新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读数学探究 杨辉三角的性质与应用内容解读.docx

新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读数学探究 杨辉三角的性质与应用内容解读.docx

《新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读数学探究 杨辉三角的性质与应用内容解读.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读数学探究 杨辉三角的性质与应用内容解读.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读数学探究杨辉三角的性质与应用内容解读

数学探究　杨辉三角的性质与应用

一、知识结构框图

二、学习目标

1．结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养．

2．在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法，培养遵守学术规范、坚守诚信底线的科学研究素养．

三、重点、难点

重点：

杨辉三角性质的发现和证明，利用杨辉三角解决古算题和其他领域的问题．

难点：

杨辉三角性质的应用．

四、教科书编写意图及教学建议

杨辉三角是一个很有魅力的数字三角形．它很实用，从低次到高次，从各行之间的相互独立到相邻两行之间关联的发现，从一两条性质到一系列性质的探究，从正整数的开方到组合数、幂和公式的导出，都体现了数学知识的由浅入深、由特殊到一般的过程，也体现了由直观到抽象、由猜想到论证的数学思维过程．它还很美，特别是对称之美，广受喜爱，曾经成为邮票或数学杂志封面的图案．它也很多元化，中国、阿拉伯、欧洲等地的众多数学家都曾经研究和运用它，数十幅带有不同文化元素的数字三角形展现了丰富生动的多元文化．

考虑到杨辉三角在数学、数学思维和数学文化上的魅力，教科书专门将它作为一个主题，设置了数学探究活动，并安排了3课时，让学生以课题研究的形式，从不同角度探究它．通过自主探究或合作探究，既能够丰富数学知识，建立不同知识之间的联系，还能进一步学会如何进行数学探究，感悟数学价值，提升数学精神、应用意识，从而全面提升数学学科核心素养和人文素养．

（一）杨辉三角的历史探源

杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，从数学角度体现了中华优秀传统文化．因此，教科书就从这里入手，给出了《详解九章算法》一书中的开方作法本源图，简单介绍了数学家杨辉，以及杨辉三角的由来．同时，这一段关于历史发展的介绍也是数学探究活动的背景，能够让学生在杨辉三角的演变中，了解为什么要研究杨辉三角，杨辉三角在我国的发现时间比欧洲早500年左右等，从而激发学生的民族自豪感和“一探究竟”的兴趣．

在教学中，可以适当补充杨辉三角的演变历史，也可以让学生自己去搜集一些这方面的资料进行阅读，从而为接下来的数学探究活动作好准备，下面提供一些史料，供教学时参考．

图1名为开方作法本源图，现在杨辉算书的传本中都没有这个图，只在明朝《永乐大典》（1407）抄录的《详解九章算法》中还保存着这份宝贵遗产，可惜《永乐大典》被掠至英国，现藏在剑桥大学图书馆内．《详解九章算法》由杨辉所著，他在书中提到“出释锁算书，贾宪用此术”．这说明，在我国至迟贾宪时期就已经发明了这个数字三角形．关于贾宪的生平，所知甚少．根据一些记载，只能推定贾宪著书的年代是在1023年至1050年这段时期．

贾宪用这个数字三角形来进行开方，所以称为“开方作法本源”．而在宋元时期，数学家将开方或解数字方程称为“释锁”，故此图出现在《释锁》算书中．后来，朱世杰（1303）、吴敬（1450）、程大位（1592）等古代数学家均引用并发展了开方作法本源图．借助此图，古代数学家们开高次方、解高次方程，创造出了具有中国古代数学独特风格的高次方程的数值解法．

（二）杨辉三角性质的探究

杨辉三角性质的探究，是这个数学探究活动的重点，将杨辉三角作为一个探究主题有两个主要原因：

一是由于前面提到的杨辉三角本身所具有的数学、数学思维和数学文化上的魅力；二是由于杨辉三角的直观性和性质的丰富性，既有“一目了然”的性质，也有“深藏不露”的性质，所以它可以让不同发展水平的学生都能探究，并有所收获．为了让学生顺利而又充分地开展探究活动，教科书在编写中重点关注了以下两个方面．

