高考数学考点测试32数列求和.docx

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高考数学考点测试32数列求和

考点测试32　数列求和

一、基础小题

1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为（　　）

A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1

C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2

答案　C

解析　Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2．故选C．

2．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于（　　）

A．1B．C．D．

答案　B

解析　∵an＝－，

∴S5＝1－＋－＋…＋－＝．故选B．

3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝10a1，则＝（　　）

A．B．1C．D．2

答案　B

解析　由S4＝10a1得＝10a1，即d＝a1．所以＝1．故选B．

4．已知数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2a2，则（　　）

A．a1<0B．a1>0C．a1≠a2D．a2＝0

答案　D

解析　∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝2a2，当n＝1时，a1＝2a2，当n＝2时，a1＋a2＝2a2，∴a2＝0．故选D．

5．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a3＝8，则a1＝（　　）

A．B．C．64D．128

答案　B

解析　∵S3－S2＝a3，∴－＝8，

∴a1＝，故选B．

6．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S11＝（　　）

A．5B．6C．7D．8

答案　B

解析　由当n≥2时，an＋2Sn－1＝n得an＋1＋2Sn＝n＋1，上面两式相减得an＋1－an＋2an＝1，即an＋1＋an＝1，所以S11＝a1＋（a2＋a3）＋（a4＋a5）＋…＋（a10＋a11）＝5×1＋1＝6．故选B．

7．设Sn＝1－2＋3－4＋…＋（－1）n－1n，则S4m＋S2m＋1＋S2m＋3（m∈N*）的值为（　　）

A．0B．3

C．4D．随m的变化而变化

答案　B

解析　容易求得S2k＝－k，S2k＋1＝k＋1，所以S4m＋S2m＋1＋S2m＋3＝－2m＋m＋1＋m＋2＝3．故选B．

8．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为（　　）

A．6B．7C．8D．9

答案　C

解析　由题意知a6<0，a11>0，a1＋5d＝－a1－10d，a1＝－d，有Sn＝na1＋＝（n2－16n）＝[（n－8）2－64]，因为d>0，所以当n＝8时前n项和取最小值．故选C．

二、高考小题

9．（2017·全国卷Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：

已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N：

N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（　　）

A．440B．330C．220D．110

答案　A

解析　设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为．由题意知，N>100，令>100，解得n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后．

第n组的各项和为＝2n－1，前n组所有项的和为－n＝2n＋1－2－n．

设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则N－项的和即第n＋1组的前k项的和2k－1应与－2－n互为相反数，

即2k－1＝2＋n（k∈N*，n≥14），k＝log2（n＋3），∴n最小为29，此时k＝5．则N＝＋5＝440．故选A．

10．（2016·北京高考）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________．

答案　6

解析　设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝6，a3＋a5＝0，∴6＋2d＋6＋4d＝0，∴d＝－2，∴S6＝6×6＋×（－2）＝6．

11．（2017·全国卷Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________．

答案　

解析　设公差为d，则∴

∴an＝n．

∴前n项和Sn＝1＋2＋…＋n＝，

∴＝＝2－，

∴＝21－＋－＋…＋－＝21－＝2·＝．

12．（2015·全国卷Ⅱ）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．

答案　－

解析　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，

又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－＝1，

∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，

∴＝－1＋（n－1）×（－1）＝－n，∴Sn＝－．

13．（2018·江苏高考）已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为________．

答案　27

解析　设An＝2n－1，Bn＝2n，n∈N*，当Ak

l

Tl

n

an＋1

12an＋1

1

3

2

3

36

2

10

4

5

60

3

30

7

9

108

4

94

12

17

204

5

318

21

33

396

6

1150

38

65

780

观察到l＝5时，Tl＝S21<12a22，l＝6，Tl＝S38>12a39，则n∈[22，38），n∈N*时，存在n，使Sn≥12an＋1，此时T5＝A1＋A2＋…＋A16＋B1＋B2＋B3＋B4＋B5，则当n∈[22，38），n∈N*时，Sn＝T5＋＝n2－10n＋87．an＋1＝An＋1－5＝An－4，12an＋1＝12[2（n－4）－1]＝24n－108，Sn－12an＋1＝n2－34n＋195＝（n－17）2－94，则n≥27时，Sn－12an＋1>0，即nmin＝27．

