胡杰导数极限论上.docx

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胡杰导数极限论上

第01讲导数极限论之基本功概述

（1）

【题型1两个及其重要不等式】

1.

（1）当x∈R时，求证：

ex≥1+x；

（2）当x>-1时，求证：

ln（1+x）≤x；

2.（2018全国1文）已知函数f（x）=aex-lnx-1．

（1）设x=2是f（x）的极值点．求a，并求f（x）的单调区间；

（2）证明：

当a≥1，f（x）≥0．

e

3.（2013全国2理）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）．

（1）设x=0是函数f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

（2）当m≤2时，证明：

f（x）>0．

4.已知函数f（x）=xex+lnx．

x

（1）求证：

函数f（x）有唯一零点；（分参）

（2）若∀x∈（0,+∞），xex-lnx≥1+ax恒成立，求a的取值范围．

【题型2含ex不等式升阶理论】

5.

（1）当x∈R时，求证：

ex≥ex；

（2）当x>0时，求证：

ex>x2；

xe22

（3）当x>0时，求证：

e

≥x；

xx43

（4）当x>0时，求证：

e>；

33

6.（2014年福建高考）已知函数f（x）=ex-ax的图像与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A点处的切线的斜率为-1，

（1）求a的值；

（2）证明当x>0时，x2

（3）证明：

对任意给定的正数c，总存在x，使得当x∈（x,+∞），恒有x2

00

【题型3含lnx不等式降阶理论】

7.

（1）当x>0时，求证：

lnx≤x；

e

（2）当x>0时，求证：

lnx

（3）当x>0时，求证：

lnx<2；

（4）当x>0时，求证：

lnx<33x；

8.已知函数f（x）=

x2

x+m

（m>0）

（1）若存在x>0使f（x）=xln（x+m），求实数m的取值范围；

（2）证明：

存在实数x0，当x>x0时，f（x）>2lnx；

【题型4含ex不等式反向理论】

9.

（1）当x<0时，求证：

ex<-1

（2）当x<1时，求证：

ex

x1

；

1-ex

（3）当x<2时，求证：

ex≤

；

2-x

10.（2016年全国乙卷）已知函数

（1）求a的取值范围；

f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点，（其中a>0）

【题型5含lnx不等式反向理论】

11.

（1）当x>0时，求证：

lnx>-1；

x1

（2）当x>0时，求证：

lnx>-2x2；

（3）当x>0时，求证：

lnx>1；

-1x

2

12.已知函数f（x）=ax-1-（a+1）lnx，若1

xe

第02讲导数极限论之基本功概述

（2）

【题型6泰勒中值定理的理论】

xx2

1.

（1）当x≥0时，求证：

e≥1+x+；

2x2

（2）当x≥0时，求证：

ln（1+x）≥x-；

x32

（3）已知x≥0，求证：

sinx≥x-；

x62

（4）已知x≥0，求证：

cosx≥1-.

2

2.

（1）（2015北京）已知函数f（x）=ln

1+x

1-x

，求证：

当x∈（0,1）时，f（x）>2⎛x+

⎝

x3⎫

⎪；

⎭

（2）（2016全国）证明当x>0时，（x-2）ex+x+2>0．

（3）已知x>0，求证：

ln

ex-1

x

>x.

2

3.已知函数f（x）=x+lnx与g（x）=3-2的图像在点（1,1）处有相同的切线，

x

（1）若函数y=2（x+n）与y=f（x）的图像有两个交点，求实数n的取值范围；

（2）设函数H（x）=f（x）-ln（ex-1），x∈（0,m），求证：

H（x）

4.已知函数f（x）=

ln（x-a）x

（1）若a=-1，证明：

函数f（x）是（0,+∞）上的减函数；

（2）若曲线y=f（x）在（1,f

（1））处的切线与直线x-y=0平行，求a的值；

（3）当x>0时，求证：

ln（x+1）

x

>ex-1.

5.已知函数f（x）=eax-1+ln（x+1）

（1）若函数f（x）在区间（-1,+∞）内单调递增，求a的取值范围；

（2）当00，求证：

f（x）>2ax（f（x）>f（ln（x+1）））

【题型7洛必达法则端点效应恒成立问题理论】

xx2

6.（2011长春模拟）已知函数f（x）=e

--ax-1，

2

（1）当a=0时,求曲线y=f（x）在（0,f（0））处的切线方程；

（2）当x≥0时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

7.（2010新课标全国理21）设函数f（x）=ex-1-x-ax2

（1）若a=0，求f（x）的单调区间；

（2）对∀x≥0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.

【题型7对数均值不等式与指数均值不等式】

8.

（1）若a>0，b>0，且a≠b，求证：

a+b

elnaa--eblnbea+e2b

（2）若a>0，b>0，且a≠b，求证：

e2

<<

a-b

.（指数平均不等式）

2

9.（2011年辽宁理科21）已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）设a>0，证明：

0f⎛1-x⎫；

aça

⎪ça⎪

⎝⎭⎝⎭

（3）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，

0

证明：

f'（x）<0.

10.（2018全国1）已知函数f（x）=1-x+alnx．

x

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x，x，证明：

f（x1）-f（x2）

x1-x2

11.（自编）已知函数f（x）=

1+ax2

ex

（a>0）

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x，x，记g（x）=x，证明：

g（x1）-g（x2）>e.

12f（x）

x1-x22a

xbex-1

第03讲利用导数证明函数不等式

1.（2014新课标1理21）设函数f（x）=aelnx+，曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的

x

切线为y=e（x-1）+2，

（1）求a,b；【答案：

a=1，b=2】

（2）证明：

f（x）>1.

2.已知函数f（x）=lnx+a（a>0）

x

（1）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；

（2）证明：

当a≥2，b>1时，f（lnb）>1.

eb

3.设函数f（x）=aex-xlnx，

（1）若f（x）是（0,+∞）上的增函数，求a的取值范围；

（2）若a≥

2，证明：

f（x）>0.

e2

4.已知f（x）=ex-ax2，曲线y=f（x）在（1,f

（1））处的切线方程为y=bx+1．

（1）求a，b的值；a=1，b=e-2

（2）求f（x）在[0,1]上的最大值；

（3）证明：

当x>0时，ex+（1-e）x-xlnx-1≥0．

5.已知函数f（x）=ex-alnx-a，其中常数a>0

（1）当a=e时，求函数f（x）的极值；

（2）若函数y=f（x）有两个零点x,x（0

1

<1

1212

（3）求证：

e2x-2-ex-1lnx-x≥0.

a12

6.

x

已知函数f（x）=lnx+k，曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线与x轴平行，

e

（1）求k的值；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）记g（x）=（x2+x）f'（x），证明：

对任意x>0，g（x）<1+e-2.

7.已知函数f（x）=e-x（lnx-2k），曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线与y轴垂直。

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）设g（x）=

1-x（lnx+1）

ex

，对任意x>0，证明：

（x+1）g（x）

x+ex-2.

8.已知函数f（x）=ln（x+1）-bx2+a-1，g（x）=（bx2-1）ex+1x+a，（a,b∈R）且f（x）

在点（1,f

（1））处的切线方程为y=-1

21

（1）求实数a,b的值；a=1，b=

2

（2）若x≥0，求证：

f（x）≤g（x）.

b

x+ln2，

9.已知函数f（x）=a+lnx，若曲线f（x）在点（e,f（e））处的切线与直线e2x-y+e=0垂

x

直，

（1）若f（x）在（m,m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；a=1

（2）求证：

当x>1时，

f（x）>

2ex-1

；

e+1（x+1）（x2e（xe+x1+）ex-1）

（3）求