第八章相量图及相量法求解电路.docx
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第八章相量图及相量法求解电路
第八章相量图和相量法求解电路
一、教课基本要求
1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、认识正弦电流电路的刹时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的
观点及表达形式。
3、娴熟掌握正弦电流电路的稳态剖析法。
4、认识正弦电流电路的串、并联谐振的观点，参数选定及应用状况。
5、掌握最大功率传输的观点，及在不一样状况下的最大传输条件。
二、教课要点与难点
1.教课要点：
（1）.正弦量和相量之间的关系；
（2）.正弦量的相量差和有效值的观点
（3）.R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式
（4）.电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量
形式。
2．教课难点：
1.正弦量与相量之间的联系和差别；
2.元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其余章节的联系：
本章是学习第9-12章的基础，一定娴熟掌握相量法的分析运算。
§复数
相量法是成立在用复数来表示正弦量的基
础上的，所以，一定掌握复数的四种表示形式及运算规则。
1.复数的四种表示形式
代数形式A=a+jb
复数的实部和虚部分别表示为：
Re[A]=a
Im[A]=b。
图为复数在复平面的表示。
图
依据图得复数的三角形式：
两种表示法的关系：
或
依据欧拉公式可将复数的三角形式变换为指数表示形式：
指数形式有时改写为极坐标形式：
注意：
要娴熟掌握复数的四种表示形式及互相变换关系，这对复数的运算特别重要。
2.复数的运算
（1）加减运算——采纳代数形式比较方便。
若
则
即复数的加、减运算知足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也能够在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得，以下图。
图
（2）乘除运算——采纳指数形式或极坐标形式比较方便。
若
则
即复数的乘法运算知足模相乘，辐角相加。
除法运算知足模相除，辐角相减，如图示。
图
图
（3）旋转因子：
由复数的乘除运算得随意复数A
时针旋转一个角度θ，而模不变，如图
乘或除复数
所示。
故把
，相当于A逆时针或顺
称为旋转因子。
当
当
故+j,–j,-1都能够当作旋转因子。
2.复数运算定理
定理1
式中K为实常数。
定理2
定理3若
则
例8-1计算复数解：
此题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式。
例8-2计算复数
解：
此题说明进行复数的乘除运算时应先把代数形式转为极坐标形式。
§正弦量
1.正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流统
称为正弦量，以电流为例，其刹时价表达式为（本书采纳cosine函数）：
波形如图所示。
图
注意：
激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或沟通电路。
研究正弦电路的意义：
（1）正弦电路在电力系统和电子技术领域据有十分重要的地位。
因为：
1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后还是同频次
的正弦函数；
2）正弦信号简单产生、传递和使用。
（2）正弦信号是一种基本信号，任何复杂的周期信号能够分解为按正弦规律变化的重量。
所以对正弦电路的剖析研究拥有重要的理讲价值和实质意义。
2.正弦量的三因素
（1）Im—幅值（振幅、最大值）：
反应正弦量变化过程中所能达到的最大幅度。
（2）ω—角频次：
为相位变化的速度，反应正弦量变化快慢。
它与周期和频次的关系为：
rad/s
（3）y—初相角：
反应正弦量的计时起点，常用角度表示。
需要注意的是：
1）计时起点不一样，初相位不一样，图给出了同一个正弦量在不一样计时起点
下初相位的取值。
2）一般规定初相位取主值范围，即|y|≤π。
3）假如余弦波的正最大值发生在计时起点以后，以下图，则初相位为负，
假如余弦波的正最大值发生在计时起点以前，则初相位为正。
4）对任一正弦量，初相能够随意指定，但同一电路中很多有关的正弦量只
能关于同一计时起点来确立各自的相位。
图图
3.相位差
相位差是用来描绘电路中两个同频正弦量之间相位关系的量。
设
则相位差为：
上式表示同频正弦量之间的相位差等于初相之差，往常相位差取主值范围，即：
|φ|≤π
假如上式中φ＞0，称u超前i，或i滞u，表示u比i先达到最大
值；
如图（a）所示。
如φ＜0，称i超前u，或u滞后i,表示i比u先达到最大值。
如φ=±p，称i与u反相，如图（b）所示；
如φ=0，称i与u同相，如图（c）所示。
图（a）（b）（c）
需要注意的是：
两个正弦量进行相位比较时应知足同频次、同函数、同符号，且在主值范围比较。
