二阶倒立摆实验报告.docx

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二阶倒立摆实验报告

线性系统实验报告

院系：

航天学院

学号：

2015年12月

1.实验目的

1）熟悉Matlab/Simulink仿真；

2）掌握LQR控制器设计和调节；

3）理解控制理论在实际中的应用。

倒立摆研究的意义是，作为一个实验装責，它形象直观，简单,而且参数和形状易于改变；但它又是一个高阶次、多变量、非线性、强耦合、不确定的绝对不稳定系统的被控系统，必须采用十分有效的控制手段才能使之稳定。

因此，许多新的控制理论，都通过倒立摆试验对理论加以实物验证，然后在应用到实际工程中去。

因此，倒立摆成为控制理论中经久不衰的研究课题，是验证各种控制算法的一个优秀平台，故通过设计倒立摆的控制器，可以对控制学科中的控制理论有一个学习和实践机会。

2.实验容

1）建立直线二级倒立摆数学模型

对直线二级倒立摆进行数学建模，并将非线性数学模型在一定条件下化简成线性数学模型。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建立模型存在一定的困难，但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

对于直线二级倒立摆，由于其复杂程度，在这里利用拉格朗日方程推导运动学方程。

由于模型的动力学方程中存在三角函数，因此方程是非线性的，通过小角度线性化处理，将动力学非线性方程变成线性方程，便于后续的工作的进行。

2）系统的MATLAB仿真

依据建立的数学模型，通过MATLAB仿真得岀系统的开环特性，采取相应的控制策略，设计控制器，再加入到系统的闭环中，验证控制器的作用，并进一步调试。

控制系统设计过程中需要分析容主要包括得出原未加控制器时系统的极点分布，系统的能观性，能控性。

3）LQR控制器设计与调节实验

利用线性二次型最优（LQR）调节器MATLAB仿真设计的参数结果对平面二阶倒立摆进行实际控制实验，参数微调得到较好的控制效果，记录实验曲线。

4）改变控制对象的模型参数实验

调整摆杆位責，将摆杆1朝下，摆杆2朝上修改模型参数、起摆条件和控制参数，重复3的容。

3.实验步骤

1）倒立摆系统模型

在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车、匀质杆和质量块组成的系统，如图1所示。

八i

播杆S\02-

>

3

X

图1直线两级倒立摆物理模型

F面利用拉格朗日方程推导运动学方程。

拉格朗日方程为:

厶=

（1）

&q

T=T“+Tm}+Tm2+Tm3

⑶

几严口+瞪

⑷

Tin2=K2+T；t2

⑸

T、,=加

⑹

j?

•]T■了

=—mx）r一〃“]大qcos。

】+—“/「&「

22

（ID

几\=TmX+九=-〃也胡cosq+扌〃诟分同样可以求出

vdt

=—m3x2一2/WjZjX^cosq+2码/：

年

2

因此，可以得到系统的总动能为:

=—Mx+-m}x2一m}l{x0}cosq+-叫:

幷

（14）

+gm2（i2-2a（2/|^jcos0x+l2O2cos$））

+如W綺+紳帥⑷wh）

+tn}x2-2m3l{x0{cosO}+2叫；0；

（15）

系统的总势能为:

=“ghcosq+2叫gl\cos0x+m2g（2l{cos0x+12cos02）

从而拉格朗日算子:

L=T-V

=—Mx2+"

22

=0

（17）

（18）

展开（17）,（18）式,分别得到（19）,（20）式

（19）

6m2l20；sin©-0）+4（〃《+3（叫+叫））电一3（-2叫1©cos（&-&J

+（〃片+2（“+加J）（gsinq+工cosq））=0

-3gsin&2一6/研sin（q-如+如玄+6怡cos（Q-^）-3xcos^2=0（20）

将（19）,（20）式对久求解代数方程，得到以下两式

••

q=（3（-2g“sin©_4g7»2sin^-4/n3（gsin^+3m2gcos（^2一BJsing

+6〃丛cos（q-q）sin（q-&2）◎：

+4〃丛sin©-&一2叫戈cos8、⑵）

-4®FcOS&]-4加3无COS&]+3〃亦COS（q-$）COS&2））/

（21{（-4/77,-12in2一12叫+9加2cos2©—Q）））0、=-（-^m2（叫+3（〃j+m3））/]2/?

（-3gsin8、一6厶Ojsin（3A:

cos0、）

+~叫I：

!

