4332
ZBAC=120。
，AABC所在平面a外一点P到点A、B、C的距离
）
D・13
10・在一个45。
的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45。
，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为（）
A.30°B.45°C.60°D.90°s
11.如图,E,F分别是正方形SD1DD2的边D（D,DD2的中点，沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使DnD,D2重合，记作D.给出下列位萱关系:
①SD丄面DEF;②SE丄面DEF;
③DF±SE;④EF丄面SED,其中成立的有：
（）
A.①与②B.①与③C.②与③D.③与④
12.菜地球仪的北纬60度圈的周长为6/rcm,则地球仪的表面积为（）
A.24^cm2B.48^cm2C.144>rcm2D.288^cm2
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.直二面角a-MN-3中，等腰直角三角形ABC的斜边BCu
ACuB,BC与B所成角的正弦值是空，则AB与B所成角
14.如图在底面边长为2的正三棱锥V-ABC中,E
积是扌，则侧棱VA与底面所成角的大小为
15.如图，已知矩形ABCD中，AB=\,BC=ci9
若在BC上只有一个点0满足P0丄0D,则"
D
是BC中点，若AVAE的面
P4丄面ABCD。
的值等于・
16.六棱锥P-ABCDEF中，底面ABCDEF是正六边形,ABCDEF,给出下列四个命题
1线段PC的长是点P到线段CD的距离；
2异面直线PB与EF所成角是ZPBC；
3线段AD的长是直线CD与平面PAF的距离；
4ZPEA是二面角P—DE—A平面角。
其中所有真命题的序号是°
三•解答题：
（共74分，写出必要的解答过程）
17.（本小题满分10分）
如图，已知直棱柱ABC-A.B,G中，
ZACB=90°,ABAC=30°,BC=\,
CC,的中点。
求证：
AB】丄RM
PA丄底面
A
州
A4,=5/6,M是
18.（本小题满分I2分）
如图，在矩形ABCD中，AB=3氐BC=V3,沿对角线3Q将ABCD折起，使点C移到P点，且P
在平面A3D上的射影O恰好在AB上。
（1）求证：
PB丄面PAD；
（2）求点A到平面PBD的距离；
19・（本小题满分12分）
如图，已知QA丄面ABC.AD丄3C,垂足£＞在BC的延长线上，且BC=CD=DA=\
（1）记PD=xyABPC=0^把tan&表示成x的函数，并求其最大值.
（2）在直线必上是否存在点0,使得ZBQC>ABAC
20.（本小题满分12分）
正三棱锥V-ABC的底面边长是a,侧面与底面成60°的二面角。
求
（1）棱锥的侧棱长；
（2）侧棱与底面所成的角的正切值。
21.（本小题满分14分）
已知正三棱柱A的底面边长为8,面的对角线B|C=IO,D为AC的中点，
（1）求证：
AB,//平面GBD;
（2）求异面直线AB|与BG所成角的余弦值；
（3）求直线AB|到平面GBD的距离。
22.（本小题满分I4分）
已知A|BiC（-ABC为直三棱柱，D为AC中点，0为BC中点，E在C&上，
ZACB=90°,AC=BC=CE=2,AA,=6.
（1）证明平面BDE//AO；
（2）求二面角A-EB-D的大小;
（3）求三棱锥O-AAtD体积.
