模块91《计数原理》.docx

模块91《计数原理》.docx

《模块91《计数原理》.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《模块91《计数原理》.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

模块91《计数原理》

第一节分类和分步计数原理

【归纳·知识整合】

1．分类加法计数原理

完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事，共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同的方法．

[探究]　1．选用分类加法计数原理的条件是什么？

提示：

当完成一件事情有几类办法，且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事情，这时就用分类加法计数原理．

[探究]　2．选用分类乘法计数原理的条件是什么？

提示：

当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理．

【自测·牛刀小试】

1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为（　　）

A．182　　　　　　　　　　B．14

C．48D．91

2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有（　　）

A．3种B．6种

C．7种D．9种

3．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有（　　）

A．30B．20

C．10D．6

4．如图，从A→C有________种不同的走法．

5．设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立A→B的映射的个数为________．

考点一

分类加法计数原理

【例1】　

（1）（2012·北京高考）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（　　）

A．24　　　　　　　　　　　B．18

C．12D．6

（2）将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（　　）

A．80B．120

C．140D．50

本例

（1）条件不变，求有多少个能被5整除的数？

—————

——————————————

使用分类加法计数原理计数的两个条件

一是根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；

二是完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．

1．若自然数n使得作竖式加法n＋（n＋1）＋（n＋2）均不产生进位现象，则称n为“良数”．例如：

32是“良数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生进位现象．那么小于1000的“良数”的个数为（　　）

A．27B．36

C．39D．48

考点二

分步乘法计数原理

【例2】学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法有________种（用数字作答）．

—————

——————————————

使用分步乘法计数原理计数的两个注意点

（1）要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；

（2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.

2．将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni（i＝1,2,3）表示第i行中最大的数，则满足N1

考点三

两个计数原理的综合应用

【例3】用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．

—————

——————————————

应用两个原理解决实际问题的注意点

在解决实际问题中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．

3．如图所示，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（　　）

A．288种　　　　　　　　B．264种

C．240种D．168种

2个区别——两个计数原理的区别

分类加法计数原理

分步乘法计数原理

区别一

每类办法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成

每一步得到的只是其中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事

区别二

各类办法之间是互斥的，并列的，独立的

各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏

3个注意点——利用两个计数原理解题时的三个注意点

（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；

（2）分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律；

（3）混合问题一般是先分类再分步．

数学思想——计数原理中的分类讨论

从近几年的高考试题来看，两个计数原理的问题重点考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论思想的应用．解决此类问题时，需要分清两个原理的区别，一般情形是考虑问题有几种情况，即分类；考虑每种情况有几个步骤，即分步．要求既要会合理分类，又要能合理分步．

【典例】　（2012·浙江高考）若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（　　）

A．60种　　　　　　　　B．63种

C．65种D．66种

【变式训练】

1．已知a，b∈{0,1,2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有（　　）

A．9种　　　　　　　　　　　B．16种

C．20种D．28种

第二节排列与组合

【归纳·知识整合】

1．排列与排列数公式

（1）排列与排列数

（2）排列数公式

A

＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝

（m，n∈N*，m≤n）．

（3）排列数的性质

A

＝n！

；A

＝1；0！

＝1.

2．组合与组合数公式

（1）组合与组合数

（2）组合数公式

C

＝

＝

（m，n∈N*，m≤n）．

（3）组合数性质

①C

＝1；②C

＝C

；③C

＝C

＋C

.

[探究]　1．排列与排列数有什么区别？

提示：

排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．

[探究]　2．如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？

提示：

看选出的元素与顺序是否有关，若与顺序有关，则是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．

【自测·牛刀小试】

1．12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数是（　　）

A．123　　　　　　　　B．312

C．A

D．12＋11＋10

2．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是（　　）

A．20B．9

C．C

D．C

C

＋C

C

3．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有（　　）

A．252种B．112种

C．20种D．56种

4．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．

5．如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有________种．

考点一

排列问题

【例1】　3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：

（1）选其中5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体站成一排，男、女各站在一起；

（4）全体站成一排，男生不能站在一起；

（5）全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．

本例中若全体站成一排，男生必须站在一起，有多少中排法？

—————

——————————————

解决排列类应用题的主要方法

（1）直接法：

把符合条件的排列数直接列式计算；

（2）特殊元素（或位置）优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；

（3）捆绑法：

相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；

（4）插空法：

不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；

（5）分排问题直排处理的方法；

（6）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；

（7）定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．

1．一位老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法（　　）

A．450　　　　　　　　B．460

C．480D．500

2．排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．

（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？

（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

考点二

组合问题

【例2】　要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？

（1）至少有1名女生入选；

（2）至多有2名女生入选；

（3）男生甲和女生乙入选；

（4）男生甲和女生乙不能同时入选；

（5）男生甲、女生乙至少有一个人入选．

—————

——————————————

组合两类问题的解法

（1）“含”与“不含”的问题：

“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

（2）“至少”、“最多”的问题：

解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．

3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（　　）

A．30种　　　　　　　　　　B．35种

C．42种D．48种

考点三

排列、组合的综合应用

【例3】有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列的选法数：

（1）有女生但人数必须少于男生；

（2）某女生一定担任语文科代表；

（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；

（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．

—————

——————————————

求解排列、组合综合题的一般思路

排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．

4．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全