4332
ZBAC=120。
,AABC所在平面a外一点P到点A、B、C的距离
)
D・13
10・在一个45。
的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45。
,则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为()
A.30°B.45°C.60°D.90°s
11.如图,E,F分别是正方形SD1DD2的边D(D,DD2的中点,沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使DnD,D2重合,记作D.给出下列位萱关系:
①SD丄面DEF;②SE丄面DEF;
③DF±SE;④EF丄面SED,其中成立的有:
()
A.①与②B.①与③C.②与③D.③与④
12.菜地球仪的北纬60度圈的周长为6/rcm,则地球仪的表面积为()
A.24^cm2B.48^cm2C.144>rcm2D.288^cm2
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.直二面角a-MN-3中,等腰直角三角形ABC的斜边BCu
ACuB,BC与B所成角的正弦值是空,则AB与B所成角
14.如图在底面边长为2的正三棱锥V-ABC中,E
积是扌,则侧棱VA与底面所成角的大小为
15.如图,已知矩形ABCD中,AB=\,BC=ci9
若在BC上只有一个点0满足P0丄0D,则"
D
是BC中点,若AVAE的面
P4丄面ABCD。
的值等于・
16.六棱锥P-ABCDEF中,底面ABCDEF是正六边形,ABCDEF,给出下列四个命题
1线段PC的长是点P到线段CD的距离;
2异面直线PB与EF所成角是ZPBC;
3线段AD的长是直线CD与平面PAF的距离;
4ZPEA是二面角P—DE—A平面角。
其中所有真命题的序号是°
三•解答题:
(共74分,写出必要的解答过程)
17.(本小题满分10分)
如图,已知直棱柱ABC-A.B,G中,
ZACB=90°,ABAC=30°,BC=\,
CC,的中点。
求证:
AB】丄RM
PA丄底面
A
州
A4,=5/6,M是
18.(本小题满分I2分)
如图,在矩形ABCD中,AB=3氐BC=V3,沿对角线3Q将ABCD折起,使点C移到P点,且P
在平面A3D上的射影O恰好在AB上。
(1)求证:
PB丄面PAD;
(2)求点A到平面PBD的距离;
19・(本小题满分12分)
如图,已知QA丄面ABC.AD丄3C,垂足£>在BC的延长线上,且BC=CD=DA=\
(1)记PD=xyABPC=0^把tan&表示成x的函数,并求其最大值.
(2)在直线必上是否存在点0,使得ZBQC>ABAC
20.(本小题满分12分)
正三棱锥V-ABC的底面边长是a,侧面与底面成60°的二面角。
求
(1)棱锥的侧棱长;
(2)侧棱与底面所成的角的正切值。
21.(本小题满分14分)
已知正三棱柱A的底面边长为8,面的对角线B|C=IO,D为AC的中点,
(1)求证:
AB,//平面GBD;
(2)求异面直线AB|与BG所成角的余弦值;
(3)求直线AB|到平面GBD的距离。
22.(本小题满分I4分)
已知A|BiC(-ABC为直三棱柱,D为AC中点,0为BC中点,E在C&上,
ZACB=90°,AC=BC=CE=2,AA,=6.
(1)证明平面BDE//AO;
(2)求二面角A-EB-D的大小;
(3)求三棱锥O-AAtD体积.
