胡杰导数极限论上.docx

1、胡杰导数极限论上第 01 讲 导数极限论之基本功概述（1）【题型 1 两个及其重要不等式】1. （1）当 x R 时，求证： ex 1+ x ；（2）当 x -1时，求证： ln (1+ x) x ；2.（2018 全国 1 文）已知函数 f (x) = aex - ln x -1 （1）设 x = 2 是 f (x) 的极值点求a ，并求 f (x) 的单调区间；（2）证明：当 a 1 ， f (x) 0 e3.（2013 全国 2 理）已知函数 f (x) = ex - ln (x + m) （1）设 x = 0 是函数 f (x) 的极值点，求 m ，并讨论 f (x) 的单调性；（2）

2、当m 2 时，证明： f (x) 0 4.已知函数 f (x) = xex + ln x x（1）求证：函数 f (x) 有唯一零点；（分参）（2）若x (0, +) ， xex - ln x 1+ ax 恒成立，求a 的取值范围【题型 2 含ex 不等式升阶理论】5.（1）当 x R 时，求证： ex ex ；（2）当 x 0 时，求证： ex x2 ；x e2 2（3）当 x 0 时，求证： e x ；x x43（4）当 x 0 时，求证： e ；336.（2014 年福建高考）已知函数 f (x) = ex - ax 的图像与 y 轴交于点 A ，曲线 y = f (x)在点 A 点处的

3、切线的斜率为-1 ，（1）求a 的值；（2）证明当 x 0 时， x2 ex ；（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在 x ，使得当 x (x , +) ，恒有 x2 0 时，求证： ln x x ；e（2）当 x 0 时，求证： ln x 0 时，求证： ln x 0 时，求证： ln x 0 ）（1）若存在 x 0 使 f (x) = x ln (x + m) ，求实数m 的取值范围；（2）证明：存在实数 x0 ，当 x x0 时， f (x) 2ln x ；【题型 4 含ex 不等式反向理论】9. （1）当 x 0 时，求证： ex -1（2）当 x 1 时，求证： exx1；1 -e

4、x（3）当 x 0 ）【题型 5 含ln x 不等式反向理论】11. （1）当 x 0 时，求证： ln x -1 ；x1（2）当 x 0 时，求证： ln x -2x2 ；（3）当 x 0 时，求证： ln x 1 ；-1 x212. 已知函数 f (x) = ax - 1 - (a +1)ln x ，若 1 a 2 x +x3 ；（2）（2016 全国）证明当 x 0 时， (x - 2)ex + x + 2 0 （3）已知 x 0 ，求证： lnex -1x x .23.已知函数 f (x) = x + ln x 与 g (x) = 3 - 2 的图像在点(1,1) 处有相同的切线，x（

5、1）若函数 y = 2(x + n) 与 y = f (x)的图像有两个交点，求实数n 的取值范围；（2）设函数 H (x) = f (x) - ln (ex -1)， x (0, m) ，求证： H (x) 0 时，求证：ln (x + 1)x ex -1 .5.已知函数 f (x) = eax -1+ ln (x +1)（1）若函数 f (x) 在区间(-1, +) 内单调递增，求a 的取值范围；（2）当0 0 ，求证： f (x) 2ax （ f (x) f (ln (x +1)）【题型 7 洛必达法则端点效应恒成立问题理论】x x26.（2011 长春模拟）已知函数 f (x) = e

6、- - ax -1，2（1）当a = 0 时,求曲线 y = f (x)在(0, f (0)处的切线方程；（2）当 x 0 时，若关于 x 的不等式 f (x) 0 恒成立，求实数a 的取值范围.7.（2010 新课标全国理 21）设函数 f (x) = ex -1- x - ax2（1）若a = 0 ，求 f (x) 的单调区间；（2）对x 0 ， f (x) 0 恒成立，求a 的取值范围.【题型 7 对数均值不等式与指数均值不等式】8. （1）若a 0 ， b 0 ，且a b ，求证： a - b 0 ， b 0 ，且a b ，求证： e 2 0 ，证明： 0 x f 1 - x ；a a

7、 a （3）若函数 y = f (x)的图像与 x 轴交于 A 、 B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0 ，0证明： f (x ) 0 .10. （2018 全国 1）已知函数 f (x) = 1 - x + a ln x x（1）讨论 f (x) 的单调性；（2）若 f (x) 存在两个极值点 x ， x ，证明： f (x1 ) - f (x2 ) 0 ）（1）讨论 f (x) 的单调性；（2）若 f (x) 存在两个极值点 x ， x ，记 g (x) = x ，证明： g (x1 ) - g (x2 ) e .1 2 f (x)x1 - x2 2ax bex-1第 03 讲 利用

8、导数证明函数不等式1.（2014 新课标 1 理 21）设函数 f (x) = ae ln x + ，曲线 y = f (x)在点(1, f (1) 处的x切线为 y = e(x -1) + 2 ，（1）求 a,b ；【答案： a = 1， b = 2 】（2）证明： f (x) 1 .2.已知函数 f (x) = ln x + a （ a 0 ）x（1）若函数 f (x) 有零点，求实数 a 的取值范围；（2）证明：当a 2 ， b 1 时， f (ln b) 1 .e b3.设函数 f (x) = aex - x ln x ，（1）若 f (x) 是(0, +) 上的增函数，求a 的取值范

9、围；（2）若a 2 ，证明： f (x) 0 .e24.已知 f (x) = ex - ax2 ，曲线 y = f (x)在(1, f (1) 处的切线方程为 y = bx +1 （1）求a ， b 的值； a = 1， b = e - 2（2）求 f (x) 在0,1 上的最大值；（3）证明：当 x 0 时， ex + (1- e)x - x ln x -1 0 5.已知函数 f (x) = ex - a ln x - a ，其中常数a 0（1）当a = e 时，求函数 f (x) 的极值；（2）若函数 y = f (x)有两个零点 x , x （ 0 x x ），求证： 1 x 1 x 0 ， g (x) 0 ，证明： (x +1) g (x) 1时， f ( x) 2ex-1；e + 1 (x + 1)(x2e(x e+x 1+)ex-1 )（3）求