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数学的起源200

篇一：

第一章数学的起源

数学思想史

讲义

杜文久

西南大学数学与财经学院

绪论

1．数学史的意义

与其他学科相比，数学是一门累积性很强的科学。

重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论。

例如，数的理论的演进就表现出明显的累积性；在几何学中，非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广，溯源于初等代数的抽象代数并没有使前者被淘汰；同样现代分析中诸如函数、导数、积分等概念的推广均包含了古典定义作为其特例，?

。

可以说，在数学的进化过程中，几乎没有发生过彻底推翻前人建筑的情况。

如果我们对比天文学的“地心说”、物理学的“以太说”、化学的“燃素说”的命运，就可以看清数学发展不同于其他学科的这种特点。

因此有的数学史家认为“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏。

唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。

”这种看法形象地说明了数学这幢大厦的累积特性。

因此当我们为这幢大厦添砖加瓦时，有必要了解它的历史。

经过几千年的发展，现代数学已变成成一株茂密的大树，它包括了约60个二级学科，400多个三级学科，更细的分科已难以统计。

面对着如此庞大的知识系统，职业数学家越来越被限制于一、二个专门领域。

庞加莱（H.Poincare,1854—1912）曾经被称为“最后一位数学通才”。

虽然比他稍晚的希尔伯特（D.Hilbert，1862—1943）也跨越过众多的领域，但这样的数学家毕竟越来越难得了。

数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录。

数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，甚至会面临危机。

例如无理量的发展、微积分和非欧几何的创立，费马大定理的证明，?

?

等等，这样的例子在数学史上不胜枚举，它们可以帮助人们了解数学创造的真实过程，而这种过程在通常的教科书中是看不到的。

因此，可以说不了解数学史就不可能全面了解数学科学。

如果不去追溯自古希腊以来各个时代所发现与发展起来的（来自:

:

数学的起源200）概念、方法和结果，我们就不能理解前50年数学的目标，也不能理解它的成就。

因此，对于每一个希望了解整个人类文明史的人来说，数学史是必读的篇章。

数学史在整个人类文明史上的这种特殊地位，是由数学作为一种文化的特点决定的。

首先，数学以抽象的形式，追求高精确、可靠的知识。

抽象并非数学独有的特性，但抽象却是最为典型的特点。

数学的抽象在于数与形等原始概念的形成中已经体现出来，并且经过一系列阶段而到了远远超过其他知识领域的程度。

数学的抽象是舍弃了事物的其他一切方面的内容而仅保留某种关系或结构；同时，不仅数学的概念是抽象的，而且数学的方法也是抽象的。

从古希腊时代起，数学就使用一种特有的逻辑推理规则，来达到确定无疑的结论。

这种推理方式具有这样的严密性，对于每个懂得它的人来说都是无可争辩的，因而其结论也是无可争辩的。

这种推理模式赋予数学以其他科学不能比拟的精确性，成为人类思维方法的一种典范，并日益渗透到其他知识领域，此乃数学影响于人类文化的突出方面之一。

与抽象性相联系的数学的另一个特点是数学追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。

这种倾向在数学的早期发展中亦已表现出来。

二分之一高乘底的面积公式，它适用于一切三角形。

正是这种追求一般性模式的倾向，使数学具有了广泛的适用性。

还没有那一门学科在广泛应用上能与数学相比。

数学越来越成为一种普遍的科学语言与工具，在推动其他科学和整个文化的进步起着不可替代的巨大作用。

最后，数学作为一种创造性活动，还具有艺术的特征，这就是对美的追求。

英国数学家和哲学家罗素（B.Russell，1872—1970）说过：

“数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美——一种冷峻严肃的美，即就像是一尊雕像，?

?

