学而思讲义四年级第14讲.长度与角度综合(竞赛班).pdf

1、 第十四讲第十四讲 长度与角度综合长度与角度综合 长度综合:?三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。即如图：a+cb,a-cAB=AC+CB 这说明点 C 是使折线 ACB 长度最短的点。例 6，如图POQ=30，A 为 OP 上一点，B 为 OQ 上一点，且 OA=5,OB=12,在 OB 上取点A1,在 AP 上取点2A,求1122AAA AA B+的最小值。【分析】【分析】固定点为 A 和 B，动点为 A1 和 A2.根据数感，给出 5 和 12，能够猜到答案应该是 13.这引导我们去构造直角。同时，解决最基本的将军饮马问题，就是做固定点关于直线的对称点。保留线段 A1A2

2、,做线段 AA1 关于直线 OB 的对称和线段 A2B关于直线 OP 的对称。连结 AB 于是 1122AAA AA B+=11 22ABAA AA+AB 经过两次对称后，AOB=90OA=OA=5,OB=OB=12 所以 AB=13 所以1122AAA AA B+的最小值为 13.?勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和=斜边的平方 ab 22c+=2 证明勾股定理的方法很多，比较著名的有赵爽玄图和总统定理。（略）必须记住的三对：3、4、5 ；5、12、13；7、24、25 角度综合：n 边形内角和=(180 正 n 边形内角=)2n()2nn180 n 边形外角和=360 必须记住的几个

3、正多边形内角：正三角形 60 度，正方形 90 度，正五边形 108 108 度，正六边形 120120 度 证明全等的方法：边角边 SAS 角边角 ASA 角角边 AAS 边边边 SSS 几何构造的几大思路：平移；平移；旋转旋转；对称；割补；对称；割补?平移 例 4 如图，对角线 BD 将矩形 ABCD 分割成两个三角形，AE 和 CF 分别是两个三角形上的高，长度都等于 6cm,EF 的长度为 5cm,求矩形 ABCD 的面积。【分析】【分析】给出了 5，还有两个 6，出现 12，数感启发我们如果存在直角三角形，斜边必为 13.于是先要构造直角。平移 AE 至 GF.CG=12.连结 AG

4、,AG=EF=5.从而 AC=13.BD=AC=13.所以 1262ABCDAEBDS=1378?旋转 能做旋转的先决条件：有相同的长度，有固定的角度。有相同的长度，有固定的角度。例7 三角形 ABC 为等腰直角三角形，C 为直角顶点，P，Q 为 AB 边上的两点。又已知AP=3,BQ=4,PCQ=45,那么 PQ=？【分析】【分析】看到等腰直角三角形，存在相同的长度，又有固定的角度。就该很敏感的想到可以做旋转。将三角形 APC 旋转至三角形 CBG,则CBG=A=45,则ABG=90,BG=AP=3,QB=4.所以 QG=5。PQ 和 QG 什么关系？通过证明三角形 PCQ 和三角形 GCQ

5、 全等，(SAS)得到 PQ=QG=5?对称 例 3 如图,ABC 是等腰三角形，O 位于ABC 内，已知：CAB=96,ABO=12,OAB=18,那么AOC=?【分析】【分析】ABC 是等腰三角形，很适合做对称。而且CAB=96，当它扣除两个OAB 时，会出现 60。做AOB 关于中线对称，为ACD。AO=AD OAB=CAD=18,于是0AD=96-18-18=60AO=AD，所以AOD 为等边三角形。在AOB 中，AOB=180-12-18=150,对称之后，ADC=AOB=150。所以ODC=360-150-60=150 证明三角形 ADC 和三角形 ODC 全等。(SAS)得DOC=CAD=18,所以AOC=60+18=78 【学案1】【学案1】如图，图中的四边形 ABCD 中，AB=BC=CD,B=168,C=108,求D 是多少？【分析】【分析】看到C=108C=108，就该想到这是正五边形的内角。于是做正五边形。同时发现又出现了个等边三角形。并且图形上下对称，从而D=1082=54