立测试001
答案
一・选择题：
（每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
B
D
B
C
C
A
A
B
C
二.填空题：
（每题4分，共16分）
13.60°14.arctan—
4
15.216.Q）④
3.解答题：
（共74分，写出必要的解答过程）
17.（10分）解：
【法一】ZACB=90°^>B}G丄又三棱柱ABC-A^C,是直三棱柱,所以丄面A,C,连结则4G是在面A|C上的射影
在四边形A4GC中，旦=也=迈，且ZA4G=0GM=兰,
AC】CM2
A/LAjCj〜AACM,AC}丄A{M:
.丄
【法二】以G坊为x轴，为y轴，GC为z轴建立空间直角坐标系由BC=\,A41=V6,ZACB=9O°,ABAC=30°,易得A（0,J5,0）,A（0,JJ,A）,M（0,0,f）,目（1,0,0）.•.ab；=（i,-V5,—品），顾=（o,—VJ,£）
.•.両•顾=0+3+（—A）x^-=0=>AB{±所以AB|丄A.M
18.解：
（1）tP在平面ABD上的射影O在AB上，:
.PO丄面ABD。
故斜线BP在平面ABD上的射影为AB。
又\DA丄43,..04丄BP,又BC丄CD,:
.BP丄PD
vADC\PD=D=>3P丄面PAD
（2）过A作肚丄PD,交PD于E。
•.BP丄面PAD,:
.BP丄「.AE丄面BPD故的长就是点A到平面BPD的距离
'：
AD丄AB,D4丄3C=^>AD丄面ABP:
.AD丄AP
在RfAABP中,AP=y）AB2-BP2=3^2；
在RtABPD中，PD=CD=3书
AP.ADy3—
在RZAD中，由面积关系，得AE=一='7・=点
PD3巧
（3）连结\'AE丄面BPD,:
.BE是A3在平面BPD的射影
・・・ZABE为直线AB与平面BPD所成的角
在RfAAEB中
sinZABE=—=2^1,
AB3
・・・ZABE=
19・
（1）・••尢4丄面ABC,BD丄AD.：
.BC丄PQ,即ZPDB=90.
21
在RZDB和RZDC中，tan乙BPD=_,tanZCPD=
xx
21
y
・・・tan0=tan乙BPC=tan（ZBPD一ZCPD）=王占=——（x>l）1+?
丄犷+2
XX
—^==—且仅当x=>/2时,tan&取到最大值並
x+?
2>/244
X
（2）在RtAADB和RtADC中，tan/BAD=2、tanACAD=1
.・.tanZBAC=tan（ZBAD-Z^D）=^=1<
故在P4存在点Q（^AQ=\）满足]vtanZBQC5茫,使ZBQC>ZBAC
34
20.（12分）解：
（I）过V点作V0丄面ABC于点0,VE丄AB于点E
•••三棱锥V-ABC是正三棱锥...0为Z\ABC的中心
.273V3\上羽
则OA=—xa=——a,OE=—xa=a
32332&
又•••侧面与底面成60°角ZVEO=60°
则在RtAVE0中;VO=OE-tan60°=—axV3=-
62
在RtAVAO中,
+AO1
[22
y（2\a
6
即侧棱长为%
6
2壬
V32——a
3
（2）由
（1）知ZVAO即为侧棱与底面所成角，贝ijtanZVAO=—=AO
21（12分）解：
（1）连结BC,交B’C于点E,则E为B£的中点，并连结DE
••・D为AC中点・・・DE〃AB|
而DEu面BC』，AB”；面BC,D
AAB1〃面GBD
（2）由
（1）知AB/DE,则ZDEB或其补角为异面直线AB|与BG所成的角由条件知B,C=IO,BC=8则BB卢6
•・・E三棱柱中AB^BGADE=5
XVBD=—x8=4>/3
2
心侮"加"厂购二25+25-丄
2BD•DE2x5x525
故异面直线隔与5成角的余弦值为公
（3）由
（1）知A到平面BC.D的距离即为直线ABi到平面BC.D的距离
设A到平面BCQ的距离为h,则由匕=比“°得
|•S冲•〃冷•Swo•GC即h=逹"*CC'
由正三棱柱性质得BD丄RD则S^d=^BD.CxD
/_38D.AD.CG_AQ.CG_4x6_24_12価
-BD^C.DC'DJ6‘+4’J5213
2
即直线ABi到平面的距离为片尹
22.（14分）
证明：
①设F为BE与B£的交点，G为GE中点
•・・AO〃DF
・・・A0〃平面BDE
2a=arctanJ2・arctan-—或arcsin1/32
③用体积法T注®h=1
wd
立几测试a002
选择题（12X5分）
1.已知直线a、b和平面M,则a//b的•个必要不充分条件是（）
A.a//M,b//MB・a丄M,b丄M
C・a//M,bcMD・a、b与平面M成等角
2.正四而体P-ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（）
C.
逼D.逼
43
3.a,b是异面直线，A、Bea,C.Deb,
AC丄b,
BD丄b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角为（）
A.30°
B・60°
C.
90°D.45°
4・给出下血四个命题：
1“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是：
直线a、b不相交：
2“直线（垂直于平面&内所有直线”的充要条
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