这种美没有绘画或音乐那样华丽的装饰，它可以纯洁崇高的程度，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境界”。

罗素说到的是一种形式高度抽象的美，即逻辑形式与结构的完美。

2．什么是数学——历史的理解

公元前6世纪前，数学主要是关于“数”的研究。

这一时期在古埃及、巴比伦、印度与中国等地区发展起来的数学，主要是计数、初等算术与算法，几何学则可以看作是应用算术。

从公元前6世纪开始。

希腊数学的兴起，突出了对“形”的研究。

数学于是成为关于数与形的研究。

从那时起直到17世纪，数学的对象没有本质的变化。

希腊人主要对几何感兴趣，他们也研究数，但却与他们的埃及、巴比伦前辈相反，将数放在几何形式下去考察（只有少数例外如较晚的丢番图）。

尽管如此，公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德仍将数学定义为：

“数学是量的科学”。

其中“量”的涵义是模糊的，显然不能单纯理解为“数量”。

在17世纪，笛卡尔认为：

“凡是以研究顺序（order）和度量（measure）为目的的科学都是与数学有关的”。

在笛卡尔的时代，数学发生了重大的转折。

整个17、18世纪，数学家们关注的焦点是运动与变化。

牛顿与莱布尼茨制定的微积分本质上是运动与变化的科学，它使科学家们能够从数学上研究行星运动、机械运动、流体运动、动植物生长，?

?

等等。

因此，在牛顿与莱布尼茨以后，数学成为研究数、形以及运动与变化的学问。

当然，运动与变化的数学描述仍然离不开数与形。

因此在19世纪恩格斯还是这样来论述数学的本质：

“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系”。

根据恩格斯的论述，数学可以定义为：

“数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学”。

然而就在恩格斯的时代，数学又开始发生本质的变化。

19世纪的数学家对数学本身的兴趣空前增长。

也就是说，除了现实世界的材料，他们更多地关注数学内部的需要。

抽象数学、非欧几何以及严格化的分析都是这类内部需要的产物。

因此，从19世纪特别是后期开始，数学成为研究数与形、运动与变化，以及研究数学自身的学问。

这种以数学自身为目的的倾向，也就是现代意义下的纯粹数学的倾向，按照罗素的见解，是19世纪数学的主要功绩。

这促使人们对数学的本质进行新的思考。

在19世纪晚期，集合论的创始人康托尔（G.Cantor，1845—1918）曾经提出：

“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维。

就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系”。

而罗素则在20世纪初对数学下了一个定义：

“纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对同样这些事物也成立。

这里即不管第一个命题是否确实成立，也不管使命题成立的那些事物究竟是什么，?

?

。

只要我们的假定是关于一般的事物，而不是某些特殊的事物，那么我们的推理就构成为数学。

这样，数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确”。

罗素的说法从极端的角度强调了数学的自身需要与逻辑方面，它尽管很有名，但却很难被接受为数学的客观定义。

20世纪50年代，前苏联一批有影响的数学家试图修正前面提到

的恩格斯的定义来概括现代数学发展的特征：

“现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学”。

这一定义不再区分“数”与“形”，可以说又回到了亚里士多德对数学的定义：

它不仅包括现实世界的各种空间形式与数量关系，而且包括了一切可能的空间形式与数量关系。

“[数学]这个领域已被称作模式的科学（scienceofpattern），其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性”。

这一定义实际上是用“模式”代替“量”，而所谓的“模式”有着极广泛的内涵，包括了数的模式，形的模式，运动与变化的模式，推理与通信的模式，行为的模式，?

?