4.正弦电流、电压的有效值
周期性电流、电压的刹时价随时间而变，为了权衡其均匀效应，工程上采纳
有效值来表示。
周期电流、电压有效值的物理意义如图所示，经过比较直流电
流I和沟通电流i在相同时间T内流经同一电阻R产生的热效应，即令：
从中获取周期电流和与之相等的直流电流I之间的关系：
这个直流量I称为周期量的有效值。
有效值也称方均根值。
图
相同，可定义电压有效值：
设正弦电流
相应的有效值为：
因为
所以
即正弦电流的有效值与最大值知足关系：
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
若一沟通电压有效值为U=220V，则其最大值为Um≈311V；
需要注意的是：
（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设施铭牌额定值、电网的电压等级等。
但绝缘水平、耐压值指的是最大值。
所以，在考虑电器设施的耐压水平常应按最大值考虑。
（2）丈量中，沟通丈量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。
（3）划分电压、电流的刹时价i、u，最大值IMm、Um和有效值I、
U的符号。
例8-3已知正弦电流波形以下图，ω＝103rad/s，
（1）写出正弦i（t）表达式；
（2）求正弦电流最大值发生的时间t1
例8—3图
解：
依据图示可知电流的最大值为100A，t=0时电流为50A，所以有：
解得因为最大值发生在计时起点右边故取
所以
当时电流获得最大值，即：
例8-4计算以下两正弦量的相位差。
解：
（1）
转为主值范围：
说明i1滞后i2。
（2）先把i2变成余弦函数：
则
说明
i1
超前
i2
。
（3）因为两个正弦量的角频次
，故不可以比较相位差。
（4）
则
说明
i1
超前
i2
此题说明两个正弦量进行相位比较时应知足同频次、同函数、同符号，
且在主值范围比较。
§相量法的基础
正弦稳态线性电路中，和各支路的电压和电流响应与激励源是同频次的正弦量，所以应用基尔霍夫定理剖析正弦电路将碰到正弦量的相减运算和积分、微分运算，在时域进行这些运算十分复杂，经过借用复数表示正弦信号能够使正弦电路剖析获取简化。
1.正弦量的相量表示
构造一个复函数
对A（t）取实部得正弦电流：
上式表示关于随意一个正弦时间函数都有独一与其
对应的复数函数，即：
A（t）还能够写成
称复常数为正弦量i（t）对应的相量，它包
含了i（t）的两个因素I,Y。
随意一个正弦时间函数都有独一与其对应的相量，即：
注意：
相量的模为正弦量的有效值，相量的幅角为正弦量的初相位。
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
比如若已知正弦电流和电压分别为：
则对应的相量分别为：
若正弦电流的相量频率
则对应的正弦电流为：
2.相量图
在复平面上用向量表示相量的图称为相量图。
如已知相量
则对应的相量图如图所示。
辐角为零的相量称为参照相量。
图
3.相量法的应用
（1）同频次正弦量的加减
设
则
从上式得其相量关系为：
图
故同频正弦量相加减运算能够转变成对应相量的相加减运算，运算过程以下图。
（2）正弦量的微分、积分运算
设
则
即对应的相量为
而
即对应的相量为
以上式子说明正弦量的微分是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量量乘以，正弦量的积分也是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量
i的相
i的
相量除以。
比如图所示RLC串连电路，由KVL得电路方程为
依据正弦量与相量的关系得以上微积分方程对应的相量方程为：
图
所以引入相量的长处是：
（1）把时域问题变成复数问题；
（2）把微积分方程的运算变成复数方程运算；
需要注意的是：
1）相量法实质上是一种变换，经过把正弦量转变成相量，而把时域里正弦
稳态剖析问题转为频域里复数代数方程问题的剖析；
2）相量法只合用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
3）相量法用来剖析正弦稳态电路。
例8-5计算两正弦电压之和，已知：
解：
两正弦电压对应的相量为:
相量之和为：
所以
此题也可借助相量图计算，以以下图所示。
例8—5相量图
例8-6试判断以下表达式的正、误，并给出正确结果。
解：
（1）错，刹时式和相量混杂，正确写法为：
（2）错，刹时式不可以和相量相等，正确写法为：
（3）错，有效值和相量混杂，正确写法为：
（4）对
（5）错，感抗和容抗混杂，正确写法为：
（6）错，有效值和相量混杂，正确写法为：
（7）错，电容和电感的VCR混杂，正确写法为：
或
§电路定律的相量形式
1.电阻元件VCR的相量形式
设图（a）中流过电阻的电流为
则电阻电压为：
其相量形式：
图（a）
以上式子说明：
（1）电阻的电压相量和电流相量知足复数形式的欧姆定律：
，图（b）
为电阻的相量模型图。
图（b）
（2）电阻电压和电流的有效值也知足欧姆定律：
UR=RI
（3）电阻的电压和电流同相位，即：
ψu=ψi
电阻电压和电流的波
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