中考复习专题中考数学一元二次方程及其应用.docx

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中考复习专题中考数学一元二次方程及其应用

第二单元方程（组）与不等式（组）

第八课时一元二次方程及其应用

基础达标训练

1.（2017广东省卷）如果2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，则常数k的值为（　　）

A.1　　　B.2　　　C.－1　　　D.－2

2.（2017舟山）用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是（　　）

A.（x＋2）2＝2B.（x＋1）2＝2

C.（x＋2）2＝3D.（x＋1）2＝3

3.（2017扬州）一元二次方程x2－7x－2＝0的实数根的情况是（　　）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.不能确定

4.（2017江西）已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两个根为x1、x2，下列结论正确的是（　　）

A.x2＋x2＝－

B.x1·x2＝1

C.x1，x2都是有理数D.x1，x2都是正数

5.（2017呼和浩特）关于x的一元二次方程x2＋（a2－2a）x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为（　　）

A.2B.0C.1D.2或0

6.（2017绵阳）关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则nm的值为（　　）

A.－8B.8C.16D.－16

7.（2017杭州）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（　　）

A.10.8（1＋x）＝16.8

B.16.8（1－x）＝10.8

C.10.8（1＋x）2＝16.8

D.10.8[（1＋x）＋（1＋x）2]＝16.8

8.（2017兰州）王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，

　第8题图

准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体工具箱，根据题意可列方程为（　　）

A.（80－x）（70－x）＝3000

B.80×70－4x2＝3000

C.（80－2x）（70－2x）＝3000

D.80×70－4x2－（70＋80）x＝3000

9.（2017德州）方程3x（x－1）＝2（x－1）的根为________．

10.（2017菏泽）关于x的一元二次方程（k－1）x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，则k的值是________．

11.（2017甘肃省卷）若关于x的一元二次方程（k－1）x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．

12.（2017南京）已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和－1，则p＝________，q＝________．

13.（5分）（2017丽水）解方程：

（x－3）（x－1）＝3.

14.（5分）（2017兰州）解方程：

2x2－4x－1＝0.

15.（8分）（2017黄冈）已知关于x的一元二次方程x2＋（2k＋1）x＋k2＝0①有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1，求x

＋x

的值．

16.

（8分）（2017烟台）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动．现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．

（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；

（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：

试问去哪个商场购买足球更优惠？

15.（8分）（2017黄冈）已知关于x的一元二次方程x2＋（2k＋1）x＋k2＝0①有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1，求x

＋x

的值．

16.（8分）（2017烟台）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动．现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．

（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；

（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：

试问去哪个商场购买足球更优惠？

1.（2017温州）我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3.现给出另一个方程（2x＋3）2＋2（2x＋3）－3＝0，它的解是（　　）

A.x1＝1，x2＝3B.x1＝1，x2＝－3

C.x1＝－1，x2＝3D.x1＝－1，x2＝－3

2.定义：

如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐方程”又是“美好”方程，则下列结论正确的是（　　）

A.方程有两个相等的实数根

B.方程有一根等于0

C.方程两根之和等于0

D.方程两根之积等于0

3.（6分）（2017湘潭）由多项式乘法：

（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：

x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）．

示例：

分解因式：

x2＋5x＋6＝x2＋（2＋3）x＋2×3＝（x＋2）（x＋3）

（1）尝试：

分解因式：

x2＋6x＋8＝（x＋____）（x＋____）；

（2）应用：

请用上述方法解方程：

x2－3x－4＝0.

4.（8分）（2017杭州）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.

（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y；

①求y关于x的函数表达式；

②当y≥3时，求x的取值范围；

（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10.你认为圆圆和方方的说法对吗？

为什么？

5.（8分）（2017麓山国际实验学校三模）已知，关于x的一元二次方程m2x2＋（2m＋1）x＋1＝0的两个实数根为x1、x2.

（1）若方程的一个根是－1，求m的值；

（2）若y＝（x1＋2）（x2＋2），试求出y与m的函数关系式以及m的取值范围．

拓展培优训练

1.已知b2－4ac是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个实数根，则ab的取值范围为（　　）

A.ab≥

B.ab≤

C.ab≥

D.ab≤

2.（9分）已知关于x的一元二次方程（6－k）（9－k）x2－（117－15k）x＋54＝0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值．

答案

1.B　2.B　3.A　4.D　

5.B　【解析】∵方程两根互为相反数，∴x1＋x2＝2a－a2＝0，故a＝2或0，当a＝2时，方程为x2＋1＝0根的判别式b2－4ac＝－4＜0，方程无实数解，不合题意，舍去，故a的值为0.