。

这些模式可以是现实的，也可以是想象的；可以是定量的，也可以是定性的。

数学的这一新定义，以其高度的概括性，已日益引起关注并获得大多数数学家的认同与接受。

3．关于数学史的分期

对数学史作出如下的分期：

Ⅰ．数学的起源与早期发展（公元前6世纪前）

Ⅱ．初等数学时期（公元前6世纪—16世纪）

（1）古代希腊数学（公元前6世纪—6世纪）

（2）中世纪东方数学（3世纪—15世纪）

（3）欧洲文艺复兴时期（15世纪—16世纪）

Ⅲ．近代数学时期（或称变量数学建立时期，17世纪—18世纪）

Ⅳ．现代数学时期（1820—现在）

（1）现代数学酝酿时期（1820—1870）

（2）现代数学形成时期（1870—1940）

（3）现代数学繁荣时期（或换当代数学时期，1950—现在）

第一章数学的起源

数学是从那里来的？

它又将走向何方？

了解这一点对每一个数学工作者来说，都是十分重要的，因为只有了解了数学的来龙去脉，我们才能更好地掌握数学的未来。

英国科学史家丹皮尔（W.C.Dampier）曾经说过：

“再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了”。

数学是历史最悠久的人类知识领域之一，从远古屈指计数到现代化高速电子计算机的发明；从量地测天到抽象严密的公理化体系，在五千余年的数学历史长河中，重大数学思想的诞生与发展，构成了科学史上最富有理性魅力的题材。

学习数学史无论对于深刻认识作为科学的数学本身，还是全面了解整个人类文明的发展都具有重要意义。

第一节．数的概念的产生

数的概念是从何时开始产生的，现在已经无法考证了，但可以肯定的是，早在现代文明建立起以前，人类就已经有数的概念了。

据考证，在人类的早期，人类对数的认识只有1和多这两个概念，而没有1，2，3，4等等这样的概念。

例如今天在非洲的一些原始部落，在人们的心中，就只有1和多，而没有其他的数的概念。

新生的婴儿只能区分一和多，而不能区分二和三等概念。

澳洲的一些土著居民能区分1，2，3，4，但更多的数也就不能认识了。

不但人有数的概念，一些动物也有数的概念，一个人类学家曾经记载了这样一个故事：

一个田主发现在他的了望楼上，有一只乌鸦在筑巢，他恨死了这只乌鸦，决定要打死它。

但每当他走进了望楼时，乌鸦就飞走了。

它在远远的一棵树上站着，一直等到田主离开了望楼以后才飞回来。

田主对此毫无办法。

后来，田主经过苦思幂想，终于思得一计。

第二天，两个人走进了了望楼，但一个人出来，田主藏在了了望楼然里。

然而，聪明的乌鸦识破了田主的阴谋诡计，它知道进去的是两个人，走了一个人，还剩一个人。

它没有上田主的当，一直等到田主离开以后才飞回来。

这说明乌鸦能区分1和2。

田主的阴谋失败了。

田主一计不成，又生一计。

第三天，三个人走进了望楼，两个人出来。

然而聪明的乌鸦仍然识破了田主的诡计，它知道进去的是三个人，走了两个，还剩一个。

这表明乌鸦能分辨二和三。

第四天，四个人进去，走三个，但乌鸦仍未上当，它能够分辨三和四。

第五天，五个人进去，走四个。

这一次，乌鸦上当了，它分不清4和5，结果被田主打死了。

这个例子表明，乌鸦能够分清1，2，3，4。

但大于4的数它就分不清了。

这个例子说明，在对数的原始概念的认识上面，人类并不比动物高明。

随着人类社会实践的不断发展，人们对数的概念的认识也逐渐发展起来。

历史考证表明，古人是通过结绳来记数的。

中国的一本古书《周易，系词传》上写到：

“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”。

就是说，在上古时期，人们是利用结绳记数来治理国家，而后代的圣人则利用书写的方式来治理国家。

结绳记数法相当于我们现在的一一对应。

比如，为了记住羊圈内羊的只数，古人用的方法是圈进一只羊在绳上打一个节。

当把羊圈进完后，绳上节的个数就等于圈内羊的个数。

在我国新疆的一些地区，至今仍保持着这一习惯。

有的地区用小石子或是木条上刻痕来进行记数。

在原始社会时期，由于生产力的发展，人们手上有了剩余产品，需要进行交换。