2cos（q-$）（6"丛°；sin©-$）-3（〃片+2（/n2+加3））（gsinG+'：

cos0}）））/

（一£（"+3（“+旳）"疋+4加訴厅cos'©-$））

（22）

表示成以下形式：

（23）（24）

取平衡位責时各变量的初值为零，

（25）

A=（兀片2，乂&63=（0000000）=0

将（23）式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令:

K厂詐。

=°

（26）

Kd0}1

_3（-2g“一4g加2-4g“）z2（-4"-3/m2-12叫）h

（27）

心=妙

13de2

1-9®g

（28）

1?

uo2（-4〃片_3m2—12mJh

心=孰』=0

（29）

%a#30

（30）

&6囲|10

（31）

心=並

19c

I3（—2〃片-叫一4〃耳）

1.A-0一人c—、，

（32）

带入（21）式，得到线性化之后的公式

（33）

&=K]2q+K|Q+K”

将（24）式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，

dx

2gM+2伽2+玛））

4/7/2/2-£（〃片+3（〃S+也3））人4&（“+3（加2+〃$））3（4加丿2一罟（'"】+3（m>+tm3））/,）K俚

24dx

/1U）

4-0

（34）

（35）

（36）

.4-0

=0

（37）

（38）

带入（22）式，得到

（44）

（45）

现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用加速度作为输入,因此还需加上一个方程

u=x

取状态变量如下：

X[=x

X2=G

X3=2

x4=X

X5=4\

/V6=4

由（33）,（41）,（42）式得到状态空间方程如下:

其中直线两级倒立摆系统参数为:

M

小车质量2.32kg

叫

摆杆1质量0.04kg

叫

摆杆2质量0.132kg

质量块质量0.208kg

q

摆杆1与垂直向上方向的夹角

02

摆杆2与垂直向上方向的夹角

h

摆杆1到转动中心质心的距离

0.09m

■

摆杆1到转动中心质心的距离

0.27m

F

作用在系统上的外力

由以上方程，将以下参数代入

求出各个K值:

M=1.32

“=0.04

g=0.132厶

<〃人=0.208

g=9.8

0.09

=0.27

（47）

心=77.0642

心=-21.1927

心=5.7012

心=・3&5321心=37.8186Kyj=-0.0728

（48）

得到状态矩阵为:

A二

00

0

00

0

00

1.0000

00

01.00000

01.0000

000

000

086.6907-21.6172

0-40.311239.45000

0

B二

0

0

0

1.0000

6.6402

-0.0877

D二[000000]1

2）根据建模结果仔细计算并寻找合适的理论控制器参数。

设R二1,Q=diag（[200300300000]）,利用matlab提供的lq「函数，可求得：

K二

14.1421103.1881-174.169115.26823.0199-28.2451

3）进入motlobcommand窗口，键入仿真文件，进行仿真实验

利用固高公司提供的Simulink方框图，输入控制参数k,进行实物仿真，并通过调整Q的值来调整k的值，以达到控制系统的设计要求。

通过调节参数请仔细观察思考控制器参数对系统瞬态响应和稳态响应的影响。

找到几组合适的控制器参数作为实际控制的参数。

4）倒立摆系统实物调试具体步骤如下：

将小车推到导轨的中央，并且使摆杆处于自由下垂的静止状态，

给小车的驱动器的电源接通电源，进入MATLAB的SIUMLINK中，调出实物仿真文件，填入设计的控制器参数（0Q,pi）,编译，连接实物，双手将倒立摆竖直的缓慢的立起，倒立摆进入到与竖直方向夹角小于10度的围，控制器启动，观察控制器的控制效果。

成功后，从新设计控制器，并使参考位責为设为（0,0,pi）,重复（0,pi,pi）试验过程。

5）将保存的实验数据画岀图形，分析实际控制效果与仿真曲线的区别。

4.实验数据和曲线

实验一中，实验数据为：

Q=diag（[200300300000]）

K二

14.1421103.1881-174.169115.26823.0199-28.2451

实验仿真曲线为:

图2参考位萱为设为（0,pi,pi）仿直图

实验实物曲线为:

0.5

■0.5

图3参考位萱为设为（0,pi,pi）实验曲线

实验二数据为:

-14.1421-55.391812】.8639・13.4838-5.822720.6980

Q二diog（[200300100000]）

实验二数据为:

Q=diag（[200300300000]）

・14」421・56.2117124.5101-13.6940-5.880221.0735

实验仿真曲线为：

图4参考位萱为设为（0,0,pi）仿直图

实物仿真曲线为:

•汽

10203040

bma

50

图5参考位責为设为（0,0,pi）实验曲线

5051525

O0-12■•-f-1*

5.实验结果分析

从仿真和实验曲线来看两个实验都达到了预期目标。

两实验的仿真曲线都约在2.5S左右达到平衡位責，而实际结果来看，第一个实验在12S左右才达到平衡，第二个实验相对较好，摆杆在5S左右达到平衡，但是小车位責确一直在滑动。

设备实际运行结果没有仿真结果好，这说明模型与实际系统是存在差别的。

6.实验收获和新实验容设想

相比其他实验而言，这个实验有很多特别的地方：

首先，本实验有一定的危险性，在手动立起来时小车带着二阶倒立摆快速的移动，容易伤人；因此实验时需要特别小心，同时也要注意队员之间的默契配合；其次，本实验为二阶摆，摆杆不能自己立起来,需要手动扶起来，在摆杆快到目标角度时，手需要特别的轻并且要稳，否则小车速度过高系统停止工作，导致实验失败。

通过本实验，从新复习了