考研数学真题数一及解析.docx
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考研数学真题数一及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题：
1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）当x?
0时，
f（）=x-sin
ax与g
（）=
（-bx）
x2ln1
等价无穷小，则（）
（A）
a=1,b=-
1
6
1
1
.（B）a=1,b=.
6
1
（C）a=-1,b=
6
.（D）a=-1,b=
6
.
【解析与点评】考点：
无穷小量比阶的概念与极限运算法则。
参见木艾迪考研数学春季基
础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例4.67，强化班教材《大学数学强
化299》16、17等例题。
【答案】A
lim
x-sinax
=
lim
x-sinax
=
lim
-aax
1cos
=
lim
a2
sin
ax
0x2
ln（1
-
bx）
0x2?
-
bx
-
bx
2
-
bx
x?
=lim
a2sinax
x?
a3
=-=1
（）
x?
0
3
x?
0
6
x?
0
6b
-?
ax
a
6b
a3=-6b意味选项
B，C错误。
再由lim
x?
0
=
-aax
1cos
-3bx2
-
存在，应有1acosax
?
0（
x
?
0），故
a=1
，D错误，所以选A。
（2）如图，正方形
{（）
yx=1,y=1}被其对角线划分为四个区域
（
DKk
=
）
1,2,3,4,I
K
=?
?
cos
yxdxdy
则
max{}
＝（
）
-1
D2
Y
DK
dD1
1
D4
1
=
1k=4
X
D3
-1
（A）I1（B）I2（C）I3（D）I4
【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
对称性与轮换对称
性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。
参见水木艾迪考研数学春季
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地址：
清华同方科技广场B座609室
2009考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班
教务电话：
62701055\82378805
教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民
班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大
学数学同步强化299》117题，以及《考研数学三十六技》例18-4。
D2,D4关于x轴对称，而-ycosx即被积函数是关于y的奇函数，所以
ycos（）
cos
即被积函数是关于x的
;
I2=I4=0D1,D3
两区域关于
I=
y轴对称，
?
?
x=yx
>，I=2
?
?
yxdxdy<
偶函数，由积分的保号性，1
2
ycosxdxdy
0
3
cos
0
所以正确答案为A。
{（）,yy=x,0=x=1}
{（）,yy=-x,0=x=1}
（3）设函数y=f（x）在区间[-1,3]上的图形为
f（x）
-2-10123x
-1
（）
则函数Fx=?
x（）
为
0
F（x）
F（x）
11
-20123x-20123
-1－1
（A）（B）
F（x）F（x）
11
x
-10123-20123
-1
（C）（D）
x
x
【解析与点评】考点：
函数与其变限积分函数的关系、函数与其导函数之间的关系，变限积
分函数的性质（两个基本定理），定积分的几何意义。
由y=f（）的图形可见，其图像与x
轴及y轴、x=0所围的图形的代数面积应为函数F（），由于f（x）有第一类间断点，F（）
只能为连续函数，不可导。
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x∈（-1,0）时，f（x）>0且为常数，应有F（）单调递增且为直线函数。
x∈（0,1）时，f（x）<0，F（）=0,
且单调递减。
x∈（1,2）时，f（x）>0，F（）单调递
增。
x∈（2,3）时，f（x）=0，F（）为常值函数。
正确选项为D。
【答案】D。
（4）设有两个数列{}{}anbn,若liman=0则（）
?
8
?
8
n?
8
8
8
（A）当
n=1
bn收敛时，
n=1
anbn收敛。
（B）当?
bn发散时，?
anbn发散。
n=1n=1
8
（C）当?
n=1
bn收敛时，
?
8
n=1
22
anbn收敛。
（D）当
?
8
n=1
bn发散时，
?
8
n=1
22
anbn发散。
【解析与点评】以下方法1是水木艾迪考生的首选方法。
（方法1）?
bn收敛，则limb=0，又lima=0
N
n>N时
bn<1
1
n=1
n?
8n
n?
8n
，必存在，使当
2
且
an<
2
（极限的有界性！
），an2bn2当?
bn收敛时，?
8
n=1n=1
22
anbn
收敛。
应选C。
参见水木艾迪春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义-----微积分》（清华大学出版
社）自测模拟题15.3，例15.4。
（）n
==1
（方法2）反例：
对A取ab
nn
1
，对B取
an=bn=1
，对D取
an=bn=1
。
n
n
1
1
n
R3
aaa
（5）设
a1,a2,a3是3维向量空间
的一组基，则由基
1
2
2
3
3
到基
a1+a2,a2+a3,a3+a1的过渡矩阵为（）
?
1
1
-
1?
?
1
-
1
1?
?
101?
?
120?
?
?
2
4
?
6?
?
?
2
2
?
2?
?
?
?
?
?
1
1
1?
?
1
1
1?
（A）?
220?
（B）?
023?
（C）?
-
?
（D）
?
-
?
?
?
?
?
2
4
6
4
4
4
?
033?
?
103?
?
1
?
-
1
1?
?
?
?
-
1
1
1?
?
1
1
?
2
4
6?
?
6
6
6?
aaa
【解析】由基
1
2
2
3
3
到a1+a2,a2+a3,a3+a1的过渡矩阵满足
?
101?
?
?
（a+
+
a
+a1）=?
?
a,
1
1
?
a?
?
220?
1a2a2a33
1
a23
?
2
3
?
?
?
所以此题选（A）。
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?
033?
3
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【点评】本题考查的主要知识点：
过渡矩阵。
（6）设A,B均为2阶矩阵，
?
OA?
A?
B?
分别为A,B的伴随矩阵，若A=2,B=3,则分块矩阵
?
?
?
B0?
?
?
的伴随矩阵为（）
?
O3B?
?
?
O
2B?
?
?
O
3A?
?
?
O
2A*?
（A）?
?
?
?
?
（B）?
?
?
?
?
（C）?
?
?
?
?
（D）?
*
?
?
2A
【答案】B
O?
?
3A
?
0A?
O?
0
?
2B
A
=
O?
×AB=
（-1）22
?
3BO?
=
2×36，即分块矩
【解析】由于分块矩阵
?
?
?
B
?
?
的行列式
0?
B
0
阵可逆，根据公式
C*=CC-1
?
1
*
?
?
0
A?
?
0
A?
0
A?
-1
?
0
B-1?
?
?
0
B
B?
?
?
?
?
?
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