222 事件的相互独立性.docx
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222事件的相互独立性
§2．2．2 事件的相互独立性
【学习要求】
1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．
2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
【重点、难点】
重点：
相互独立事件的含义．
难点：
相互独立事件概率的计算．
探究点一 相互独立事件的概念
问题1 3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A的发生是否会影响B发生的概率？
答 因抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立．
问题2 问题1中P（A）、P（B）及P（AB）有何关系？
总结相互独立事件的定义．
答 由条件概率公式知：
事件A发生的条件下，事件B发生的概率
，由于此时事件A的发生与事件B的发生互不影响，所以
，从而
，所以
．
小结：
相互独立事件的定义：
设A，B为两个事件，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立（即事件A的发生与事件B的发生互不影响）．
问题3独立事件的概率公式有何性质？
答 ①如果A与B相互独立，那么A与
B与
，
与
都是相互独立的．
②推广：
如果事件
相互独立，那么
．
探究点二 互斥事件与相互独立事件
问题1 互斥事件与相互独立事件有什么区别？
答 两个事件相互独立与互斥的区别：
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，其概率公式为P（A+B）＝P（A）+P（B）；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，其概率公式为P（AB）＝P（A）P（B）．
事件的相互独立性
（1）定义：
设A，B为两个事件，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．
（2）性质：
①如果A与B相互独立，那么A与
B与
，
与
都是相互独立的．
②推广：
如果事件
相互独立，那么
．
题型一相互独立事件概念的理解
例1
（1）甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：
“甲击中目标”，事件B：
“乙击中目标”，则事件A与事件B（ A ）
A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥
解析 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．
（2）掷一颗骰子一次，设事件A：
“出现偶数点”，事件B：
“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是（ B ）
A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥
解析 事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．
所以P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝＝×，即P（AB）＝P（A）P（B），因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．
小结 1．有三种方法判断两事件是否具有独立性
（1）定义法：
直接判定两个事件发生是否相互影响．
（2）公式法：
检验P（AB）＝P（A）P（B）是否成立．（3）条件概率法：
当P（A）>0时，可用P（B|A）＝P（B）判断．
2．互斥事件是指两个事件不可能同时发生，其概率公式为P（A+B）＝P（A）+P（B）．
3．对立事件是互斥事件的特例，反映事物的两面性，即A与
，其概率公式为
．
跟踪训练1 已知下列各对事件：
（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．今从甲、乙两组中各选一名同学参加游园活动．“从甲组中选出一名男生”与“从乙组中选出一名女生”．
（2）一盒内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．“从8个球中任取1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取1个，取出的仍是白球”．
（3）一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任取1个，取出的是苹果”与“取出第一个后放回筐内，再取1个是梨”．
其中为相互独立事件的有（ B ）
A．
（1）
（2）B．
（1）（3）C．
（2）D．
（2）（3）
2．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是（ D ）
A．互斥的事件B．相互独立的事件
C．对立的事件D．不相互独立的事件
解析 ∵P（A1）＝．若A1发生了，P（A2）＝＝；若A1不发生，P（A2）＝，即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，∴A1与A2不是相互独立事件．
题型二相互独立事件同时发生的概率
求解概率综合应用问题的流程
（1）确定基本事件并用字母表示．
（2）判断各事件的关系（互斥、对立、独立）．
（3）将各事件用基本事件的和或积表示．
（4）选择恰当的概率公式计算．
例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0．05，求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码；
（2）恰有一次抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定号码．
解 设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．
（1）由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0．05×0．05＝0．0025．
（2）“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A）∪（B）表示．由于事件A与B互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为
P（A）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＝0．05×（1－0．05）＋（1－0．05）×0．05＝0．095．
（3）方法一 “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB）∪（A）∪（B）表示．由于事件AB，A和B两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为P（AB）＋P（A）＋P（B）＝0．0025＋0．095＝0．0975．
小结 求P（AB）时注意事件A、B是否相互独立，求P（A＋B）时同样应注意事件A、B是否互斥，对于“至多”，“至少”型问题的解法有两种思路：
①是分类讨论；②是求对立事件，利用P（）＝1－P（A）来运算．
跟踪训练2 甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为、．求：
（1）两个人都译出密码的概率；
（2）两个人都译不出密码的概率；
（3）恰有一人译出密码的概率；（4）至多一人译出密码的概率；
（5）至少一人译出密码的概率；（6）此密码能译出的概率．
解 记事件A为“甲独立地译出密码”，事件B为“乙独立地译出密码”．
（1）两个人都译出密码的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝．
（2）两个人都译不出密码的概率为P（）＝P（）P（）＝[1－P（A）][1－P（B）]＝＝．
（3）恰有一人译出密码分为两类：
甲译出乙译不出；乙译出甲译不出，即A＋B，
∴P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＝×＋×＝．
（4）至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，∴1－P（AB）＝1－＝．
（5）至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，∴1－P（）＝1－＝．
题型三相互独立事件的分布列
例1甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响．
（1）至少有1人被录用的概率；
（2）被录用人数ξ的分布列及期望．
1．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：
两人面试都合格就一同签约．否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响，求：
（1）至少有1人面试合格的概率；
（2）签约人数ξ的分布列．
[解析] 用A、B、C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A、B、C相互独立，
且P（A）＝P（B）＝P（C）＝．
（1）至少有1人面试合格的概率是1－P（）＝1－P（）P（）P（）＝1－（）3＝．
（2）ξ的可能取值为0、1、2、3．
P（ξ＝0）＝P（B）＋P（C）＋P（）
＝P（）P（B）P（）＋P（）P（）P（C）＋P（）P（）P（）＝（）3＋（）3＋（）3＝．
P（ξ＝1）＝P（AC）＋P（AB）＋P（A）
＝P（A）P（）P（C）＋P（A）P（B）P（）＋P（A）P（）P（）＝（）3＋（）3＋（）3＝．
P（ξ＝2）＝P（BC）＝P（）P（B）P（C）＝．P（ξ＝3）＝P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）＝．
所以，ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
2． （2014·陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量（kg）
300
500
概率
0．5
0．5
作物市场价格（元/kg）
6
10
概率
0．4
0．6
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
思维点拨
（1）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；
（2）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．
解
（1）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，
由题设知P（A）＝0．5，P（B）＝0．4，∵利润＝产量×市场价格－成本．
∴X所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，
300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800．
则P（X＝4000）＝P（）P（）＝（1－0．5）×（1－0．4）＝0．3，
P（X＝2000）＝P（）P（B）＋P（A）P（）＝（1－0．5）×0．4＋0．5×（1－0．4）＝0．5，
P（X＝800）＝P（A）P（B）＝0．5×0．4＝0．2，
所以X的分布列为
X
800
2000
4000
P
0．2
0．5
0．3
（2）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i＝1,2,3），由题意知C1，C2，C3相互独立，由
（1）知，
P（Ci）＝P（X＝4000）＋P（X＝2000）＝0．3＋0．5＝0．8（i＝1,2,3），
3季的利润均不少于2000元的概率为P（C1C2C3）＝P（C1）P（C2）P（C3）＝0．83＝0．512；
3季中有2季的利润不少于2000元的概率为P（1C2C3）＋P（C1C3）＋P（C1C2）
＝3×0．82×0．2＝0．384，
所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0．512＋0．384＝0．896．
3． （2014·湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B．设甲、乙两组的研发相互独立．
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率．
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列及期望．
解 记E＝{甲组
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