学而思讲义四年级第14讲.长度与角度综合(竞赛班).pdf

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第十四讲第十四讲长度与角度综合长度与角度综合长度综合:

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三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。

即如图：

a+cb,a-cAB=AC+CB这说明点C是使折线ACB长度最短的点。

例6，如图POQ=30，A为OP上一点，B为OQ上一点，且OA=5,OB=12,在OB上取点A1,在AP上取点2A,求1122AAAAAB+的最小值。

【分析】【分析】固定点为A和B，动点为A1和A2.根据数感，给出5和12，能够猜到答案应该是13.这引导我们去构造直角。

同时，解决最基本的将军饮马问题，就是做固定点关于直线的对称点。

保留线段A1A2,做线段AA1关于直线OB的对称和线段A2B关于直线OP的对称。

连结AB于是1122AAAAAB+=1122ABAAAA+AB经过两次对称后，AOB=90OA=OA=5,OB=OB=12所以AB=13所以1122AAAAAB+的最小值为13.?

勾股定理：

直角三角形中，两直角边的平方和=斜边的平方ab22c+=2证明勾股定理的方法很多，比较著名的有赵爽玄图和总统定理。

（略）必须记住的三对：

3、4、5；5、12、13；7、24、25角度综合：

n边形内角和=（180正n边形内角=）2n（）2nn180n边形外角和=360必须记住的几个正多边形内角：

正三角形60度，正方形90度，正五边形108108度，正六边形120120度证明全等的方法：

边角边SAS角边角ASA角角边AAS边边边SSS几何构造的几大思路：

平移；平移；旋转旋转；对称；割补；对称；割补?

平移例4如图，对角线BD将矩形ABCD分割成两个三角形，AE和CF分别是两个三角形上的高，长度都等于6cm,EF的长度为5cm,求矩形ABCD的面积。

【分析】【分析】给出了5，还有两个6，出现12，数感启发我们如果存在直角三角形，斜边必为13.于是先要构造直角。

平移AE至GF.CG=12.连结AG,AG=EF=5.从而AC=13.BD=AC=13.所以1262ABCDAEBDS=1378?

旋转能做旋转的先决条件：

有相同的长度，有固定的角度。

有相同的长度，有固定的角度。

例7三角形ABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，P，Q为AB边上的两点。

又已知AP=3,BQ=4,PCQ=45,那么PQ=？

【分析】【分析】看到等腰直角三角形，存在相同的长度，又有固定的角度。

就该很敏感的想到可以做旋转。

将三角形APC旋转至三角形CBG,则CBG=A=45,则ABG=90,BG=AP=3,QB=4.所以QG=5。

PQ和QG什么关系？

通过证明三角形PCQ和三角形GCQ全等，（SAS）得到PQ=QG=5?

对称例3如图,ABC是等腰三角形，O位于ABC内，已知：

CAB=96,ABO=12,OAB=18,那么AOC=?

【分析】【分析】ABC是等腰三角形，很适合做对称。

而且CAB=96，当它扣除两个OAB时，会出现60。

做AOB关于中线对称，为ACD。

AO=ADOAB=CAD=18,于是0AD=96-18-18=60AO=AD，所以AOD为等边三角形。

在AOB中，AOB=180-12-18=150,对称之后，ADC=AOB=150。

所以ODC=360-150-60=150证明三角形ADC和三角形ODC全等。

（SAS）得DOC=CAD=18,所以AOC=60+18=78【学案1】【学案1】如图，图中的四边形ABCD中，AB=BC=CD,B=168,C=108,求D是多少？

【分析】【分析】看到C=108C=108，就该想到这是正五边形的内角。

于是做正五边形。

同时发现又出现了个等边三角形。

并且图形上下对称，从而D=1082=54