福建省宁德市届高三第一次质量检查数学文试.docx
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福建省宁德市届高三第一次质量检查数学文试
福建省宁德市2017届高三第一次（3月）质量检查
数学文试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集
，全集
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.复数
为虚数单位）的虚部是（）
A．
B．
C．
D．
3.从某学校随机抽取的
名女大学生的身高
厘米）和体重
（公斤）数据如下表：
根据上表可得回归直线方程为
，则
（）
A．
B．
C．
D．
4.若在区间
内随机取一个数
，则代表数
的点到区间两端点距离均大于
的概率为（）
A．
B．
C.
D．
5.已知变量
满足约束条件
，则
的取值范围是（）
A．
B．
C.
D．
6.已知
，则
（）
A．
B．
C.
D．
7.执行如图所示的程序框图，若输入
的值为
，则输出
的值为（）
A．
B．
C.
D．
8.已知函数
，则“函数
的图象关于直线
对称”是“
”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
9.某几何体的三视图如图所示，则刻几何体的体积为（）
A．
B．
C.
D．
10.已知圆
关于直线
对称，则圆
中以
为中点的弦长为（）
A．
B．
C.
D．
11.已知函数
，则
的图象大致为（）
A．B．C.D．
12.已知函数
，若方程
在实数集范围内无解，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C.
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量
，向量
，则
．
14.已知正三棱柱
的顶点都在同一个球面上，且该正三棱柱的体积为
，三角形
周长为
，则这个球的体积为．
15.已知双曲线
的左右焦点分别为
，过点
的直线交双曲线右支于
两点，若
是以
为直角顶点的等腰三角形，则
的面积为．
16.在平行四边形
中，若
，则
．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列
满足
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前
项和
.
18.如图，在菱形
中，
，现将其沿菱形对角线
折起得空间四边形
，使
.
（1）求证：
；
（2）求点
到平面
的距离.
19.交警随机抽取了途经某服务站的
辆小型轿车在经过某区间路段的车速（单位：
）,现将其分成六组为
后得到如图所示的频率分布直方图.
（1）某小型轿车途经该路段，其速度在
以上的概率是多少？
（2）若对车速在
两组内进一步抽测两辆小型轿车，求至少有一辆小型轿车速度在
内的概率.
20.已知椭圆
的离心率为
，右顶点为
，下顶点为
，点
满足
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）不垂直于坐标的直线
与椭圆
交于
两点，以
为直径所的圆过原点，且线段
的垂直平分线过点
，求直线
的方程.
21.已知函数
.
（1）当
时，求函数
的单调区间和极值；
（2）若
有两个零点
，且
，求证：
.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
已知曲线
的极坐标方程是
，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴且取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，则直线
的参数方程的是
为参数）.
（1）求曲线
的直角坐标方程和直线
的普通方程；
（2）设点
，若直线
与曲线
交于
两点，且
，求实数
的值.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数
的最小值为
.
（1）求实数
的值；
（2）若
均为正实数，且满足
，求证:
.
福建省宁德市2017届高三第一次（3月）质量检查数学文
试题参考答案
一、选择题
1-5:
AAACA6-10:
BDBBD11-12：
DC
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解：
（1）
若
，则
，又
数列
为以
为首项，
为公比的等比数列，
，
.
（2）
由
（1）可知，
，又
，①
，②由①-②，得
.
18.解：
（1）
四边形
为菱形，
在菱形
中，
，
，
，
为直角三角形，
，又
平面
平面
.又
平面
.
（2）设点
到平面
的距离为
，由
（1）可知
平面
.
，
.又在
中，
.在
中，
，
.
即点
到平面
的距离为
.
19.解：
（1）速度在
以上的概率约为
.
（2）
辆小型轿车车速在
范围内有
辆，在
范围内有
辆.用
表示
范围内
辆小型轿车，用
表示车速在
范围内有
辆小型轿车，则所有基本事件为
，
，至少有一辆小型轿车车速在范围
内
事件有
，所以所求概率
.
20.解：
（1）依题意，得
，又
，所以解得
，
椭圆
的方程为
.
（2）设直线
的方程为
，据
，得
，
，
又由
，得
.①因为以线段
为直径的圆过坐标原点，
，
，②①②，可得
或
.设
的中点为
，则
.又
据题设分析知直线
与直线
垂直，
，
，③据②③得
，或
，依③式可知直线
的方程为
.
21.
（1）当
时，
.令
，
则
（舍），
.
极小值
在
上单调递减，在
上单调递增，
的极小值为
无极大值.
（2）根据题意，得
.
是函数
的两个零点，
，两式相减可得
，
.令
，则
.记
，则
恒成立，
在
上单调递增，故当
时，
，即当
时，
，
当
时，
，故
.
22.解：
（1）曲线
的极坐标方程是
，化为
，所以曲线
的直角坐标方程为
.直线
的参数方程是
为参数），消去参数
可得直线
的普通方程
.
（2）将
为参数）代入方程
，得
.即
.由
，解得
.所以
.
，解得
.又满足
，所以
或
或
.
23.解：
（1）因为函数
，所以当
时，
；当
时，
；
当
时，
，综上，
的最小值
.
（2）据
（1）求解知
，所以
，又因为
，所以
，
即
，当且仅当
时，取“=”所以
，即
.
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