6.C　【解析】∵方程2x2＋mx＋n＝0的两根分别为－2，1，由根与系数关系可知－

＝－1，

＝－2，解得m＝2，n＝－4，∴nm＝（－4）2＝16.

7.C　【解析】∵设平均年增长率为x，2014年为10.8万人次，则2015年为10.8（1＋x）万人次，2016年为10.8（1＋x）2万人次，∴根据题意得，10.8（1＋x）2＝16.8.

8.C　【解析】无盖长方体工具箱底面矩形的长为（80－2x）cm，宽为（70－2x）cm，∴面积为（80－2x）（70－2x）＝3000.

9.x1＝

，x2＝1

10.0　【解析】根据一元二次方程可得，k－1≠0，即k≠1，将x＝0代入原方程得k2－k＝0，即k（k－1）＝0，解得k＝0或k＝1，∵k≠1，∴k＝0.

11.k≤5且k≠1　【解析】∵一元二次方程（k－1）x2＋4x＋1＝0有实数根，∴

，即

，解得k≤5且k≠1.

12.4，3　

13.解：

去括号，得x2－4x＋3＝3，

移项合并，得x2－4x＝0，

因式分解，得x（x－4）＝0，

解得x1＝0，x2＝4.

14.解：

化简，得x2－2x＝

，

配方，得（x－1）2＝

，

解得x1＝1－

，x2＝1＋

.

15.解：

（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴b2－4ac＝（2k＋1）2－4×1×k2＞0，

解得k>－

；

（2）当k＝1时，有x2＋3x＋1＝0，

∵x1，x2是方程的根，

∴x1＋x2＝－3，x1x2＝1，

∴x

＋x

＝（x1＋x2）2－2x1x2＝7.

16.解：

（1）设足球单价平均每年降低的百分率为x，依题意得：

200（1－x）2＝162，

解得x1＝1.9（舍去），x2＝0.1＝10%，

答：

足球单价平均每年降低的百分率为10%；

（2）B商场更优惠，理由如下：

∵A商场买十送一，

∴可以买91个足球，送9个足球，正好100个，所需钱数为162×91＝14742（元），

∵B商场全场九折，

∴所需钱数为162×0.9×100＝14580（元），

∴去B商场购买更优惠．

能力提升训练

1.D　【解析】令y＝2x＋3，则原方程变形为y2＋2y－3＝0，解得y1＝1，y2＝－3，∴2x＋3＝1或2x＋3＝－3，解得x1＝－1，x2＝－3.

2.C　【解析】∵把x＝1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a＋b＋c＝0，把x＝－1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a－b＋c＝0，∴方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个根x1＝1和x2＝－1，∴x1＋x2＝0.

3.解：

（1）2，4（或4，2）；

（2）x2－3x－4＝（x－4）（x＋1）＝0，

解得x1＝4，x2＝－1.

4.解：

（1）①由题意得，1×3＝xy，

∴y关于x的函数表达式为y＝

（x>0）；

②∵已知y≥3，

∴

≥3，即x≤1，

∴0

∴x的取值范围是0

（2）圆圆的说法不对，方方的说法对．

理由如下：

∵圆圆说矩形的周长为6，

∴x＋y＝3，

∴x＋

＝3，化简得，x2－3x＋3＝0，

∴b2－4ac＝（－3）2－4×1×3＝－3<0，

∴方程没有实数根，

∴圆圆的说法不对；

∵方方说矩形的周长为10，

∴x＋y＝5，

∴x＋

＝5，

化简得，x2－5x＋3＝0，

∴b2－4ac＝（－5）2－4×1×3＝13>0，

∴矩形周长可能为10，

∴方方的说法对．

5.解：

（1）把x＝－1代入关于x的一元二次方程m2x2＋（2m＋1）x＋1＝0，得

m2－2m－1＋1＝0，

解得m1＝0，m2＝2，

∵方程是一元二次方程，

∴m≠0，即m＝2；

（2）∵x1、x2是方程m2x2＋（2m＋1）x＋1＝0的两个实数根，

∴x1＋x2＝－

，x1·x2＝

，

∴y＝（x1＋2）（x2＋2）＝x1x2＋2（x1＋x2）＋4＝

，

∵方程有两个实数根，

∴b2－4ac＝（2m＋1）2－4m2＝4m＋1≥0，

∴m≥－

，

∴m的取值范围是m≥－

且m≠0.

拓展培优训练

1.B　【解析】∵方程有实数根，∴b2－4ac≥0.由题意有

＝b2－4ac或者

＝b2－4ac，令u＝

，则2au2－u＋b＝0或2au2＋u＋b＝0，∵u＝

是方程的实数根，∴方程的判别式非负，即1－8ab≥0，∴ab≤

.

2.解：

原方程可化为[（6