线性代数期末复习课件(超全).ppt
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复习总结1.行列式的三种展开定义:
按行指标展开,按列指标展开,完全展开,复习总结性质性质性质性质1111行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.性质性质性质性质2222互换行列式的两行(列)互换行列式的两行(列),行列式变号行列式变号.推论推论如果行列式有两行(列)完全相同,如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零则此行列式为零.性质性质55若行列式的某一列(行)的元素都是两若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和数之和.性质性质把行列式的某一列(行)的各元素乘以把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去,行对应的元素上去,行列式不变列式不变计算行列式常用方法:
利用运算把行列式计算行列式常用方法:
利用运算把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值化为上三角形行列式,从而算得行列式的值复习总结定理定理行列式等于它的任一行(列)的各元素行列式等于它的任一行(列)的各元素与其与其对应的代数余子式对应的代数余子式乘积之和,即乘积之和,即行列式按行(列)展开法则行列式按行(列)展开法则(Laplace定理定理)性质性质奇数阶反对称行列式等于零奇数阶反对称行列式等于零性质性质范德蒙行列式的结构特点和结果范德蒙行列式的结构特点和结果复习总结例例矩阵的逆矩阵的逆复习总结性质性质矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换定理定理设设是一个是一个矩阵,对矩阵,对施行一施行一次初等行变换,相当于在次初等行变换,相当于在的左边乘以相应的的左边乘以相应的阶初等矩阵;对阶初等矩阵;对施行一次初等列变换,相当于施行一次初等列变换,相当于在在的右边乘以相应的的右边乘以相应的阶初等矩阵阶初等矩阵.矩阵的初等变换性质:
复习总结性质:
经过同样的行初等变换,从而,用矩阵乘法表示求矩阵逆的方法求矩阵的初等分解方法Gauss消去法消去法定理线性方程组有解自由未知量个数为Gauss消去法消去法推论若推论若向量的线性相关性定义定义则称向量组则称向量组是是线性相关线性相关的,否则称它线性无关的,否则称它线性无关
(1)只有只有时时,
(1)式成立)式成立线性无关的等价说法:
线性无关的等价说法:
或者
(1)式成立时,必有)式成立时,必有向量的线性相关性例含有零向量的向量组必线性相关.性质若向量组的一个部分组线性相关,则整个向量组也线性相关性质若向量组线性无关,则其任意部分组也线性无关例一个零向量形成的向量组是线性相关的,一个非零向量是线性无关的.向量的线性相关性根据定义,列出齐次线性方程组,由解的情况进行判断:
有唯一零解线性无关;有非零解线性相关;推论个维向量线性相关线性无关推论个维向量必线性相关推论设维向量组,若则线性相关向量的线性相关性向量组的秩满足如下条件:
(I)向量组
(2)线性无关;(II)向量组
(1)中每个向量都可由向量组
(2)线性表示.(即再添加任何一个向量都线性相关)则称向量组
(2)为
(1)的一个极大线性无关组.定义定义一个向量组中,它的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩.推论推论两个等价的向量组有相同的秩.向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系:
定义定义矩阵的行向量组的秩称为的行秩;的列向量组的秩称为的列秩.向量组的秩与矩阵的秩互相转化向量组与矩阵互相转化向量组的秩上述定理还提供了求向量组的秩的方法:
(1)将所给向量组中的各个向量作为矩阵的行向量(或列向量)得到矩阵;
(2)将矩阵施行初等变换化为如(7)形式的的矩阵.(3)观察(7)知,则即为所求向量组的秩.性质初等行(列)变换不改变矩阵的行秩,列秩以及矩阵的秩向量组的秩定理定理矩阵经初等行变换得矩阵,则与的行向量组等价,且与的列向量组具有相同的线性相关性.所以线性组合系数也相同的矩阵的初等变换:
线性表示,线性相关性,求矩阵、向量组的秩,求极大无关组,求线性表示系数,求线性方程组的解等等向量组的秩推论推论3给定则子空间定义为一个向量空间,向量满足
(1)线性无关;
(2)中任意一个向量都可由向量组线性表出.则向量组称为向量空间的一个基,称为向量空间的维数,也称为维向量空间.基的实质:
向量组的一个极大无关组线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构通解的向量表示形式线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构通解的向量形式线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构线性方程组解的结构
(1)写出系数矩阵及其增广矩阵;求解过程:
(2)初等行变换化增广矩阵为简化的阶梯型矩阵(4)写出对应的齐次导出组的基础解系;(3)写出原来的非齐次组的一个特解;(5)写出原来的非齐次组的一个通解。
复习总结第五章特征值特征向量矩阵特征值,特征向量的定义及实质矩阵相似的定义及相关性质相关性质相似对角化的条件,实对称矩阵特征值、特征向量的性质(3条)特征值,特征向量的具体求法实对称矩阵的正交相似对角化特征值的性质,与行列式、迹之间的关系复习总结第六章二次型二次型定义,其与矩阵元素之间的关系矩阵的合同关系,二次型的标准型,规范型复、实对称矩阵的合同(对角化)条件,正定矩阵的性质与判定定理:
四条二次型的规范形定理定理复数域上任意一个二次型都可以经可逆线性替换转化成唯一的规范形,即定理定理任意一个复对称矩阵都合同于一个形式为亦即推论推论复对称矩阵彼此合同的充要条件是它们的秩相同二次型的规范形定理定理实数域上任意一个二次型都可经可逆替换转化成唯一的规范形。
定义定义二次型的规范形中,正平方项的个数称之为二次型的正惯性指数;负平方项的个数称之为二次型的负惯性指数,他们的差称之为符号差当然,正负惯性指数之和等于矩阵的秩或者二次型的秩。
推论推论实对称矩阵彼此合同等价于它们的正负惯性指数是相同的常用解题思路常用解题思路利用向量空间的思想4.条件要求确定参数的取值,考虑是否有某行列式为零等等反之,向量组的求秩等运算也经常转化为矩阵之间的乘积运算线性代数的常用解题思路线性代数的常用解题思路例例1.1.设设且且满足满足证明:
证明:
分析:
分析:
如果将矩阵如果将矩阵看作列向量组,看作列向量组,即即那么它的每一列那么它的每一列都是线性方程组都是线性方程组的解的解.则则证:
证:
将矩阵将矩阵按列分块按列分块由由可知可知由此得到由此得到基础解系含有基础解系含有个向量,所以个向量,所以即即例例2.2.分析:
分析:
利用例利用例1的结果:
的结果:
再利用再利用证:
证:
又因为又因为所以有:
所以有:
即即综上所述,综上所述,Ch1.行列式行列式1.排列的逆序数排列的逆序数D=DT2.n阶行列式的定义、余子式、代数余子式阶行列式的定义、余子式、代数余子式3.行列式的性质行列式的性质初等变换的三种变换对行列式值的影响初等变换的三种变换对行列式值的影响行列式等于行列式等于00的判断条件的判断条件行列式的加法行列式的加法例例设二维列向量设二维列向量,已知,已知|A|=6,求解,求解|B|?