1．探究的方法

探究是一种复杂的学习活动，不同学科的探究，因其学科特点会有其特有的方法．在科学中，探究强调调查研究、实验验证、数据分析和解释，结论解释和预测；而在数学中，探究更多的是一种思维状态，强调观察和想象、归纳和猜想、推理和论证，当学生获得了探究的方法、养成了探究的习惯，他们就会自发地去探究、主动积极地学习，成为自主学习者．因此，教科书在杨辉三角性质探究这一部分，注重“如何探究”的引导，重在展现探究的方法，并加以示例说明．

探究不是凭空产生的，它和数学问题紧密相联．首要的是发现和提出一个数学问题．如何发现和提出问题呢？

教科书中的“1．观察杨辉三角的结构，即杨辉三角中数字排列的规律，例如每一行、相邻两行、斜行等，画一画，连连线，算一算，写出你发现的结论”告诉学生：

（1）需要“观察”．这种观察并不是单纯地看一看，它包含着积极的思维过程，要有目的，如数字排列的规律；要随时比较，如数字间的关系和差异；等等．

（2）需要“实验”．虽然数学不像科学那样需要精密设备、精心设计的实验，但有时候还是需要人为地创造一些条件和方法辅助思维，如圈一圈、连一连、算一算等．而这些观察和实验的结果正是归纳推理的基础．（3）需要“归纳”．通过观察和实验，获得一定素材后，就可以进行归纳，作出初步的结论，然后用数学语言描述出来，就是一个猜想，即一个数学问题．

为了说明这一一点，教科书以杨辉三角的基本性质C

＝C

＋C

为例，示范如何发现和提出问题．具体来说，通过观察和比较教科书中的图1和图2，发现杨辉三角和二项式系数之间的对应关系；通过连线和计算，如教科书上的图4，发现除了三角形的两个腰上的数字都是1，其余的数都是它肩上两个数相加，从特殊到一般，就归纳出结论：

C

＝C

＋C

．这就是一个数学问题．

在教学中，要特别注意探究方法的指导，至于发现结论和写出结论，应该由学生自己完成．例如观察和实验的指导，应关注于在数字三角形中圈一圈、连一连、算一算等手段的尝试；关注于有目的的观察，相邻行之间、各行数字的和等（图2）．

基于观察、实验和归纳，学生会获得很多关于杨辉三角的结论，这里列出一些最基本的结论（更多的结论见“五、探究活动参考资料”），供教学时参考：

（1）对称性：

每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C

＝C

．

（2）递归性：

除1以外的数都等于肩上两数之和，即C

＝C

＋C

．

（3）第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…．

（4）第n行数的和为2n，即Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n．

（5）第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即（Cn0）2＋（Cn1）2＋（Cn2）2＋…＋（Cnn）2＝C2nn（图3）．

（6）自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即Crr＋C

＋C

＋…＋Cn－1r＝Cnr＋1（图4）．

在提出了一个数学问题后，就需要分析和解决这个问题，教科书中的“2．利用已学知识，尝试对所得结论进行证明”就指明了，在数学上，当我们获得一个猜想之后，必须要证明它，所用的就是逻辑推理的方法．从观察和实验，到归纳和猜想，再到推理和论证，这是一个完整的数学探究过程，数学探究中的“推理论证”不同于科学探究中的“实验验证”，数学中的结论一旦得到证明，是不会改变的，而科学中经过实验验证的结论有时会在若干年后推翻重建．在教学中，要特别注意强调推理论证在数学中的重要性及其作用，而且要鼓励或要求学生去证明自己发现的结论，让学生经历完整的数学探究过程．这样不仅有助提升学生的直观想象、数学抽象素养，而且还有助于提升学生的数学运算、逻辑推理素养．

