 3 3 1 3 3 4 mod7 因此，过10

9、03 天是星期四20.1.10 求33 26(257 46) 被 50 除所得的余数解析 257 7 mod50 ，33 33257 7 mod50 又27 49 1 mod50 ，所以47 1 mod 50 833 47 7 7 7 mod50 即33257 7 mod50 从而33257 46 7 46 3 mod50 33 26 26(257 46) 3 mod50 由于53 243 7 mod50 103 49 1 mod50 ，所以203 1 mod50 于是26 20 53 3 3 3 7 3 21 29 mod50 故33 26(257 46 ) 除以 50 所得的余数为 292

10、0.1.11 (1) 求 33 除19982 的余数；(2) 求 8 除2n 17 1的余数4解析 (1) 先找与 1 mod33 同余的数因为52 32 1 mod33 ，所以102 1 mod33 1991998 10 5 32 2 2 2 8 25 mod33 故所求的余数为25(2) 因为7 1 mod8 ，所以2n 1 2 1n ， 7 1 1 mod82n 17 1 2 6 mod8即余数为620.1.12 求5 5 5 5 51 2 3 99 100 除以 4 所得的余数5解析 因为2n 0 mod 4 ，52n 1 2n 1 mod 4 ，所以5 5 5 5 51 2 3 99

11、 10021 3 5 99 50 0 mod4 20.1.13 形如k2F 2 1， n 0，1，2， 的数称为费马数证明：当 n 2时， Fn 的末位数字是 7n解析 当 n 2时， 2n 是 4 的倍数，故令 2n 4t 于是Fn2 1k24t t t2 1 16 1 6 1 7 mod10即F 的末位数字是 7n评注费马数的头几个是 F0 3， F1 5 ， F2 17 ， F3 257 ， F4 65537 ，它们都是素数费马便猜测：对所有的正整数 n ，F 都是素数然而，这一猜测是错误的首先推翻这个猜测的是欧拉，他证n明了下一个费马数 F5 是合数有兴趣的读者可以自己去证明20.1.14 已知 n 19 191 919 1 919 ，求 n 被 9 除后所得商的个位数字是多少 ?1919 1919个解析 因为n 19 191 919 1 9191919 1919个1919 1 9 1 951919 20 2 2 4 mod9 所以 9 |n 4 又 n 4 的个位数字是 5，故 n 被 9 除后所得商的个位数字是 520.1.15 求解析 因为9992 的末两位数102 1 0 mod 25 ，102 1 mod 25 ， 100 100102 1 1 mod25 ，1000