福建省南平市届高三上学期第一次综合质量检查数学理Word版含答案.docx
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福建省南平市届高三上学期第一次综合质量检查数学理Word版含答案
2018年南平市普通高中毕业班第一次综合质量检查试卷
数学（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.已知
为虚数单位，若复数
满足
，则
（）
A．
B．
C．
D．
3.等差数列
的前
项和为
，若
为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（）
A．
B．
C．
D．
4.已知点
是圆
的内部任意一点，则点
满足
的概率是（）
A．
B．
C．
D．
5.已知
是双曲线
的左、右焦点，点
在双曲线上，若
，则
的面积为（）
A．
B．
C．
D．
6.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面枳，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：
，
）
A．12B．24C．48D．96
7.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）
A．
B．
C．
D．
8.直线
与抛物线
相交与
两点，若
（
是坐标原点），则
面积的最小值为（）
A．32B．24C．16D．8
9.若
是自然对数的底数，则（）
A．
B．
C．
D．
10.已知函数
满足
，若函数
与
图像的交点为
，则
（）
A．10B．20C．
D．
11.已知数列
满足
，则该数列的前23项的和为（）
A．4194B．4195C．2046D．2047
12.已知
，且
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.
的展开式中含
的系数为50，则
的值为．
14.已知
，向量
在向量
上的投影为
，则
．
15.已知实数
满足
，求
的取值范围．
16.在三棱锥
中，
与平面
所成角的余弦值为
，则三棱锥
外接球的表面积为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在
中,
分别为角
的对边，且
.
（1）若
，求
及
；
（2）若
在线段
上，且
，求
的长.
18.如图，在三棱柱
中，平面
平面
，
，
为
的中点.
（1）若
，求证：
平面
；:
（2）若
，求二面角
的余弦值.
19.有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在
范围内（单位：
毫米，以下同），按规定直径在
内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：
（1）根据以上统计数据完成下面
列联表，并回答是否有
以上的把握认为
“桔柚直径与所在基地有关”？
（2）求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数
（同一组数据用该区间的中点值作代表）：
（3）经计算，甲基地的500个桔柚直径的样本方差
，乙基地的500个桔柚直径的样本方差
，，并且可认为优质品率较高的基地采摘的桔柚直径
服从正态分布
，其中
近似为样本平均数
，
近似为样本方差
.由优质品率较高的种植基地的抽样数据，估计该基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78亳米的桔柚在总体中所占的比例.
附：
，
.
若
，则
.
，
.
20.已知过点
的椭圆
的离心率为
.
（1）求椭圆方程；
（2）不过坐标原点
的直线
与椭圆
交于
两点（异于点
，线段
的中点为
直线
的斜率为1.记直线
的斜率分别为
.问
是否为定值?
若为定值，请求出定值.若不为定值，请说明理由.
21.已知定义在区间
上的函数
.
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式
恒成立，求
的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数）.以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
.
（1）求圆
的极坐标方程和直线
的直角坐标方程；
（2）设
|与
的交点为
，求
的面积.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数
.
（1）求不等式
的解集；
（2）若
对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围.
2018年南平市普通高中毕业班第一次综合质量检查试卷
理科数学参考答案及评分标准
说明：
1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：
本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
（1）D
（2）C（3）B（4）D（5）C（6）B
（7）D（8）C（9）A（10）D（11）A（12）A
二、填空题：
本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．
（13）
（14）
（15）
（16）
三、解答题：
本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）解：
（Ⅰ）∵
，
，
，
在△ABC中，由正弦定理
，………………（1分）
得
，………………（2分）
又
，所以
，则C为锐角，所以
，………………（3分）
则
，………………（5分）
所以
………………（6分）
（Ⅱ）设
，则
，又
，
，
在△ABE中，由余弦定理得
，……………（8分）
即
，解得
（取正），………………（9分）
则
，
所以
，………………（11分）
在直角△ADE中，
．………………（12分）
（18）（Ⅰ）证明：
因为BA=BC，E为AC的中点，所以BE
AC，
又平面A1ACC1
平面ABC，平面A1ACC1
平面ABC=AC，
平面ABC，
所以BE
平面A1ACC1，………………2分
又A1C
平面A1ACC1，所以BE
A1C，又BC1
A1C，BE
BC1=B，
所以A1C
平面C1EB………………4分
（Ⅱ）连接A1E，因为A1A=A1C，又E为AC的中点，
所以A1E
AC,
又平面A1ACC1
平面ABC，
平面A1ACC1
平面ABC=AC，A1E
平面A1ACC1，
所以A1E
平面ABC，…………6分
以E点为原点，分别以射线EB，EC，EA1为
轴，
轴，
轴建立如图所示空间直角坐标系，
设
，则
，
所以
，
，
…………7分
设平面A1BC1的一个法向量
得
，取
得
，…………9分
设平面C1EB的一个法向量为
得
，取
得
，…………11分
，
故所求的二面角A1—BC1—E的余弦值为
…………12分
（19）解：
（Ⅰ）由以上统计数据填写
列联表如下：
甲基地
乙基地
合计
优质品
420
390
810
非优质品
80
110
190
合计
500
500
1000
……………（2分）
，
所以,有95%的
把握认为：
“两个基地采摘的水果直径有差异”．……………（4分）
（Ⅱ）甲基地水果的优质品率为
，甲基地水果的优质品率为
，
所以，甲基地水果的优质品率较高，……………（5分）
甲基地的500个桔柚直
（6分）
……………（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，甲基地的桔柚直径
…………（9分）
，……（10分）
……（11分）
所以，估计甲基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78毫米的桔柚在总体中所占的比例大约为
.…………（12分）
（20）解:
（Ⅰ）由题意得
解得
则椭圆
的方程为
……3分
（Ⅱ）由题意可设直线
方程为
令
则
.
直线
的斜率为
即
（1）………………5分
则
代入
（1）式得
因此,
………………8分
则
即
为定值
………………12分
（21）解：
（Ⅰ）
………………2分
①当
时,
.即
是
上的增函数.………………3分
②当
时,
令
得
则
的增区间为
减区间为
………………5分
（Ⅱ）由不等式
恒成立,得不等式
恒成立.……………………6分
①当
时,由（Ⅰ）知
是
上的增函数,
即当
时,不等式
恒成立.………………8分
②当
时,
.
令
则
.
要使不等式
恒成立,
只要
.………………10分
令
.
是
上的减函数,又
则
即
解得
故
综合①,②得
即
的取值范围是
……………12分
（22）解:
（Ⅰ）直线
的直角坐标方程为
……………………………2分
圆
的普通方程为
因为
所以
的极坐标方程为
……………………………5分
（Ⅱ）将
代入
得
解得
故
即
.………………8分
由于圆
的半径为
所以
的面积为
…………………10分
（23）解：
（Ⅰ）
…………………………1分
①得，不合题意，舍去…………………2分
2得，
……………3分
3得，
……………4分
综上不等式的解集为
…………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，则
…………………7分
则
，解得
…………………9分即实数
的取值范围是
…………………10分
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