展开定理展开定理4.求解行列式求解行列式特殊行列式特殊行列式范德蒙行列式范德蒙行列式化三角形法(从上到下,从左到右)化三角形法(从上到下,从左到右)爪型行列式爪型行列式展开定理(针对含展开定理(针对含0较多的行列式)较多的行列式)递推法、数学归纳法递推法、数学归纳法解解Ch2、3.矩阵矩阵1.矩阵的定义矩阵的定义一些特殊的矩阵:
一些特殊的矩阵:
零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵对角阵、数量阵、单位阵2.矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵相等矩阵相等:
同型矩阵:
同型矩阵:
两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵同型,且对应元素相等两个矩阵同型,且对应元素相等矩阵加(减)法、数与矩阵相乘矩阵加(减)法、数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘:
矩阵与矩阵相乘:
乘法满足乘法满足矩阵乘法不满足:
矩阵乘法不满足:
交换律、消去律交换律、消去律A是是n阶方阵,阶方阵,方阵的幂:
方阵的幂:
方阵的多项式:
方阵的多项式:
并且并且(m,k为正整数)为正整数)方阵的行列式:
方阵的行列式:
满足满足:
转置矩阵转置矩阵:
一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵:
把矩阵把矩阵的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做新矩阵,叫做的转置矩阵,记作的转置矩阵,记作.满足:
满足:
对称矩阵和反对称矩阵:
对称矩阵和反对称矩阵:
幂等矩阵:
幂等矩阵:
为为n阶方阵,且阶方阵,且伴随矩阵:
伴随矩阵:
若若若若若若3.逆矩阵逆矩阵定义:
定义:
A为为n阶方阵,若存在阶方阵,若存在n阶方阵阶方阵,使得使得则称矩阵则称矩阵A是可逆的(非奇异的、非退化的、满秩的)是可逆的(非奇异的、非退化的、满秩的)矩阵矩阵B称为矩阵称为矩阵A的逆矩阵。
的逆矩阵。
唯一性:
唯一性:
若若A是可逆矩阵,则是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.判定定理判定定理:
n阶方阵阶方阵A可逆可逆且且推论:
推论:
设设A、B为同阶方阵,若为同阶方阵,若则则A、B都可逆,且都可逆,且满足规律:
满足规律:
逆矩阵求法:
逆矩阵求法:
(1)待定系数法待定系数法
(2)伴随矩阵法伴随矩阵法(3)初等变换法初等变换法分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似4.分块矩阵分块矩阵5.5.初等变换初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换对换变换、倍乘变换、倍加变换三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换初等变换矩阵的等价:
矩阵的等价:
如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵就称矩阵A与矩阵与矩阵B等价。
记作等价。
记作初等矩阵:
初等矩阵:
由单位矩阵由单位矩阵EE经过一次初等变换得到的方阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵称为初等矩阵.与矩阵的相似、合同相互比较与矩阵的相似、合同相互比较定理:
定理:
解矩阵方程的初等变换法解矩阵方程的初等变换法(A、B可逆可逆)矩阵方程矩阵方程解解、秩(、秩(A):
A的不等于的不等于0的子式的最高阶数。
的子式的最高阶数。
、秩的基本关系式:
、秩的基本关系式:
、关于秩的重要结论:
、关于秩的重要结论:
6、矩阵的秩、秩的求法:
、秩的求法:
1)初等变法:
)初等变法:
2)若)若P可逆,则可逆,则4)当当时,时,5)4)矩阵秩的等式的证明矩阵秩的等式的证明
(1)证)证思路思路
(2)证)证思路思路则则则则有有r阶子式不为阶子式不为0所有所有r+1阶子式全为阶子式全为0例如:
例如:
设设为为阶矩阵,阶矩阵,为为阶单位矩阵。
阶单位矩阵。
证明:
证明:
证:
证:
综上,综上,例题例题设设A、B都是都是n阶方阵,则阶方阵,则e解:
解:
R(A)=2一一.向量组的线性相关性向量组的线性相关性1.向量间的线性运算:
加法、数乘。
向量间的线性运算:
加法、数乘。
2.线性组合、线性表示线性组合、线性表示
(1)判断向量判断向量可由向量组可由向量组线性表示的常用方法线性表示的常用方法方法方法1:
只要证出只要证出就可得出就可得出ch4.向量组的线性相关性向量组的线性相关性
(2)在判断或证明中,常用到的两个重要结论在判断或证明中,常用到的两个重要结论结论结论1:
向量向量可由向量组可由向量组线性表示线性表示结论结论2:
若向量组若向量组线性无关,线性无关,而向量组而向量组线性相关,线性相关,则向量则向量必能由向量组必能由向量组线性表示,线性表示,且表示式唯一。
且表示式唯一。
方法方法2:
证下列非奇次线性方程组有解证下列非奇次线性方程组有解方法方法3:
利用矩阵的初等行变换利用矩阵的初等行变换行最简形矩阵行