三、模拟小题

14．（2018·福建厦门第一学期期末）已知数列{an}满足an＋1＋（－1）n＋1an＝2，则其前100项和为（　　）

A．250B．200C．150D．100

答案　D

解析　n＝2k（k∈N*）时，a2k＋1－a2k＝2，

n＝2k－1（k∈N*）时，a2k＋a2k－1＝2，

n＝2k＋1（k∈N*）时，a2k＋2＋a2k＋1＝2，∴a2k＋1＋a2k－1＝4，a2k＋2＋a2k＝0，∴{an}的前100项和＝（a1＋a3）＋…＋（a97＋a99）＋（a2＋a4）＋…＋（a98＋a100）＝25×4＋25×0＝100．故选D．

15．（2018·浙江模拟）已知数列{an}的通项公式为an＝则数列{3an＋n－7}的前2n项和的最小值为（　　）

A．－B．－C．－D．－

答案　D

解析　设bn＝3an＋n－7，{3an＋n－7}的前2n项和为S2n，则S2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝

3＋（1＋2＋3＋…＋2n）－14n＝91－n＋2n2－13n，又2n2－13n＝2n－2－，当n≥4时，f（n）＝2n－2－是关于n的增函数，又g（n）＝91－n也是关于n的增函数，∴S8

∴S6最小，S6＝－，故选D．

16．（2018·皖南八校第三次联考）已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1，bn＝log2（a·2an），数列{bn}的前n项和为Tn，则满足Tn>1024的最小n的值为________．

答案　9

解析　当n＝1时，a1＝4，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，

所以an＝所以bn＝

所以Tn＝

当n＝9时，T9＝210＋9×10＋2＝1116>1024；当n＝8时，T8＝29＋8×9＋2＝586<1024，所以满足Tn>1024的最小n的值为9．

17．（2018·江西南昌莲塘一中质检）函数f（x）＝，g（x）＝f（x－1）＋1，an＝g＋g＋g＋…＋g，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．

答案　an＝2n－1

解析　由题意知f（x）的定义域为R，

又f（－x）＝＝＝－f（x），

∴函数f（x）＝为奇函数，g（x）＋g（2－x）＝f（x－1）＋1＋f（2－x－1）＋1＝f（x－1）＋f（1－x）＋2，

由f（x）＝为奇函数，知f（x－1）＋f（1－x）＝0，

∴g（x）＋g（2－x）＝2．∵an＝g＋g＋g＋…＋g，n∈N*，①

∴an＝g＋g＋g＋…＋g，n∈N*，②

由①＋②得2an＝g＋g＋g＋g＋…＋g＋g＝（2n－1）×2，则数列{an}的通项公式为an＝2n－1．

18．（2018·洛阳质检）已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an．若a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn为________．

答案　3n－1

解析　∵a－6a＝an＋1an，∴（an＋1－3an）（an＋1＋2an）＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，∴{an}是公比为3的等比数列，∴Sn＝＝3n－1．

19．（2018·石家庄质检二）已知数列{an}的前n项和Sn＝－n，如果存在正整数n，使得（m－an）（m－an＋1）<0成立，那么实数m的取值范围是________．

答案　－，

解析　易得a1＝－，n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝－n－－n－1＝3×－n．则有a1

20．（2018·湖北八市3月联考）已知数列{an}的首项a1＝1，函数f（x）＝x4＋an＋1cos2x－（2an＋1）有唯一零点，则数列{n（an＋1）}的前n项和为________．

答案　（n－1）2n＋1＋2

解析　解法一：

显然f（x）为R上的偶函数，若其仅有一个零点，则f（0）＝0，即an＋1＝2an＋1，则an＋1＋1＝2（an＋1），从而{an＋1}是公比为2的等比数列，an＋1＝（1＋1）·2n－1，an＝2n－1（n∈N*）．从而n（an＋1）＝n·2n，设Tn＝1·21＋2·22＋…＋n·2n，2Tn＝1·22＋2·23＋…＋n·2n＋1，作差得－Tn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1，－Tn＝2（2n－1）－n·2n＋1，所以Tn＝2＋（n－1）2n＋1．

解法二：

显然f（x）为R上的偶函数，若其仅有一个零点，则f（0）＝0，即an＋1＝2an＋1，则an＋1＋1＝2（an＋1），从而{an＋1}是以2为公比的等比数列，an＋1＝（1＋1）2n－1，an＝2n－1（n∈N*）．从而n（an＋1）＝n·2n＝设Tn＝2＋23＋2·24－23＋3·25－2·24＋…＋（n－1）·2n＋1－（n－2）·2n，则Tn＝2＋（n－1）2n＋1．

一、高考大题

1．（2018·浙江高考）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1