苏教版七年级上册知识点整理.docx

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苏教版七年级上册知识点整理

《有理数》知识点总结归纳

正数和负数 

⒈正数和负数的概念 

负数：

比0小的数     正数：

比0大的数      0既不是正数，也不是负数 

注意：

①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：

带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量 

若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：

 零上8℃表示为：

+8℃；零下8℃表示为：

-8℃  

3.0表示的意义 

⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；

 ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

有理数 

1.有理数的概念 

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

 ⑵正分数和负分数统称为分数 

⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：

只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：

引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8„也是偶数，-1,-3,-5„也是奇数。

2.有理数的分类 

⑴按有理数的意义分类                     ⑵按正、负来分 

总结：

①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）      

 ②负整数、0统称为非正整数       

③正有理数、0统称为非负有理数       

④负有理数、0统称为非正有理数

数轴 

⒈数轴的概念 

规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：

⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；

⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；

⑶同一数轴上的单位长度要统一；

⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

 2.数轴上的点与有理数的关系 

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。

（如，数轴上的点π不是有理数）          

3.利用数轴表示两数大小 

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； 

⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； 

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数 

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；

⑵最小的正整数是1，无最大的正整数； 

⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数

5.a可以表示什么数 

⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；

 ⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0 

⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0  

6.数轴上点的移动规律 

根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

相反数 

⒈相反数 

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：

⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定 

⑴任何数都有相反数，且只有一个； 

⑵0的相反数是0； 

⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0

3.相反数的几何意义 

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。

0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。

 说明：

在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法 

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：

5的相反数是-5）； 

⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。

化简得-5a-b）；

⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简（如：

-5的相反数是-（-5），化简得5）  

5.相反数的表示方法 

⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数） 

当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数） 

当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）  

6.多重符号的化简 

多重符号的化简规律:

“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：

“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

绝对值 

⒈绝对值的几何定义 

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

2.绝对值的代数定义 

⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0.  

可用字母表示为：

①如果a>0，那么|a|=a；   ②如果a<0，那么|a|=-a；   ③如果a=0，那么|a|=0。

可归纳为①：

a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。

） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。

）  

3.绝对值的性质 

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。

所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。

即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：

a=0 <═> |a|=0； 

⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：

|a|≥0； 

⑶任何数的绝对值都不小于原数。

即：

|a|≥a； 

⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。

即：

若|x|=a（a>0），则x=±a； 

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。

即：

|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|； 

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。

即：

|a|=|b|，则a=b或a=-b；

⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。

即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。

 （非负数的常用性质：

若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） 

4.有理数大小的比较 

⑴利用数轴比较两个数的大小：

数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； 

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：

两个负数比较大小，绝对值大的反而小；

异号两数比较大小，正数大于负数。

5.绝对值的化简 

①当a≥0时， |a|=a ；     ②当a≤0时， |a|=-a   

6.已知一个数的绝对值，求这个数 

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。

有理数的加减法 

1.有理数的加法法则 

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 

⑶互为相反数的两数相加，和为零； 

⑷一个数与零相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律 

⑴加法交换律：

a+b=b+a 

⑵加法结合律：

（a+b）+c=a+（b+c） 

在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：

 ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；

②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； 

③分母相同的数先相加——“同分母结合法”； 

④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； 

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.加法性质 

一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。

即：

 ⑴当b>0时，a+b>a           ⑵当b<0时，a+b

4.有理数减法法则 

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

用字母表示为：

a-b=a+（-b）。

5.有理数加减法统一成加法的意义 

在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。

如：

 （-8）+（-7）+（-6）+（+5）=-8-7-6+5.

和式的读法：

①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和” 

②按运算意义读作“负8减7减6加5”

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：

有理数的乘除法 

1.有理数的乘法法则 

法则一：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 

法则二：

任何数同0相乘，都得0； 

法则三：

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； 

法则四：

几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.  

2.倒数 

注意：

①0没有倒数； 

②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； 

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。

3.有理数的乘法运算律 

⑴乘法交换律：

一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

即ab=ba 

⑵乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

即（ab）c=a（bc）. ⑶乘法分配律：

一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。

即a（b+c）=ab+ac

4.有理数的除法法则 

（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0  

5.有理数的乘除混合运算 

（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。

有理数的乘方 

1.乘方的概念 

求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在 na 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

2.乘方的性质 

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

有理数的混合运算 

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减； 

2.同级运算，从左到右进行； 

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

科学记数法 

把一个大于10的数表示成 na10的形式（其中101a， n是正整数），这种记数法是科学记数法。

用字母表示数

代数式 

代数式：

用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

单项式：

表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

单项式的系数