2．探究的开放性

杨辉三角这个数学探究活动，从教科书的设计来看，它的开放性很大，除了给定一个“数字三角形”这个情境外，其他环节都是完全开放的，教科书给的示例也只是为了说明探究方法．在这种情况下，如果没有教师的指导，那么学生能探究到什么程度就取决于学生的自主探究能力，自主探究能力越高，探究就越开放、收获就会越多．但是学生的数学能力总是参差不齐的，能力越低越需要教师的指导，让他们“跳一跳”摘到果子．当学生在探究活动中的发现越来越多，解决的问题越来越难，兴趣和信心也会越来越浓厚．因此，在教学中教师需要关注学生的探究过程，掌握学生的探究程度，并据此匹配相应程度的探究指导．关于杨辉三角这个主题，以“问题”为例，有的学生可能会发现和提出一组问题，有的学生可能只能发现和提出一个问题，在这种情况下，教师可以分别为他们提供一些材料或给予一些提示，指导他们发现更多的结论，在各自的程度上更加深入地探究．在教学中，根据学生的探究程度，灵活采用开放型、指导型等不同的探究形式，让不同水平的学生通过探究活动都能有所收获，包括知识的增长和探究方法的养成．

（三）杨辉三角应用的探究

华罗庚先生（1910—1985）曾写过一本小册子《从杨辉三角谈起》，其中从杨辉三角的性质谈到了二项式定理、开方、堆垛术、等差级数、逐差法等，由此可以看到杨辉三角的联系之多、应用之广．教科书选取了杨辉《详解九章算法》中的两道古算题，作为示例，说明杨辉三角是解决很多问题的有力工具，启发学生探究的方向和思路．

1．开方问题

第一道古算题是一个开方问题，古代求解用“增乘开方法”，即用杨辉三角开4次方，这是杨辉三角在我国古代数学中最重要的应用之一．教科书并没有给出这个古算题的解答过程，是考虑到学生可以直接将其作为应用探究活动的素材，通过查阅相关资料，了解我国古代开方算法的思想和具体操作步骤之后，自主解决这个问题．

杨辉三角中有五句注解：

左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉，以廉乘商方，命实而除之．头两句“左袤乃积数，右袤乃隅算”，其中“袤”本应作“衰”（古“邪”字，通“斜”），是指最外面的左右两斜线上的数字，分别是乘幂an（隅）、bn（积）的系数；第三句“中藏者皆廉”，是说明图中间所藏的“二”“三、三”“四、六、四”等分别为二次、三次、四次幂中项arbn－r的系数（廉）；后两句“以廉乘商方，命实而除之”说明了开方的方法．关于具体开方方法的解释及第一道古算题的解法，可参见“五、探究活动参考资料”中的文献[1]～[5]．

2．数列问题

第二道古算题是一个数列问题，这也是我国古代数学中常见的一类问题——垛积问题．通常，垛积分为平垛（图5）和堆垛（图6），平垛问题是等差数列问题，堆垛问题是二阶等差数列问题．

教科书选取了“三角垛”作为例子，它从上往下每层球数构成的数列为1，3，6，10，…，

n（n＋1），“求总数”就是求这个数列的和．利用杨辉三角，就可以求得这个二阶等差数列的一般求和公式，不仅如此，利用杨辉三角还可以得到高阶等差数列的一般求和公式．图7连线上的数字构成不同阶的等差数列．

1，1，1，1，…

1，2，3，4，…

1，3，6，10，…

1，4，10，2021

……

从图7中，直观地就能得到前四个数列的求和公式：

1＋1＋1＋…＋1＝n；

1＋2＋3＋…＋C

＝Cn2；

1＋3＋6＋…＋C

＝Cn3

1＋4＋10＋…＋C

＝C

．

事实上，如果学生在探究杨辉三角性质中发现了图4的规律，并获得性质6，那就可以由性质直接写出各阶等差数列的求和公式；如果没有，这里也可以由三角垛的问题出发，观察杨辉三角，像上述一样直接得到二阶等差数列的求和公式，并且还可以由此类推，联想到三阶、四阶，乃至一般的高阶等差数列，从而获得一般的求和公式．

在教学中需要特别注意，教科书所列举的杨辉三角在我国古代数学中的应用，完全依赖于学生的自主探究并不容易，特别是开方问题．这是因为，学生几乎不可能想到古代是如何开方的，而只有了解一点算法，才能体会到杨辉三角的应用．因此，这部分的探究是需要一定的史料支持的，如果学生可以自行获取相关的纸质资源和网络资源，那么可以让学生自己搜集资料；如果学生无法获取相关资料，那么就需要教师事先准备这方面的资料．事实上，这个搜集资料、阅读分析资料的环节就相当于数学研究中的“文献阅读与