立测试001
答案
一・选择题:
(每题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
B
D
B
C
C
A
A
B
C
二.填空题:
(每题4分,共16分)
13.60°14.arctan—
4
15.216.Q)④
3.解答题:
(共74分,写出必要的解答过程)
17.(10分)解:
【法一】ZACB=90°^>B}G丄又三棱柱ABC-A^C,是直三棱柱,所以丄面A,C,连结则4G是在面A|C上的射影
在四边形A4GC中,旦=也=迈,且ZA4G=0GM=兰,
AC】CM2
A/LAjCj〜AACM,AC}丄A{M:
.丄
【法二】以G坊为x轴,为y轴,GC为z轴建立空间直角坐标系由BC=\,A41=V6,ZACB=9O°,ABAC=30°,易得A(0,J5,0),A(0,JJ,A),M(0,0,f),目(1,0,0).•.ab;=(i,-V5,—品),顾=(o,—VJ,£)
.•.両•顾=0+3+(—A)x^-=0=>AB{±所以AB|丄A.M
18.解:
(1)tP在平面ABD上的射影O在AB上,:
.PO丄面ABD。
故斜线BP在平面ABD上的射影为AB。
又\DA丄43,..04丄BP,又BC丄CD,:
.BP丄PD
vADC\PD=D=>3P丄面PAD
(2)过A作肚丄PD,交PD于E。
•.BP丄面PAD,:
.BP丄「.AE丄面BPD故的长就是点A到平面BPD的距离
':
AD丄AB,D4丄3C=^>AD丄面ABP:
.AD丄AP
在RfAABP中,AP=y)AB2-BP2=3^2;
在RtABPD中,PD=CD=3书
AP.ADy3—
在RZAD中,由面积关系,得AE=一='7・=点
PD3巧
(3)连结\'AE丄面BPD,:
.BE是A3在平面BPD的射影
・・・ZABE为直线AB与平面BPD所成的角
在RfAAEB中
sinZABE=—=2^1,
AB3
・・・ZABE=
19・
(1)・••尢4丄面ABC,BD丄AD.:
.BC丄PQ,即ZPDB=90.
21
在RZDB和RZDC中,tan乙BPD=_,tanZCPD=
xx
21
y
・・・tan0=tan乙BPC=tan(ZBPD一ZCPD)=王占=——(x>l)1+?
丄犷+2
XX
—^==—且仅当x=>/2时,tan&取到最大值並
x+?
2>/244
X
(2)在RtAADB和RtADC中,tan/BAD=2、tanACAD=1
.・.tanZBAC=tan(ZBAD-Z^D)=^=1<
故在P4存在点Q(^AQ=\)满足]vtanZBQC5茫,使ZBQC>ZBAC
34
20.(12分)解:
(I)过V点作V0丄面ABC于点0,VE丄AB于点E
•••三棱锥V-ABC是正三棱锥...0为Z\ABC的中心
.273V3\上羽
则OA=—xa=——a,OE=—xa=a
32332&
又•••侧面与底面成60°角ZVEO=60°
则在RtAVE0中;VO=OE-tan60°=—axV3=-
62
在RtAVAO中,
+AO1
[22
y(2\a
6
即侧棱长为%
6
2壬
V32——a
3
(2)由
(1)知ZVAO即为侧棱与底面所成角,贝ijtanZVAO=—=AO
21(12分)解:
(1)连结BC,交B’C于点E,则E为B£的中点,并连结DE
••・D为AC中点・・・DE〃AB|
而DEu面BC』,AB”;面BC,D
AAB1〃面GBD
(2)由
(1)知AB/DE,则ZDEB或其补角为异面直线AB|与BG所成的角由条件知B,C=IO,BC=8则BB卢6
•・・E三棱柱中AB^BGADE=5
XVBD=—x8=4>/3
2
心侮"加"厂购二25+25-丄
2BD•DE2x5x525
故异面直线隔与5成角的余弦值为公
(3)由
(1)知A到平面BC.D的距离即为直线ABi到平面BC.D的距离
设A到平面BCQ的距离为h,则由匕=比“°得
|•S冲•〃冷•Swo•GC即h=逹"*CC'
由正三棱柱性质得BD丄RD则S^d=^BD.CxD
/_38D.AD.CG_AQ.CG_4x6_24_12価
-BD^C.DC'DJ6‘+4’J5213
2
即直线ABi到平面的距离为片尹
22.(14分)
证明:
①设F为BE与B£的交点,G为GE中点
•・・AO〃DF
・・・A0〃平面BDE
2a=arctanJ2・arctan-—或arcsin1/32
③用体积法T注®h=1
wd
立几测试a002
选择题(12X5分)
1.已知直线a、b和平面M,则a//b的•个必要不充分条件是()
A.a//M,b//MB・a丄M,b丄M
C・a//M,bcMD・a、b与平面M成等角
2.正四而体P-ABC中,M为棱AB的中点,则PA与CM所成角的余弦值为()
C.
逼D.逼
43
3.a,b是异面直线,A、Bea,C.Deb,
AC丄b,
BD丄b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角为()
A.30°
B・60°
C.
90°D.45°
4・给出下血四个命题:
1“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是:
直线a、b不相交:
2“直线(垂直于平面&内所有直线”的充要条